专题 1.3 勾股定理的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 1.3 勾股定理的应用 目录 一储备知识体系 1 （一）核心公式与定理 1 （二）几何图形性质 2 （三）数学工具与思想 2 二解题策略分类突破 2 （一）勾股定理基础计算 2 （二）折叠问题与最短路径问题 2 （三）实际问题 3 三知识体系思维导图 3 四 题型分类精析 4 （一）基础计算与逆定理的应用 4 题型 1：已知两边求第三边 4 题型 2：判定直角三角形 4 题型 3：勾股数的规律探究 5 （二）几何综合与图形变换 5 题型 4：折叠问题 5 题型 5：网格问题 6 题型 6：最短路径问题 7 （三）实际应用与建模 9 题型 7：测量与工程（测量河宽与梯子滑落） 9 题型 8：航海与方位（航海方向与台风影响） 10 题型 9：经济决策（超速判断与选址问题） 11 五同步练习 12 【基础巩固（12题）】 12 【能力提升（12题）】 17 【中考真题5题】 23 一.储备知识体系 （一）核心公式与定理 1.勾股定理：直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方. 前提条件：勾股定理适用对象是直角三角形，如果不存在直角三角形，通过作辅助线方式构造直角三角形. 2.勾股定理逆定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 3.常见勾股数： （1）常见勾股数：如3、4、5；5、12、13；7、24、25等； （2）勾股数规律结论: ①当为大于1的正整数时，、、是一组勾股数； ②对于正整数，、、构成勾股数。 （二）几何图形性质 1.折叠问题具有以下特征； （1）全等性：折叠前后的图形全等； （2）对称性：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分； （3）不变性：图形的形状、大小及内在几何关系不变； （4）转化性：折叠可将分散条件集中到直角三角形中. 2.最短路径问题：包括平面上的最短路径问题和立体图形的最短路径问题。它们的理解依据基本上都运算“线段公理”与“垂线段公理”解决问题. （三）数学工具与思想 1.方程思想：设未知数，通过勾股定理列方程（如折叠问题中设某边为，利用全等关系转化边长）； 2.辅助线技巧：作垂线构造直角三角形；利用中点、角平分线与平行线结合构造等腰三角形. 二.解题策略分类突破 （一）勾股定理基础计算 1.方法：直接套用公式，注意区分直角边与斜边； （二）折叠问题与最短路径问题 1.折叠问题的解题步骤： （1）标已知：标记已知边长和角度； （2）找全等：利用折叠性质确定相等线段和相等的角； （3）设未知数：设所求边为，用含的代数式表示其他边； （4）列方程：在直角三角形（或构造直角三角形）中应用勾股定理列方程. 2.最短路径问题：平面图形中的最值问题常常通过“线段公理”、“垂线段公理”把“折”的问题变成“直”的问题解决问题；立体图形常常通过展形，把立体图形转化成平面图形解决问题. （三）实际问题 1.实际应用建模解题步骤： （1）抽象图形：将实际问题转化为直角三角形模型； （2）确定变量：明确已知边和未知边； （3）求解验证：应用勾股定理或列方程. 2.面积与图形构造 （1）面积计算：不规则图形割补为直角三角形，可构造弦图进行证明或求值； （2）辅助线技巧：作垂线或连接对角线构造直角三角形，如证明线段关系时通过勾股定理列方程. 三．知识体系思维导图 四．题型分类精析 （一）基础计算与逆定理的应用 【题型 1】已知两边求第三边 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【题型 2】判定直角三角形 【例题2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 【变式1】（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 【变式2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A． B． C． D． 【题型 3】勾股数的规律探究 【例题3】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． （2）小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） （二）几何综合与图形变换 【题型 4】折叠问题 【例题4】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【题型 5】网格问题 【例题5】（2025·吉林长春·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； （2）在图②中的边上找一点E，连接，使； （3）在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积为4 D．点到的距离为2 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 ． （2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明． ． 【题型 6】最短路径问题 【例题6】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，平面内三点A、B、C，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值是 ． 【变式1】（21-22八年级上·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【例题7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． （三）实际应用与建模 【题型 7】测量与工程（测量河宽与梯子滑落） 【例题7】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 【变式1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【变式2】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 【题型 8】航海与方位（航海方向与台风影响） 【例题8】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； （2）若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【变式1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型 9】经济决策（超速判断与选址问题） 【例题10】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． （1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 （2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【变式2】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车 .（填“超速”或“不超速”） 五．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 3．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 6．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 二、填空题 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 8．（24-25八年级下·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 9．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    10．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 三、解答题 13．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 14．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 15．（24-25八年级下·河北邢台·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求新路比原路少多少千米． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 4．（24-25八年级上·全国·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 6．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题 7．（23-24八年级下·浙江台州·开学考试）一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 米才是安全的． 8．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在垂直于地面的墙上离地面的点斜放一个长的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑，则梯子在地面上滑出的距离的长度是 ． 9．（21-22八年级上·重庆南岸·期末）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 m． 10．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 11．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 12．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米． （1）（______）千米； （2）煤栈应建在距点多少千米处？ 14．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． （1）若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 15．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 16．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． （1）特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． （2）性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． （3）深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    6．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 7．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 8．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.3 勾股定理的应用 目录 一储备知识体系 1 （一）核心公式与定理 1 （二）几何图形性质 2 （三）数学工具与思想 2 二解题策略分类突破 2 （一）勾股定理基础计算 2 （二）折叠问题与最短路径问题 2 （三）实际问题 3 三知识体系思维导图 3 四 题型分类精析 4 （一）基础计算与逆定理的应用 4 题型 1：已知两边求第三边 4 题型 2：判定直角三角形 5 题型 3：勾股数的规律探究 7 （二）几何综合与图形变换 9 题型 4：折叠问题 9 题型 5：网格问题 12 题型 6：最短路径问题 16 （三）实际应用与建模 23 题型 7：测量与工程（测量河宽与梯子滑落） 23 题型 8：航海与方位（航海方向与台风影响） 25 题型 9：经济决策（超速判断与选址问题） 27 五同步练习 30 【基础巩固（12题）】 30 【能力提升（12题）】 42 【中考真题5题】 57 一.储备知识体系 （一）核心公式与定理 1.勾股定理：直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方; 前提条件：勾股定理适用对象是直角三角形，如果不存在直角三角形，通过作辅助线方式构造直角三角形. 2.勾股定理逆定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 3.常见勾股数： （1）常见勾股数：如3、4、5；5、12、13；7、24、25等； （2）勾股数规律： ①当为大于1的正整数时，、、是一组勾股数； ②对于正整数，、、构成勾股数。 （二）几何图形性质 1.折叠问题具有以下特征； （1）全等性：折叠前后的图形全等； （2）对称性：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分； （3）不变性：图形的形状、大小及内在几何关系不变； （4）转化性：折叠可将分散条件集中到直角三角形中. 2.最短路径问题：包括平面上的最短路径问题和立体图形的最短路径问题。它们的理解依据基本上都运算“线段公理”与“垂线段公理”解决问题. （三）数学工具与思想 1.方程思想：设未知数，通过勾股定理列方程（如折叠问题中设某边为，利用全等关系转化边长）； 2.辅助线技巧：作垂线构造直角三角形；利用中点、角平分线与平行线结合构造等腰三角形. 二.解题策略分类突破 （一）勾股定理基础计算 1.核心方法：直接套用公式，注意区分直角边与斜边； （二）折叠问题与最短路径问题 1.折叠问题的解题步骤： （1）标已知：标记已知边长和角度； （2）找全等：利用折叠性质确定相等线段和角； （3）设未知数：设所求边为，用含的代数式表示其他边； （4）列方程：在直角三角形（或构造直角三角形）中应用勾股定理列方程. 2.最短路径问题：平面图形中的最值问题常常通过“线段公理”、“垂线段公理”把“折”的问题变成“直”的问题解决问题；立体图形常常通过展形，把立体图形转化成平面图形解决问题. （三）实际问题 1.实际应用建模解题步骤： （1）抽象图形：将实际问题转化为直角三角形模型； （2）确定变量：明确已知边和未知边； （3）求解验证：应用勾股定理或列方程. 2.面积与图形构造 （1）面积计算：不规则图形割补为直角三角形，可构造弦图进行证明或求值； （2）辅助线技巧：作垂线或连接对角线构造直角三角形，如证明线段关系时通过勾股定理列方程. 三．知识体系思维导图 四．题型分类精析 （一）基础计算与逆定理的应用 【题型 1】已知两边求第三边 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，可证明得到，再由勾股定理可得，则可根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴AC=15 ∵是的中线， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 解：①当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ②当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的应用．根据非负数之和为0的条件，求出直角三角形的两直角边，再利用勾股定理计算第三边． 解：由非负数性质，，可得： 解得： ∴两直角边长分别为4和3． 根据勾股定理，斜边的平方为： 综上，第三边长为5， 故选：A． 【题型 2】判定直角三角形 【例题2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 解：（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了配方法的应用及勾股定理的逆定理，由配方法得，结合勾股定理的逆定理，即可求解；掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：， ， ， ，，， ，，， ， ， 为直角三角形． 【变式2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 解：A．时，设则，解得，最大角，故不是直角三角形； B．，设，验证勾股定理：，满足条件，为直角三角形； C．直接满足，符合勾股定理逆定理，为直角三角形； D．由及，得，为直角三角形。 故选A． 【题型 3】勾股数的规律探究 【例题3】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． （2）小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【答案】（1）6，12，25；（2）① 见分析；② 5 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算等，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）①根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； ②先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 解：（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③7，24，25． 故答案为：6，12，25； （2）①证明：，， ， ∴，，2mn是勾股数； ②解：把24，45，51约去，化简得：8，15，17， 偶数，， ，， ． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股数、规律型以及列代数式等知识，由题意可知为奇数，设股是a，则弦为，再根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． （二）几何综合与图形变换 【题型 4】折叠问题 【例题4】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 解：（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 【题型 5】网格问题 【例题5】（2025·吉林长春·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； （2）在图②中的边上找一点E，连接，使； （3）在图③中的边上找一点F，使点F到和所在直线的距离相等． 【答案】（1）图见分析；（2）图见分析；（3）图见分析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识， （1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可； （2）取格点D，连接，交于点E，则； （3）取格点E，连接，取的中点D，连接交于点F，点F即为所求． 解：（1）解：如图1，即为所作， （2）解：如图2所示，点E即为所作： 理由：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图3，点F即为所作： 理由： 由勾股定理得： ∴ 又 ∴ 又， ∴， ∴平分， ∴点F到和所在直线的距离相等． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积为4 D．点到的距离为2 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 解：A．∵，∴，正确，不符合题意； B．∵，，， ∴，∴，正确，不符合题意； C．，原结论错误，符合题意； D．点A到的距离，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 ． （2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明． ． 【答案】 取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 解：（1）解：①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 【点拨】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 【题型 6】最短路径问题 【例题6】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，平面内三点A、B、C，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值是 ． 【答案】72 【分析】如图，过点D作，使得，连接，证明，推出，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 解：如图，过点D作，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴当的值最大时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为12，即的最大值为144， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【变式1】（21-22八年级上·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 18 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 【例题7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴ ∴ =100 ∴最短路线长为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故选：B. 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 【答案】18 【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为， 如图，过点作交的延长线于点D， ∵， ∴， 由勾股定理得： ∴圆柱底面周长为； 故答案为：18． （三）实际应用与建模 【题型 7】测量与工程（测量河宽与梯子滑落） 【例题7】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 【答案】调整前后顶部边缘移动的水平距离的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，在中求得，根据题意得，在中求得，利用求解即可． 解：∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∵，， 在中，， ∴， 解得： ， ∴． 答：调整前后顶部边缘移动的水平距离为． 【变式1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 【变式2】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 【答案】75 【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可． 解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75． 故答案为75． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键． 【题型 8】航海与方位（航海方向与台风影响） 【例题8】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； （2）若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】（1）32；24；（2）“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出的长，再证明得到，据此可得答案． 解：（1）解：由题意得，海里， 海里； （2）解：由题意得，海里， 海里； ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 【变式1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点拨】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案． 解：根据题意得，（海里），（海里）， ， 海里， ， ， ． ， ， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 故选：B 【题型 9】经济决策（超速判断与选址问题） 【例题10】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． （1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 （2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】（1）；（2）超速，理由见分析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 解：（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 【变式2】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车 .（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 解：在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 五．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 3．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案． 解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 6．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 8．（24-25八年级下·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程即可得． 解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 解：如图，    由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 12．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 解：设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 14．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 解：（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 15．（24-25八年级下·河北邢台·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．设相邻两个结点之间的距离为a，请你说说其中的道理． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据题意得：这个三角形的三边长分别为，然后再由勾股定理，即可求解． 解：根据题意得：这个三角形的三边长分别为 ， ∵ ∴以为边长的三角形是直角三角形，其直角在第4个结处． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是最近的路；说明见分析；（2）新路比原路少千米 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理的逆定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 解：（1）解：是最近的路，说明如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即 ∴， ∴是从村庄到河边的最近的路． （2）解：设千米，则千米，千米， 在中，根据勾股定理有，，即， 解得 ∴千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选：A． 2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即． 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，设芦苇长x尺，则水深为尺，根据勾股定理列方程即可． 解：设芦苇长x尺，由题意得： ， 即， 故选C． 5．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 解：设旗杆高度为xm，可得AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m， 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22， 如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11， 故选：B． 【点拨】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题． 6．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先分别分析、的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 解： 是由边长为的正方形、边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分别为、，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故①错误． 是由边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴，即， 化简可得，故③④正确 ， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24八年级下·浙江台州·开学考试）一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 米才是安全的． 【答案】4 【分析】此题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 解：如图， 即为大树折断处减去小孩的高， 则，， 在中，． 故小孩至少离开大树4米之外才是安全的， 故答案为：4． 8．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在垂直于地面的墙上离地面的点斜放一个长的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑，则梯子在地面上滑出的距离的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，如果直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，首先在中利用勾股定理计算出的长，在中利用勾股定理求出的长，根据即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 解：设垂直于地面的位置为点，如图所示： 由题意得：，，， 在中，， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 9．（21-22八年级上·重庆南岸·期末）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 m． 【答案】/ 【分析】设，则 结合再利用勾股定理建立方程再解方程求解 再利用勾股定理求解梯子的长即可. 解：设，则 而 由勾股定理可得： 整理得： 解得： 所以梯子的长度为m. 故答案为： 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键. 10．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 【答案】10 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：10． 11．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 解：将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径 故答案为：5． 12．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米． （1）（______）千米； （2）煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】（1）；（2）千米处 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 解：（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 14．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． （1）若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 【答案】（1）；（2）秋千的高度为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）根据即可求解； （2）过点作，利用勾股定理解即可． 解：（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 答：秋千的高度为． 15．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见分析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 解：[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． （1）特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． （2）性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． （3）深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】（1）①；②见分析；（2）；（3）见分析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 解：（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点拨】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 【答案】B 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 所以，原处还有4.55尺高的竹子． 故选：B． 【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 二、填空题 4．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 6．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 7．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 8．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$