第四章 图形的相似 单元测试2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第四章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为(　　) A. B. C.6 D.±6 2.在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L1，L2，L3表示小灯泡．当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，有两个灯泡发光的概率是(　　) A. B. C. D. 3.如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝3，BC＝4，DF＝5，则CE的长为(　　) A.6 B. C.7 D. 4.如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是(　　) A.1∶4 B.1∶8 C.1∶16 D.1∶2 5.有一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5 cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，那么这个多边形的周长是(　　) A.12 cm B.18 cm C.32 cm D.48 cm 6.如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　） A.1：6 B.1：5 C.1：4 D.1：2 7.如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（　　） A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4） 8.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(　　) A.OA•OC＝OD•OB B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D. 9.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（　　） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k•OP′． A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 10.已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且AP＝2，AF⊥AP，垂足是点A，若在射线AF上找一点M，使以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，则AM为(　　) A.2 B.5 C.2或 D.2或 11.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（　　） A.1：3 B.2：3 C.：2 D.：3 12.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC. 其中正确的是（　　） A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题 13.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为______________． 14.△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为　     　． 15.如图，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝　          　． 16.如图，在边长为4 cm的正△ABC的边上有E、F两个动点，它们从A处同时出发，沿着三角形的三边顺时针运动．若E点的速度为每秒1 cm，F的速度为每秒5 cm，则最少经过 　 　秒，△AEF与△ACB相似． 17.如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M、N．下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③=；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD，其中正确的结论的序号是 　    　． 三、解答题 18.如图所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm． （1）求和； （2）线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？ 19.如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)在图中△ABC的内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心为点O，位似比为1∶2； (2)连接(1)中的AA′，则线段AA′的长度是________． 20.在地图上，连接A，B，C三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从C地直飞A地的距离约为1286千米，那么飞机从C地绕道B地再到A地的飞行距离约为多少千米？ 21.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近_____(结果精确到0.1)，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 　     　； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22.如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1＝∠2＝∠A． （1）如图1，若AB＝AC，求证：BE＝CF； （2）若图2，若AB≠AC， ①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由； ②求证：＝． 北师大版九年级上册 第四章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为(　　) A. B. C.6 D.±6 【答案】D 【解析】设线段a，b的比例中项为c， 则c2＝ab＝4×9＝36， 解得：c＝±6． 故选：D． 2.在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L1，L2，L3表示小灯泡．当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，有两个灯泡发光的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题图可知，闭合开关S1和S3时，有两个灯泡发光． 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中有两个灯泡发光的结果有(S1，S3)，(S3，S1)，共2种， ∴当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，有两个灯泡发光的概率是=． 3.如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝3，BC＝4，DF＝5，则CE的长为(　　) A.6 B. C.7 D. 【答案】B 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴， ∴， ∴CE=， 故选：B． 4.如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是(　　) A.1∶4 B.1∶8 C.1∶16 D.1∶2 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的相似比是1∶4，∴它们对应的角平分线之比是1∶4.故选A. 5.有一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5 cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，那么这个多边形的周长是(　　) A.12 cm B.18 cm C.32 cm D.48 cm 【答案】C 【解析】∵一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5 cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，∴两个相似多边形的形似比＝，∴，解得C＝32 cm.故选C. 6.如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　） A.1：6 B.1：5 C.1：4 D.1：2 【答案】C 【解析】∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， ∴两图形的位似之比为1：2， 则△DEF与△ABC的面积比是1：4． 故选：C． 7.如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（　　） A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4） 【答案】A 【解析】∵E′（2，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大， ∴E′点对应点E的坐标为（2×（﹣2），﹣1×（﹣2）），即（﹣4，2）， 故选：A． 8.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(　　) A.OA•OC＝OD•OB B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D. 【答案】D 【解析】A、能判定，利用两边成比例夹角相等； B、能判定，两角对应相等的两个三角形相似； C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似； D、不能判定． 故选：D． 9.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（　　） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k•OP′． A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【答案】D 【解析】①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误； ②位似图形一定有位似中心；正确； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；错误，如图所示两个三角形不是位似图形； ④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k•OP′；正确． 故选：D． 10.已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且AP＝2，AF⊥AP，垂足是点A，若在射线AF上找一点M，使以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，则AM为(　　) A.2 B.5 C.2或 D.2或 【答案】C 【解析】∵AF⊥AP，∴∠DAF＋∠DAP＝90°，又∵∠BAP＋∠DAP＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAP，∵以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，∴①AM与AP是对应边时，AM：AP＝AD：AB，即AM：2＝5：5，解得AM＝2，②AM与AB是对应边时，AM：AB＝AD：AP，即AM：5＝5：2，解得AM＝，综上所述，AM为2或.故选C. 11.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（　　） A.1：3 B.2：3 C.：2 D.：3 【答案】A 【解析】∵△ABC是正三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°， ∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， ∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30°， ∴∠DFE＝∠FED＝∠EDF＝60°，＝， ∴△DEF是正三角形， ∴BD：DF＝1：①，BD：AB＝1：3②，△DEF∽△ABC， ①÷②，＝， ∴DF：AB＝1：， ∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3． 故选：A． 12.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC. 其中正确的是（　　） A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】C 【解析】∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， 在正方形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90° ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴BE＝2AE；故①正确； ∵PC＝CD，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝75°， ∴∠FDP＝15°， ∵∠DBA＝45°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠FDP＝∠PBD， ∵∠DFP＝∠BPC＝60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°， ∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不相似；故③错误； ∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2＝PH•PC，故④正确； 故选：C． 二、填空题 13.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为______________． 【答案】113°或92° 【解析】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝ (180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°. 14.△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为　     　． 【答案】1 【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9， ∴两图形的位似比为：2：3， ∵位似中心O与A的距离为2， ∴位似中心O与A1的距离为3， ∴A到A1的距离为：1． 故答案为：1． 15.如图，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝　          　． 【答案】1：3：5 【解析】∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC， ∵AD＝DF＝FB， ∴AD：AF：AB＝1：2：3， ∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：9， ∴SⅠ：SⅡ：SⅢ＝1：3：5． 16.如图，在边长为4 cm的正△ABC的边上有E、F两个动点，它们从A处同时出发，沿着三角形的三边顺时针运动．若E点的速度为每秒1 cm，F的速度为每秒5 cm，则最少经过 　 　秒，△AEF与△ACB相似． 【答案】2 【解析】设经过t秒时，△AEF与△ACB相似， ∵△ABC是边长为4 cm的等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝4 cm，∠BAC＝60°， 由题意得AE＝t cm，AC+CB+BF＝5t cm， ∴AF＝（12﹣5t）cm， ∵△AEF与△ACB相似， ∴＝1， ∴AE＝AF， ∴t＝12﹣5t， 解得：t＝2， 故答案为：2． 17.如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M、N．下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③=；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD，其中正确的结论的序号是 　    　． 【答案】①②③ 【解析】不妨设：BE＝EF＝CF＝1， ①在正方形ABCD中：AB＝BC＝CD＝3， ∠ABC＝∠C＝90°， ∴BF＝CG＝2， ∴△ABF≌△BCG（SAS）， ∴∠BAF＝∠CBG， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠BAF+∠ABG＝90°， ∴在△ABN中，∠ABN＝90°， ∴AF⊥BG， ∴①正确. ②由①知：∠ABN＝∠C＝90°， 又∠CBG是公共角， ∴△BNF∽△BCG， ∴＝＝， ∴BN＝NF， ∴②正确． ③作GH∥BC交AB于H，交AE于K， ∴△AHK∽△ABE，△BNF∽△GNK， ∴＝，＝， ∵BE＝1，AH＝DG＝1，AB＝3， ∴＝， ∴HK＝， ∴GK＝GH﹣HK＝BC﹣HK＝3﹣＝， ∴＝＝＝， ∴BM＝MG， ∴③正确． ④由①知：△ABF≌△BCG， ∴S△ABF＝S△BCG， ∴S△ABN+S△BNF＝S四边形CGNF+S△BNF， ∴S△ABN＝S四边形CGNF， 由②知：△BNF∽△BCG， ∴＝， ∵在Rt△BCG中，BG＝＝＝， S△BCG＝BC．CG＝×3×2＝3． ∴＝＝， ∴S△BNF＝， ∴S四边形CGNF＝S△BCG﹣S△BNF＝3﹣＝， ∵S四边形ANGD＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S四边形CGNF＝9﹣3﹣＝， ∴S四边形CGN≠S四边形ANGD， ∴④不正确． 三、解答题 18.如图所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm． （1）求和； （2）线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？ 【答案】解：（1）∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm． ∴＝＝，＝＝； （2）由（1）知＝＝，＝＝； ∴＝， ∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【解析】 19.如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)在图中△ABC的内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心为点O，位似比为1∶2； (2)连接(1)中的AA′，则线段AA′的长度是________． 【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作； (2)OA＝＝， ∵OA′∶OA＝1∶2，∴点A′为OA的中点，∴AA′＝. 【解析】 20.在地图上，连接A，B，C三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从C地直飞A地的距离约为1286千米，那么飞机从C地绕道B地再到A地的飞行距离约为多少千米？ 【答案】解：设飞机从C地绕道B地再到A地的飞行距离约为x千米 则：＝， 解得x＝3858， ∴飞机从C地绕道B地再到A地的飞行距离约为3858千米． 【解析】 21.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近_____(结果精确到0.1)，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为 　     　； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】解：(1)根据题意得，当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50； 假如小李摸一次，小李摸到白球的概率为0.5. (2)40×0.5＝20(个)，40﹣20＝20(个). 即估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个. (3)设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得＝， 解得x＝10， 经检验，x＝10是分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入10个白球． 【解析】 22.如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1＝∠2＝∠A． （1）如图1，若AB＝AC，求证：BE＝CF； （2）若图2，若AB≠AC， ①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由； ②求证：＝． 【答案】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠FCB， 在△BCE与△CBF中，， ∴△BCE≌△CBF， ∴BE＝CF； （2）①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连接DE、DF， 则∠DAF＝∠DAE＝∠A， ∵∠1＝∠2＝∠A， ∴∠DAF＝∠DAE＝∠1＝∠2， ∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆， ∴BD＝DF，DE＝DC， ∵∠BDE＝∠A，∠CDF＝∠A， ∴∠BDE＝∠CDF， 在△DEB与△DCF中，， ∴△DEB≌△DCF， ∴BE＝CF； ②由上面的证明易知△DFB与△DEC均为等腰三角形， ∵∠1＝∠2， ∴△DFB∽△DEC， ∴， ∵AD是△ABC的内角平分线， ∴， ∴． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$