精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024－2025年度第二学期八年级期木考试 试题卷•数学 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，其中不是函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表．该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　） 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 3. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（ ） A. 90 B. 100 C. 36 D. 64 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8 5. 已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞﹣2 C. a＞1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 8. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知函数，其自变量的取值范围是________． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学立定跳远成绩的平均数相同，教练预推选成绩最稳定的同学参加比赛，四名同学平时成绩的方差如下：，，，．则教练推选________最合适． 13. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程的解集为________． 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 16. 设、是方程的两根，则________． 三．解答题（本大题9个小题，共72分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法求解下列方程： （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求的面积． 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 21. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． （1）求进馆人次的周平均增长率； （2）因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 23. 如图，矩形中，对角线与交于点，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）若，，求四边形的周长． 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（ ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（ ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（ ） （2）如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； （3）如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 25. 若函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象． （1）求函数的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）若，，三点都在函数的图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）①若，顶点的纵坐标为，当时，函数的最大值，最小值，且，求的解析式； ②在①的条件下，对于上任意一点总有恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025年度第二学期八年级期木考试 试题卷•数学 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，其中不是函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，由此逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； B、对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； C、对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； D、对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A． 2. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表．该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　） 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 3. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（ ） A. 90 B. 100 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先求出图中面积为和的正方形的边长是和，再由勾股定理可得正方形的边长，由此即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，图中面积为和的正方形的边长是和， 由勾股定理可得正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质以及直角三角形的性质，得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， ； 故选：D． 5. 已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：A、由ABCD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由ABCD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 6. 已知一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 在中，当时随的而增大，当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 7. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞﹣2 C. a＞1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围． 【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0， 解得：a＞﹣1且a≠0， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 8. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：向左平移3个单位：将替换为，得， 向上平移3个单位：在整体表达式后加3，即， 因此，平移后的抛物线表达式为， 故选：C． 9. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 二．填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知函数，其自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不为零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学立定跳远成绩的平均数相同，教练预推选成绩最稳定的同学参加比赛，四名同学平时成绩的方差如下：，，，．则教练推选________最合适． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小数据越稳定这一知识点是解题的关键．本题可通过比较四名同学立定跳远成绩的方差大小，依据方差的意义来判断成绩最稳定的同学，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解： ∵， ， ，丁， 比较、、、的大小，可得， 即， ∴乙同学的成绩方差最小，成绩最稳定． 故答案为：乙． 13. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的情况并由根的判别式列出不等式是解题的关键． 由一元二次方程没有实数根可知△<0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，需要利用交点信息求出交点坐标，然后根据图像关系，确定不等式的解集．本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及如何通过图像交点来确定不等式的解集，熟练掌握一次函数的图像性质以及不等式与函数图像的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， 将，代入，得： ， ， 观察图像可知当的图像位于的图像上方时，， 故答案为：． 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 16. 设、是方程的两根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系可得，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题9个小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 用适当的方法求解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握这两种方法是解题的关键． (1) 对于方程 ，可以考虑使用因式分解法来求解，即找到两个数，它们的乘积为，且它们的和为，这两个数分别是和2，所以可以将方程分解为 ，从而得到方程的解． (2) 对于方程 ，由于不易直接因式分解，可以使用一元二次方程的求根公式来求解，即 ，其中 ． 【小问1详解】 解：， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，． 【小问2详解】 解：∵ ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围城的三角形的面积，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据一次函数的图象经过，两点，可以求得该函数的解析式； （2）根据点A和点B的坐标，从而可以求得的面积． 【小问1详解】 解：设这个一次函数解析式为， ∵的图象过点，， ， 解得：， ∴这个一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，， ， ． 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 【答案】（1）25，3，3 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数， ∴中位数为， 由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为； 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人． 21. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【小问1详解】 解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． （1）求进馆人次的周平均增长率； （2）因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的周平均增长率为； （2） 解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设进馆人次的周平均增长率为，然后根据题意列方程，再解方程并检验即可； （）根据（）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【小问1详解】 解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； 【小问2详解】 略 23. 如图，矩形中，对角线与交于点，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， 由（）得， ∴四边形为菱形； （3）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形的性质可得，由，，则，然后通过直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求证； （）先证明四边形为平行四边形，再由即可求证； （）由（）得，，又四边形为菱形，则，设，则，，然后通过勾股定理得，再求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（）得，， ∵四边形为菱形， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（ ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（ ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（ ） （2）如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； （3）如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 【答案】（1）①×；②√；③√ （2） ①证明：如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形，即原四边形是“博闻四边形”； ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，逐一分析，即可解答； （2）①取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；②过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，通过证明得到，在中利用勾股定理即可求解； （3）分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可得，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵点E，F，G，H依次是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时， ， ∴平行四边形是矩形，即平行四边形有可能是“博学四边形”，故①错误； 当时，， ∴平行四边形是菱形， 即对角线相等的四边形是“博思四边形”，故②正确； 当四边形是正方形时，则有，， ∴，， ∴平行四边形是正方形． ∴正方形一定是“博闻四边形”，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√． 【小问2详解】 ①略 ②解：过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，如图， 则有， ∴， 由①及题意得，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接，连接交于O，连接、， ∵ 四边形是“博闻四边形”，M，N分别是，的中点， ∴ 四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ N，F分别是的中点， ∴， ∴， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）①知：， 在和中 又∵M，N分别是直角三角形斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值是2， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中点四边形”的定义并运用是本题的关键． 25. 若函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象． （1）求函数的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）若，，三点都在函数的图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）①若，顶点的纵坐标为，当时，函数的最大值，最小值，且，求的解析式； ②在①的条件下，对于上任意一点总有恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，． （3）①② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，不等式组，一元二次方程，翻折，掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次函数顶点坐标公式计算，即可解答； （2）将，，分别代入，求出，根据总成立，得到，即可得到不等式组，再分类讨论：当时，当时，即可解答． （3）①当时，，根据题意可得到函数的解析式为，再分类讨论：当时，当时，当时，逐一分析求解即可；②将代入，并化简得，对于上任意一点，不等式恒成立，则需取最大值，得，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ∴函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 将，，分别代入，得 ∵总成立， ∴即， 化简得， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，当时，；当时，． 【小问3详解】 ①当时，， 由函数的图象关于直线翻折得到新函数的图象，函数的顶点坐标为，顶点的纵坐标为，得 新函数的解析式为， 当时，二次函数的y随x的增大而减小， ∴，， ∵， ∴， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，二次函数经过顶点，且到坐标轴的距离大于或等于m到坐标轴的距离，由二次函数的图像可知， 对应的y值大于或等于对应的y值， ∴，， ∵，不符合题意，舍去． 当时，二次函数经过顶点，且m到坐标轴的距离大于到坐标轴的距离，由二次函数的图像可知， 对应的y值大于对应的y值， ∴，， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴函数的解析式为． ②将代入，得 ， 化简，得 ， ， ∵对于上任意一点，总有恒成立， ∴需取最大值， ∵ ， ∴当，即时，的最大值为． ∴，即取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $