第一章 有理数（知识框架+知识梳理+ 同步练习）复习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

第一章有理数章末复习 一、本章知识框架 二、本章知识梳理 1、正数和负数 正数的概念： 叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做 . 注： 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 2、相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有 的量. 3、有理数 （1）整数和分数统称为 。 （2）整数：整数包括正整数、零和负整数。 正整数：像1、2、3、4……这样 的整数，是正整数， 零：0是一个特殊的整数，它既不是 。 负整数：像 -1、-2、-3、-4……这样 。是负整数， （3）分数：分数包括有限小数和无限循环小数。 有限小数：小数部分的位数是有限的小数，例如0.25、3.14等，它们都可以表示为分数形式， 无限循环小数：无限循环小数也属于分数范畴，进而属于有理数。 4、有理数的分类 （1）按正、负性质分类： （2）、按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 5、数轴的概念 .概念：规定了 、 、 的直 叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 6、数轴上的点和有理数的对应关系 数轴上的点和有理数是 的。 7、数轴上的点的特点 （1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 8、相反数 （1）概念:只有 不同, 相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是 . （2）性质：若a与b互为相反数，则 ；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 9、绝对值 （1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的 . （2）代数意义：①正数的绝对值是它的 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的 ；③ 0的绝对值是 . （3）代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有 个，他们互为相反数.即±a. （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都 零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 10、利用绝对值比较大小 代数比较法： 大于零， 小于零，正数 负数.两个负数比较大小时， 三、本章知识精练 一、单选题 1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 2．下列各组量中具有相反意义的量是（    ） A．蚂蚁向上爬30厘米与向左爬30厘米 B．向东走5米与向南走5米 C．收入人民币2元与归还图书馆2本书 D．弹簧伸长3厘米与缩短3厘米 3．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．的相反数是（    ） A． B． C． D．2 5．如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 6．四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 7．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 9．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 二、填空题 10．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 11．若，则 ． 12．如图，数轴上有一处不小心被墨水污染了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据，则被污染部分的整数点有 个． 13．下列说法：①符号不同的两个数互为相反数；②0没有相反数；③数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数；④在任何一个数前面添加一个“－”，就变成原数的相反数．其中说法错误的是 ．（请填写序号） 三、解答题 14．在数轴上画出表示下列各数的点，并按由大到小的顺序连接起来． 15．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 16．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 17．点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________． (2)数轴上表示和两点之间的距离为______．若表示一个有理数，且，则______． (3)利用数轴求出的最小值为_______，并写出此时可取哪些整数值______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第一章有理数章末复习 1．B 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵气温升高时，气温变化记作， ∴气温下降时，气温变化记作． 故选B． 2．D 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：A、蚂蚁向上爬30厘米与向左爬30厘米，向上与向左不是相反意义，故A错误； B、向东走与向南走，不是相反意义，故B错误； C、收入与归还不是相反意义，故C错误； D、弹簧伸长3厘米与缩短3厘米是相反意义的量，故D正确； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 5．B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了数轴的三要素及其画法，熟练掌握数轴的三要素及其画法是解题的关键：1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线；2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；3、数轴的画法：①都是正数时，原点适当靠左；都是负数时，原点适当靠右；②既有正数又有负数时，如果所表示的正数离原点较远，则原点适当靠左；如果所表示的负数离原点较远，则原点适当靠右；4、注意事项：画数轴时，原点、正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小；单位长度的大小可以根据不同的需要选择． 根据数轴的三要素及其画法逐项分析判断即可． 【详解】 解：A. ，没有原点，故错误，选项不符合题意； B. ，数字大小写错了（应在左边），故错误，选项不符合题意； C. ，具备数轴的三要素，故正确，选项符合题意； D. ，没有正方向，故错误，选项不符合题意； 故选：． 7．C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了数轴，理解数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：B． 9．A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 10． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据求一个数的绝对值进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．38 【分析】该题主要考查了数轴，解题的关键是掌握数轴上的数从左到右依次增大． 根据数轴解答即可． 【详解】解：由数轴可知，和之间的整数点有：，共个； 所以被淹没的整数点有38个， 故答案为：38． 13．①②③ 【分析】此题主要考查对相反数的理解．根据相反数的定义和性质，逐一判定即可． 【详解】解：①只有符号不同的两个数互为相反数，①说法错误； ②0的相反数是0，②说法错误； ③数轴上原点两旁且与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数，③说法错误； ④在任何一个数前面添加一个“－”，就变成原数的相反数，④说法正确． 故答案为：①②③． 14．，详见解析 【分析】本题主要考查了数轴和有理数的大小比较的应用，先在数轴上表示各个数，再由在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，比较即可，能正确比较有理数的大小是解此题的关键． 【详解】解：表示各点，如图所示， ∴． 15．(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上的平移，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． （1）根据点表示的数是，将点A向右平移3个单位长度后，得到的点即为所求的原点． （2）先化简计算，后再数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． 【详解】（1）解：如图： 原点O即为所求； （2）解：∵，， ∴数轴表示如下： 故． 17．(1)4，3 (2)，6 (3)7；，，，0，1，2，3，4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案；根据的值，化简绝对值并进行运算，即可获得答案； （3）利用数轴的特点和绝对值的意义，即可获得答案． 【详解】（1）解：，， ∴数轴上表示1和5两点之间的距离是4，数轴上表示2和的两点之间的距离为3． 故答案为：4，3； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵表示一个有理数，且， ∴． 故答案为：，6； （3）解：根据题意，可知的几何意义为有理数表示的点到表示的点以及4表示的点的距离和， 当时，， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 综上所述，的最小值为7； 此时，即，可取的整数值有，，，0，1，2，3，4． 故答案为：7；，，，0，1，2，3，4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$