精品解析：贵州省黔南州2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷

黔南州2023—2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案. 【详解】由题得众数为2，极差为，平均数为， 中位数为． 故选：C 2. 双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】双曲线中，，双曲线的离心率， 所以． 故选：D． 3. 记为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得解得， 所以． 故选：A． 4. 已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，若，则，C错误；D选项，由线面平行的判定定理得到D正确. 【详解】对于A选项，若， 当平行时，平行或者相交，A错误； 对于B选项，若，则或相交，但不一定垂直，B错误； 对于C选项，若，则，C错误； 对于D选项，由直线与平面平行的判定定理知，D正确． 故选：D． 5. 黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 6. 已知的展开式中的系数为48，则实数＝（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【详解】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 7. 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】因为，若，所以， 则，所以． 故选：A． 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据椭圆定义得到，结合求出，则，，求出. 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】求得的最小正周期可判断A；由，可判断B；求得平移后的函数解析式，可判断C；，结合余弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，设的图象向左平移个单位长度后的函数为 由， 由，可得函数为奇函数， 所以图象关于原点对称，故C正确； 对于D，因为，可得，所以由余弦函数的单调性可得函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：AC． 10. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由欧拉公式，利用复数的基本概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，其虚部为，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，则，所以C错误； 对于D中，由，故的共轭复数为，所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数的定义域为R，满足．则（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 的一个周期为2 【答案】BC 【解析】 【分析】令，计算可判断A；令，可得判断B；令，结合B可求得判断C；令，可得，进而可得的一个周期为12，令，计算可判断D. 【详解】令，则，所以，A选项错误； 令，则，即，故是偶函数，B选项正确； 由B可得，令，则． 令，则，所以， 所以．因为，所以，C选项正确； 令，则， 所以，故， 所以，所以的一个周期为12， 令，则，可得或），D选项错误. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】由题意知，又，且， 故，即a的取值范围为． 故答案为： 13. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为R，由球的表面积解出，设外接圆半径为，边长为，解出，由勾股定理求解即可. 【详解】设球的半径为，则，解得． 设外接圆半径为，边长为， 因为是面积为的等边三角形， 所以，解得， 由，所以， 所以球心到平面的距离． 故答案为：. 14. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由条件可得BD平分，利用三角形等面积转化可得，求出代入所求式，整理后运用基本不等式即可求得. 【详解】由得平分．因为， 故由，可得， 化简得，即， 则． 因为，故， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值9． 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【小问1详解】 ∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 16. 转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）变量的分布列为 X 0 1 2 3 数学期望为． 【解析】 【分析】（1）由表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且，得出变量可能的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，结合表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”． 设从以上选手甲十轮游戏中任选两轮，这两轮均"稳定发挥"为事件， 则． 【小问2详解】 解：甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且， 其中随机变量可能的取值为， 则， 所以变量的分布列为 X 0 1 2 3 则变量X的数学期望为． 17. 2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平总书记对“三农”工作作出重要指示．某地区为响应习近平总书记的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是正方形，，且都垂直于平面．，平面平面． （1）求证：平面BCF； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：平面平面，∴． 又平面平面，∴平面BCF． （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可证结论； （2）取的中点，连接，由题意可得平面，点为坐标原点，所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接． ∵，∴． 又∵平面平面，且平面平面平面， ∴平面，同理可得平面． 在中，由勾股定理，可得， 在直角梯形中，过作于，可得四边形为矩形， ∴，在中，由勾股定理，可得， ∴． 由题，平面．如图所示， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为， 则，令，则，则平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得，则平面的法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线方程为，准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. AI 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【解析】 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【小问1详解】 将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 【小问2详解】 略 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在．理由如下： 假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）不是，理由如下： 设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案； （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件，分析数列满足的关系式再进行列式分析，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2023—2024学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 2. 双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 4 3. 记为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中的系数为48，则实数＝（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D. 在区间上单调递增 10. 欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 11. 已知函数的定义域为R，满足．则（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 的一个周期为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则a的取值范围为______． 13. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则点到平面的距离为______． 14. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 16. 转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 17. 2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平总书记对“三农”工作作出重要指示．某地区为响应习近平总书记的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是正方形，，且都垂直于平面．，平面平面． （1）求证：平面BCF； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 19. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $