27.2.1 相似三角形的判定 同步练习 2024--2025学年人教版九年级数学下册

人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习 一、选择题 1.已知，则（    ） A. B. C. D. 2.若两个直角三角形都有一个的内角，则这两个直角三角形一定（    ） A.全等 B.相似 C.位似 D.无法确定 3.在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 如图，四边形内接于，对角线交于点，延长交于点 ．则下列说法错误的是（    ）       A. B. C. D. 5.下列各组图形中，是相似图形的是(    ) A. B. C. D. 如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（     ）    A. B. C. D. 7.如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A. B. C. D. 8.下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　） A.且 B.且 C.且 D.且 9.下列几个说法中正确的有：（  　） (l）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似； (3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似 ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且AP＝2，AF⊥AP，垂足是点A，若在射线AF上找一点M，使以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，则AM为（　　） A.2 B.5 C.2或 D.2或 二、填空题 11.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________. 12.面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为          ． 13.某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数关系式为______________________．(不要求写出自变量x的取值范围) 把一个矩形剪去一个正方形后，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为        ． 已知菱形的边长为2， =60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 15.         三、解答题 已知矩形中，，在中取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，求的长． 16.      17.已知一个长方体的体积是100 m3，它的长是y m，宽是5 m，高为x m，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 18.在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由． 19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C． （1）若BC＝8，求FD的长； （2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE． 20.如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图（2），M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图（3），请解答下列问题： （1）在图（2）中，线段BD与线段CE的大小关系是　     　； （2）在图（3）中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论． 人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习（参考答案） 一、选择题 1.已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：， ， ， 故选：A． 2.若两个直角三角形都有一个的内角，则这两个直角三角形一定（    ） A.全等 B.相似 C.位似 D.无法确定 【答案】B 【解析】 解：若两个直角三角形都有一个的内角， ∴这两个三角形有两组角对应相等， 这两个直角三角形一定相似． 故选：B． 3.在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 【答案】A 【解析】解：∵甲、乙、丙三个图形都是矩形， ∴所有对应角相等，均为， ∵甲与乙对应边的比例为，甲与丙对应边的比例为， ∴甲与乙相似，甲与丙不相似， ∴乙与丙也不相似， 故选：A． 如图，四边形内接于，对角线交于点，延长交于点 ．则下列说法错误的是（    ）       A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：A．∵，∴， 故选项A不符合题意； B．∵，∴，故选项B不符合题意； C. ∵∴， 又 ∴,故选项C不符合题意； D.无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 5.下列各组图形中，是相似图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：大小不同，形状相同的图形是相似形，A，B，D的形状不同，C大小不同， 形状相同， 故选C. 如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（     ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 7.如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由储存室的体积公式知：， 故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数． 故选：C． 8.下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　） A.且 B.且 C.且 D.且 【答案】A 【解析】解：∵，，∴，故A选项符合题意； ∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似， 故B选项不符合题意； ∵，和均不是夹角，∴不能说明和相似， 故C选项不符合题意； ∵，不是和的夹角，∴不能说明和相似，故D选项不符合题意． 故选：A． 9.下列几个说法中正确的有：（  　） (l）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似； (3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似 ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】解：边长相等的正方形和菱形，它们的四条边都相等，但它们的形状不同， 所以不相似，所以说法（1）不正确； 矩形和正方形，它们的四个角都是直角，但它们的形状不同，所以不相似， 所以说法（2）不正确； 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，根据相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.所以说法（3）正确； 正六边形的每个内角都相等，都是120度，每条边都相等，根据相似多边形的定义： 对应边成比例，对应角相等的多边形是相似多边形.所以说法（4）正确. 故选B. 10.已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且AP＝2，AF⊥AP，垂足是点A，若在射线AF上找一点M，使以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，则AM为（　　） A.2 B.5 C.2或 D.2或 【答案】C 【解析】∵AF⊥AP，∴∠DAF+∠DAP＝90°， 又∵∠BAP+∠DAP＝∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝∠BAP， ∵以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似， ∴①AM与AP是对应边时，＝，即＝，解得AM＝2， ②AM与AB是对应边时，＝，即＝，解得AM＝， 综上所述，AM为2或． 故选：C． 二、填空题 11.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________. 【答案】12 【解析】∵DE∥FG∥BC，∴AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4， ∵EG＝4，∴AE＝，GC＝，∴AC＝AE＋EG＋GC＝12， 12.面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为          ． 【答案】 【解析】由题意可得，∴， 故答案为：． 13.某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数关系式为______________________．(不要求写出自变量x的取值范围) 【答案】y＝ 【解析】∵某户家庭用购电卡购买了2 000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，使用的天数为y(单位：天)，∴y与x的函数关系式为y＝. 把一个矩形剪去一个正方形后，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为        ． 【答案】 【解析】解：如图，          矩形（中剪去正方形， 设，， 矩形与矩形相似，， ，即， 解得，（舍去）， ， ． 故答案为：． 已知菱形的边长为2， =60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 15.         【答案】（3n－1，0）． 【解析】解：∵菱形的边长为2， =60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0）， 即（32－1，0）， 同理可得： 点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）， 点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）， ……… ∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）． 三、解答题 已知矩形中，，在中取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，求的长． 16.      【答案】解：根据已知得四边形是正方形． 设，则，， ∵四边形与矩形相似， ∴，∴， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ∴，即． 17.已知一个长方体的体积是100 m3，它的长是y m，宽是5 m，高为x m，试写出x、y之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 【答案】解 因为长方体的长是y m，宽是5 m，高为x m， 由题意知，100＝5xy，即y＝. 由于长方体的高为非负数， 故自变量的取值范围是0＜x＜4. 18.在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由． 【答案】解：AB＝＝，BC＝10，AC＝＝， AE＝2，AD＝，DE＝＝，CE＝＝，BD＝＝， ∴＝＝＝，＝＝＝， ∴△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE． 19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C． （1）若BC＝8，求FD的长； （2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE． 【答案】解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴，DE∥BC． ∴∠AED＝∠C． ∵∠F＝∠C， ∴∠AED＝∠F， ∴FD＝＝4； （2）∵AB＝AC，DE∥BC． ∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE， ∵∠AED＝∠F， ∴∠ADE＝∠F， 又∵∠AED＝∠AED， ∴△ADE∽△DFE． 20.如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图（2），M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图（3），请解答下列问题： （1）在图（2）中，线段BD与线段CE的大小关系是　     　； （2）在图（3）中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论． 【答案】解：（1）BD＝CE； 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 在图（1）中， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE是等边三角形， ∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上， ∴如图（2），AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE； （2）△AMN与△ABC相似． 证明：∵M、N分别是BD、CE的中点， ∴EN＝CE，DM＝BD， ∵BD＝CE，∴EN＝DM， ∵△BAD≌△CAE，∴∠AEN＝∠ADM， 在△ADM和△AEN中，， ∴△ADM≌△AEN（SAS）， ∴AM＝AN，∠MAD＝∠NAE， ∴∠MAN＝∠DAE＝60°， ∴△AMN也是等边三角形， ∴△AMN∽△ABC． 学科网（北京）股份有限公司 $$