精品解析：四川省巴中市2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题

四川省巴中市2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题 （北师版） （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵，下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 结合平移的性质即可判断． 【详解】解：由平移的性质得，A选项符合题意， B、D可看作由一个“基本图案”经过旋转得到， C可看作由一个“基本图案”经过翻折得到， 故选：A． 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得，原不等式不成立，不符合题意； B、当时，满足，但是不满足，原不等式不成立，不符合题意； C、由可得，则可得到，原不等式成立，符合题意； D、由可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选C． 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点关于原点对称的点的坐标为，由此建立方程求解和的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴点与点的横纵坐标均互为相反数， ∴，． 将和代入，得： 故选D． 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为， 由题意得，， 故选：D． 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解,根据两条直线的交点求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项正确，不符合题意； 当时，，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项错误，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，为的中点，连接，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线的判定与性质等知识点，充分掌握全等三角形的判定、中位线的判定是解题的关键．延长，交于点，利用证明，得到的长度以及为的中点，判断为中位线，求出的长度，最后将与相加，求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点 ， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故选． 9. 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始都放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向2秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ） A 4 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形规律问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、正多边形的性质． 由题意分别求出经过秒后，红黑两枚跳棋的位置，连接，，过点作于点，根据正多边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴经过秒后，红跳棋落在点处，黑跳棋落在点处， 如图，连接，，过点作于点， ∵，在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论： ①是方程组的一组解；②若，则； ③若，则的最大值为10；④若，则． 其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求出方程组的解，再逐一判断即可． 【详解】解：解得， ①将代入得， 即，满足，故①正确； ②∵， ∴， 解得：，故②错误； ③， ∵， ∴当时有最大值，为，故③错误； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故④错误； 综上，仅①正确，正确个数为1， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则需满足的条件是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据分母不等于零且被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，把化为，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 13. 若关于x的方程有增根，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为，熟记增根特点是解题的关键． 先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质． 过点D作于点M，根据平行四边形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义求出，可知，，根据勾股定理求出，根据等腰三角形三线合一可知． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点（不包含端点），过点作，交于，点在线段上．若，，点的横坐标为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合，勾股定理，不等式的计算，掌握一次函数图形的性质是关键． 如图所示，过点作轴于点，由勾股定理得到，由待定系数法得到直线的解析式为，点的横坐标为，直线的解析式为，点的横坐标为，结合题意得到，则点的横坐标为，即，运用不等式的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴点的横坐标为， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，即， ∵点是对角线上一动点（不包含端点）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（95分） 16. （1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法及分式的化简求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）本题考查解一元一次不等式，关键是依据不等式基本性质，通过去分母（不等式两边同乘6）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步将不等式变形为(或等)的形式，每一步需要遵循规则，保证不等号方向正确； （2）本题考查分式化简求值，要先通过通分、因式分解、约分等操作，将原式化为最简形式，再代入数值计算，核心部分是熟练运用分式运算规则和因式分解公式（平方差、完全平方等），简化计算结果． 详解】解：（1）， ， ， ， ． （2） 当时，原式． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 【答案】（1）见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； 【小问2详解】 解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 18. 如图，在中，D，E分别是线段的中点．连结并延长至点，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，学会用转化的思想思考问题． （1）运用三角形中位线性质定理得出，再证明即可得出结论； （2）过点作于点，D为中点得出，由平行四边形的性质得，得，，由勾股定理得，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明是线段的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， 为中点， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， 在中， 平行四边形的面积为：． 19. 已知 （1）若，求代数式； （2）在（1）的条件下，是否存在的值使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将A、B代入，通过移项，通分等计算得到答案； （2）将A、B代入，求解分式方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， ， 去分母得：， 化简得：， 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： 由（1）可知：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的增根，分式方程无解． 不存在的值使得． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 21. 如图，在中，点为边上一点，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若点在的平分线上，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等； （1）先求解，设，则，再利用勾股定理列方程计算即可； （2）过点作于点，证明，可得，，设，则，再利用勾股定理求解即可. 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， . 22. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形或者直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． （3）先分组进行因式分解，再根据或者两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） （3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下： 或 当时， 即不符合题意，舍去) 此时是等腰三角形 当时, 此时是直角三角形 综上，是等腰三角形或者直角三角形 23. 根据下面材料解决问题． 【材料一】 ，若，则．由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 【材料二】 分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式． 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如： 【初步尝试】 （1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________； 【类比运用】 （2）已知，且 ①将化带分数形式． ②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？ 拓展提升】 （3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）4；8；（2）①；②时，有最小值，最小值为8；（3）当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了知识拓展，分式的运算，算术平方根． （1）根据，当且仅当时有最小值求解即可； （2）①根据带分式的定义把化为带分式即可； ②根据求解即可； （3）先把化为带分式，然后根据求解即可． 【详解】（1）由得，， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为8． 故答案为：4；8 （2）①， ②由①得 当，即时，有最小值，最小值为8 （3）． 当，即时，有最小值，最小值为5． 当时有最大值，最大值为． 24. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【特例感知】 （1）如图1，已知是等腰直角三角形．，，．延长AC至点，使，连接． ①求证：； ②与有什么关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，已知在中，，，，．在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①利用余角性质可得，进而由可证明；②由全等三角形的性质得到，再由三角形中位线性质可得； （2）如图2， 延长至点， 使得， 连接，同理（）即可求解； （3）如图3， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 【详解】（）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴； ②，理由如下： 解：∵， ∴，即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）解：． 证明： 如图2， 延长至点， 使得， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ； （3）解： 如图3， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图4， ∵，，， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省巴中市2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题 （北师版） （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚． 2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵，下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 8. 如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，为的中点，连接，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始都放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向2秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 0 10. 已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论： ①是方程组的一组解；②若，则； ③若，则最大值为10；④若，则． 其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则需满足的条件是___________． 12. 已知，则的值为___________． 13. 若关于x的方程有增根，则值为______． 14. 如图，在中，平分，若，则的长为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点（不包含端点），过点作，交于，点在线段上．若，，点的横坐标为，则的取值范围是__________． 三、解答题（95分） 16. （1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 18. 如图，在中，D，E分别是线段的中点．连结并延长至点，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的面积． 19 已知 （1）若，求代数式； （2）在（1）的条件下，是否存在的值使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 某校开设智能机器人编程校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 21. 如图，在中，点为边上一点，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若点在的平分线上，求的长． 22. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 23 根据下面材料解决问题． 【材料一】 ，若，则．由此得出以下不等式：，当且仅当时有最小值．这个不等式在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 【材料二】 分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．同理，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：这样的分式就是真分式；这样的分式就是假分式． 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如： 【初步尝试】 （1）已知，当为____________时，式于的最小值为____________； 【类比运用】 （2）已知，且 ①将化为带分数形式． ②当x为何值时，y有最小值，最小值为多少？ 【拓展提升】 （3）已知．当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 24. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【特例感知】 （1）如图1，已知是等腰直角三角形．，，．延长AC至点，使，连接． ①求证：； ②与有什么关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，已知在中，，，，．在点的运动过程中，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $