04讲充分条件与必要条件（思维导图+知识梳理+常考题型） -2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4充分条件与必要条件 模块一 命题的概念 1.命题的概念 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. 2.命题的分类 （1）真命题：判断为真的语句； （2）假命题：判断为假的语句. 3.命题的常见形式 “若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 例1.判断下列语句是不是命题 （1）他太帅了！ （2）正方形的四条边相等。 （3） （4）若，则. （5）你多大了？ 【变式1-1】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-2】有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 模块二 充分与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2.概念理解 “p⇒q”的几种不同说法: (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. 例2. 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 若，则 若，则 若，为无理数，则为无理数． 例3.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例 （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 （4）若，则 （5）若，则 （6）若为无理数，则，为无理数． 【变式3-1】下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【变式3-2】指出下列哪些命题中是的必要条件 一个四边形是矩形，四边形的对角线相等 ， ， 模块三 充要条件 1.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 2.充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 例4.设，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式4-1】“”是“函数与轴只有一个交点”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式4-2】对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 模块四 集合的角度看充分条件、必要条件 1.集合的角度看充分条件与必要条件 设集合A={x|p(x)}和集合B={x|q(x)} ，利用集合的包含关系来判断充分条件与必要条件 p：x∈A，q：x∈B (1)若A⊆B，则p是q的充分条件 (2)若B⊆A，则p是q的必要条件 2.集合的角度看充要条件 设集合A={x|p(x)}和集合B={x|q(x)} ，利用集合的包含关系来判断充要条件 p是q的充要条件即A=B p是q的充分不必要条件即A⫋B p是q的必要不充分条件即B⫋A p是q的既不充分也不必要条件即A⊈B且B⊈A 3．充分条件、必要条件、充要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 例5.若，，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式5-1】设或，或，则是的条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【变式5-2】（多选）下列说法正确的是(    ) A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为 【变式5-3】（多选）下列说法中正确的是(    ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的必要不充分条件是“” C. “是实数”的充分不必要条件是“是有理数” D. “”是“”的充分条件 例6.已知实数集为，非空集合，． 若，求； 若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围． 【变式6-1】设全集，集合，． 当时，求， 若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 模块五 常考题型归纳 题型一：命题的概念及判断命题真假 1.（多选）下列结论正确的有(    ) A. 在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 B. “，关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题 C. “菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题 D. 若是真命题，则可能是真命题 2.已知关于的方程有实数根，． 若命题是假命题，求实数的取值范围； 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．   3.设全集，集合，集合． 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； 若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 题型二：充分条件、必要条件的判断 1.三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的(    ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2.集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，或，若命题：“”是命题：“”的充分条件，则实数的取值范围为          ． 4.已知实数满足，其中实数满足若是的充分条件，求实数的取值范围． 题型三：充要条件的判断及证明 1.“”是“”的(    ) A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.老子道德经有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明做“容易题”是“做难题”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 (    ) A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 4.已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 题型四：充分、必要、充要条件求参数 1.已知集合，． 若，求； 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的值． 2.设集合，，． ，求； 若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 3.已知集合，集合，集合，且． 求实数的值组成的集合； 若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．   4.已知集合，． 若，求 若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4充分条件与必要条件 模块一 命题的概念 1.命题的概念 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. 2.命题的分类 （1）真命题：判断为真的语句； （2）假命题：判断为假的语句. 3.命题的常见形式 “若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 例1.判断下列语句是不是命题 （1）他太帅了！ （2）正方形的四条边相等。 （3） （4）若，则. （5）你多大了？ 【答案】(1)、(3)、(5)不是命题，（2）、（4）是命题 【分析】 根据命题的定义判断即可， 【解答】 解：（1）不符合陈述句。 （2） 符合命题的概念 （3） 不能判断真假 （4） 符合命题的概念 （5）不符合陈述句 故选(1)、(3)、(5)不是命题，（2）、（4）是命题 【变式1-1】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【解答】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D. 【变式1-2】有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【解答】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 模块二 充分与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2.概念理解 “p⇒q”的几种不同说法: (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. 例2. 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 若，则 若，则 若，为无理数，则为无理数． 【分析】 根据充分条件的定义进行判断即可． 【答案】 这是一条平行四边形的判定定理，，所以是的充分条件． （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以是的充分条件． （3）这是一条菱形的性质定理，，所以是的充分条件． （4）由于，但，，所以不是的充分条件． （5）由等式的性质知，，所以是的充分条件． 为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件．  例3.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例 （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 （4）若，则 （5）若，则 （6）若为无理数，则，为无理数． 【分析】 根据必要条件的定义进行判断即可． 【答案】 这是平行四边形的一条性质定理，，所以，是的必要条件． 这是三角形相似的一条性质定理，，所以，是的必要条件． 如图，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，不是的必要条件． 显然，，所以，是的必要条件． 由于，但，，所以，不是的必要条件． 由于为无理数，但，不全是无理数，，所以，不是的必要条件．  【变式3-1】下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A  【分析】 利用不等式的性质判断，利用举实例判断． 【解答】 解：项中，或项中，当时， ，无意义项中，当，所以，，中不 是的充分条件． 故选A 【变式3-2】指出下列哪些命题中是的必要条件 一个四边形是矩形，四边形的对角线相等 ， ， 【解析】 根据必要条件的概念，逐项进行判断即可． 【答案】 因为矩形的对角线相等，所以是的必要条件． 因为，所以是的必要条件． 因为推不出，所以不是的必要条件． 模块三 充要条件 1.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 2.充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 例4.设，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【分析】 解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件；分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定． 【解答】 解：由，可得， 由，可得， 所以推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 【变式4-1】“”是“函数与轴只有一个交点”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【分析】 对参数进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围，即可判定答案． 【解答】 解：若函数与轴只有一个交点， 则或，所以或， 因此“”是”函数与轴只有一个交点“的充分不必要条件． 故选：． 【变式4-2】对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】解：当，时，满足，但，， 不满足，即充分性不成立； 当时，设，， 由题意可知，，， 所以，即， 所以一定成立，即必要性成立． 故选：． 模块四 集合的角度看充分条件、必要条件 1.集合的角度看充分条件与必要条件 设集合A={x|p(x)}和集合B={x|q(x)} ，利用集合的包含关系来判断充分条件与必要条件 p：x∈A，q：x∈B (1)若A⊆B，则p是q的充分条件 (2)若B⊆A，则p是q的必要条件 2.集合的角度看充要条件 设集合A={x|p(x)}和集合B={x|q(x)} ，利用集合的包含关系来判断充要条件 p是q的充要条件即A=B p是q的充分不必要条件即A⫋B p是q的必要不充分条件即B⫋A p是q的既不充分也不必要条件即A⊈B且B⊈A 3．充分条件、必要条件、充要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 例5.若，，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【分析】 本题考查了充分、必要条件的判断与集合的关系，根据集合的包含关系判断条件即可得解，属基础题． 【解答】 解：，， 故A，故A是的充分不必要条件， 故选A． 【变式5-1】设或，或，则是的条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B  【分析】 由题意可知或 或，再由必要条件、充分条件的定义判断即可． 【解答】 解：：或 ， ：或， 因为或或， 所以是的必要不充分条件． 故选：． 【变式5-2】（多选）下列说法正确的是(    ) A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为 【答案】BD  【分析】 利用充分条件、必要条件的定义，逐个判断可得结论． 【解答】 解：对于，，“”“”， 但“”“”，如，， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于，“” “二次方程有两个不等实根”， 但“二次方程有两个不等实根” ， 所以“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，故B正确；  对于，“”“”， 且“”“”， 所以“”是“”的充要条件，故C错误； 对于，若“”是“或“”的充分不必要条件， 则，所以的最小值为，故D正确； 故选BD． 【变式5-3】（多选）下列说法中正确的是(    ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的必要不充分条件是“” C. “是实数”的充分不必要条件是“是有理数” D. “”是“”的充分条件 【答案】ABC  【分析】 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】 解：若，则，但此时不一定是，即充分性不成立， 当时，成立，即必要性成立， 即“”是“”的必要不充分条件，故A正确， B.由，得或， 即“”的必要不充分条件是“”，故B正确， C.是实数，则不一定是有理数，反之若是有理数，则一定是实数， 即“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”，故C正确， D.当时，满足， 即“”是“”的必要条件，故D错误， 故选：． 例6.已知实数集为，非空集合，． 若，求； 若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】 把代入求出集合，然后结合集合的交集及补集运算即可求解； 结合充分必要条件与集合的包含关系的转化即可求解． 【答案】 解：集合，， 当时，，或， 又，； 因为是充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：．  【变式6-1】设全集，集合，． 当时，求， 若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】 当时，求出集合，再求，然后求解和； 由题，集合是集合的子集，列不等式即可求解的范围． 【答案】 解：当时，， 则， 因为或， 所以 因为“”是“”的必要条件， 所以， 所以 解得， 故实数的取值范围是  模块五 常考题型归纳 题型一：命题的概念及判断命题真假 1.（多选）下列结论正确的有(    ) A. 在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 B. “，关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题 C. “菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题 D. 若是真命题，则可能是真命题 【答案】AB  【分析】 本题考查命题真假的判断，考查充要条件，函数的零点与方程根的关系等知识，是基础题． 利用钝角三角形以及充要条件，判断；函数的零点与方程根的关系，判断；菱形的性质判断；命题与命题的否定的真假关系判断即可． 【解答】 解：由“是钝角”可以得到“是钝角三角形”，但是“是钝角三角形”不一定得到“是钝角”，A正确； 当，即时，关于的方程有两个不相等的实数根，B正确； 菱形的对角线不一定相等，C错误； 命题与命题的否定一定是一真一假，D错误． 故选：． 2.已知关于的方程有实数根，． 若命题是假命题，求实数的取值范围； 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】 根据命题是假命题，将问题转化为无解，运用二次方程根的判别式即可求得结果． 根据充分不必要条件将题设问题转换为，然后依据集合的关系得到关于的不等式求解即可． 【答案】 解：因为命题是假命题， 所以对于方程， 有，即，解得， 故实数的取值范围是． 根据可得，命题为真命题可得， 如果是的必要不充分条件， 那么能推出，但由不能推出， 因此 因此，解得， 故实数的取值范围是．   3.设全集，集合，集合． 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； 若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】 将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解； 将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论，即可求解． 【答案】 解：是的充分条件，， 又，， 实数的取值范围为 命题“，则”是真命题，． 当时，，，，符合题意； 当时，，且是的子集， 无解 综上所述：实数的取值范围．  题型二：充分条件、必要条件的判断 1.三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的(    ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【分析】 利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论． 【解答】 解：因为三星堆博物馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅， 若甲在三星堆博物馆，则甲在“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅中的某一个， 即“甲在三星堆博物馆”不能推出“甲在“世纪逐梦”展厅”， 若甲在“世纪逐梦”展厅，则甲必在三星堆博物馆， 所以，甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的必要不充分条件． 故选：． 2.集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题主要考查充分条件的应用，属于较易题． 【解答】 解：，． 因为“”是“”的充分条件， 所以或，即． 故答案为选C 3.已知集合，或，若命题：“”是命题：“”的充分条件，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【分析】 由命题是命题的充分条件，可得，根据集合的关系得出实数的取值范围． 【解答】 解：若命题：“”是命题：“”的充分条件， 则， 集合，或， 则， 实数的取值范围为． 故答案为． 4.已知实数满足，其中实数满足若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 解  ，设集合． ，设集合． 因为，所以， 所以解得， 所以实数的取值范围是． 题型三：充要条件的判断及证明 1.“”是“”的(    ) A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A  【分析】 根据“”推不出“”，但“”能推出“”即可判断． 【解答】 解：“”推不出“”， 但“”能推出“”， “”是“”的必要不充分条件． 故选：． 2.老子道德经有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明做“容易题”是“做难题”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【分析】 根据充分条件，必要条件定义可解． 【解答】 解：根据题意，“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”， 意思为做难题需要先从容易题开始， 因此“容易题”是“做难题”的必要条件，但不充分， 即做“容易题”是“做难题”的必要不充分条件． 故选：． 3.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 (    ) A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A  【分析】 本题考查充分条件，必要条件的判断，属于基础题． 【解答】 解：因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 4.已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【解答】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 题型四：充分、必要、充要条件求参数 1.已知集合，． 若，求； 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的值． 【解析】 若，求出集合、，进而求出； 根据题意得到是的真子集，分情况讨论，求出的取值范围． 【答案】 解：若，则，， 所以． 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 当时，即时，不满足互异性，不符合题意； 当时，即或时，由可知，时，不符合题意， 当时，集合，满足，故可知符合题意所以． 2.设集合，，． ，求； 若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】 时，求出集合，，或，由此能求出； 由“”是“”的充分不必要条件，得，，分和两种情况讨论，从而求出的取值范围． 【答案】 解：由题意知当  时，  ， 故  或  ， 而   ； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，解得，成立； 当时，，又  和中等号不能同时取得， 解得  ， 综上，的取值范围是或．  3.已知集合，集合，集合，且． 求实数的值组成的集合； 若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】 先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； 先求解出，然后将问题转化为“是的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求． 【答案】 解：因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． 由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数的取值范围是．   4.已知集合，． 若，求 若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】 求出集合，从而得到，与集合取交集即可； 由题意得是的真子集，分当时和当时，只需满足且不能同时取等号，求解即可． 【答案】 解：由，可得， 解得或， 所以集合或， 时，集合，且， 故； 若“”是“”的充分不必要条件， 故A是的真子集， 当时，，即时，满足是的真子集 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上所述，的取值范围为   1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$