专题2.1 圆（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.1 圆 教学目标 1.结合生活实例引出圆，让学生动手画圆，讲解动态定义与集合定义，对比加深理解。 2.在圆内、外、上取点，测距离与半径比较，归纳出三种位置关系并练习巩固。​ 3.通过实际问题（如飞镖落点）和探究活动，提升知识应用与思维能力。 教学重难点 1.重点：理解圆的两种定义；掌握点与圆位置关系及对应数量关系。​ 2.难点：理解圆的定义；灵活运用位置关系解决实际问题。 知识点01 圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，_______绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做_______，线段叫做_______. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作_______，读作圆. 3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个_______的距离等于_______的点组成的图形. 确定圆的条件：①圆心；②半径.其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小. 4.圆的其他概念： 弦 连结_______任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过_______的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中_______半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中_______半圆的弧叫做劣弧. 【即学即练】下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 知识点02 点与圆的位置关系 设的半径是，点到圆心的距离为，则有： _______点在内，如图1； 点在上，如图2； _______点在外，如图3。 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 【即学即练】在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 题型01 圆的基本概念 【例1】下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 【变式1-1】有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 【变式1-2】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 ． 题型02 识别圆中的弦 【例2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2-2】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式2-3】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型03 弦长的范围问题 【例3】若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式3-1】如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【变式3-3】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【变式3-4】、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断点与圆的位置关系 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【变式4-1】在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【变式4-2】在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【变式4-3】如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【变式4-4】在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 题型05 由点与圆的位置关系求半径 【例5】数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【变式5-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【变式5-2】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-3】如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 题型06 求一点到圆上点距离的最值 【例6】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【变式6-2】点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 【变式6-3】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 求一点到圆上点距离的最值，先确定该点与圆心的距离及圆的半径，若点在圆内，最值为半径加、减圆心距；若在圆外，最值为圆心距减、加半径；若在圆上，最值为0和直径。 题型07 识别圆心角 【例7】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【变式7-4】如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【变式7-5】如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 题型08 求圆弧的度数 【例8】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【变式8-3】如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【变式8-4】如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 【变式8-5】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 一、单选题 1．下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 2．在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上或外 C．点P在内 D．点P在上 3．已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（   ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 4．如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 6．如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，某仓库正门的截面是一个半径为的半圆，一辆高为的矩形货车恰好能通过该仓库正门．则车宽为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的弦，连接．若，则 度． 10．已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 11．已知点P不在半径为8的内，如果设，那么x的取值范围是 ． 12．同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 13．如图，点E在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若，，则半径r为 ． 14．如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 15．如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 16．如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 三、解答题 17．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 18．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 19．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 20．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆 教学目标 1.结合生活实例引出圆，让学生动手画圆，讲解动态定义与集合定义，对比加深理解。 2.在圆内、外、上取点，测距离与半径比较，归纳出三种位置关系并练习巩固。​ 3.通过实际问题（如飞镖落点）和探究活动，提升知识应用与思维能力。 教学重难点 1.重点：理解圆的两种定义；掌握点与圆位置关系及对应数量关系。​ 2.难点：理解圆的定义；灵活运用位置关系解决实际问题。 知识点01 圆的有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆. 3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. 确定圆的条件：①圆心；②半径.其中，圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小. 4.圆的其他概念： 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 圆心角 定点在圆心的角叫圆心角 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧. 【即学即练】下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 知识点02 点与圆的位置关系 设的半径是，点到圆心的距离为，则有： 点在内，如图1； 点在上，如图2； 点在外，如图3。 注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 【即学即练】在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【详解】解：∵在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，且， ∴点P与的位置关系是点P在圆外， 故答案为：圆外． 题型01 圆的基本概念 【例1】下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 【答案】B 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意； B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意； D、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 【答案】A 【详解】解：直径是弦，甲说法正确， 长度相等的两条弧一定是等弧，乙说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； 故甲对，乙错， 故选A． 【变式1-2】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定，还要确定圆心位置，故①错误， 直径是弦，故②正确， 弦不一定是直径，故③错误， 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故④正确， 圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，故⑤错误， 综上所述：①③⑤的说法是错误的．共3个， 故选：C． 【变式1-3】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是 ． 【答案】圆心 【详解】解：∵圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合， ∴定点是圆心， 故答案为：圆心 题型02 识别圆中的弦 【例2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2-2】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 【变式2-3】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 题型03 弦长的范围问题 【例3】若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 【变式3-1】如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键． 【变式3-2】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【变式3-3】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【变式3-4】、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 题型04 判断点与圆的位置关系 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【答案】B 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴原点O在这个圆的内部， 故选：B ． 【变式4-1】在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵圆M的半径为4， ∴点在圆外， 故选：C． 【变式4-2】在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 【变式4-3】如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 【变式4-4】在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 题型05 由点与圆的位置关系求半径 【例5】数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【变式5-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 【变式5-2】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 【变式5-3】如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 【变式5-4】如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 题型06 求一点到圆上点距离的最值 【例6】若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 【变式6-1】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 【变式6-2】点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 【答案】或 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键． 【变式6-3】如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】7 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 求一点到圆上点距离的最值，先确定该点与圆心的距离及圆的半径，若点在圆内，最值为半径加、减圆心距；若在圆外，最值为圆心距减、加半径；若在圆上，最值为0和直径。 题型07 识别圆心角 【例7】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 【变式7-1】下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 【变式7-3】如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 【变式7-4】如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 【变式7-5】如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 题型08 求圆弧的度数 【例8】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 【变式8-1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 【变式8-2】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 【变式8-3】如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【答案】/82度 【详解】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 【变式8-4】如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 【答案】/50度 【详解】解：如图，连接，则， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 则弧的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【变式8-5】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 一、单选题 1．下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 2．在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上或外 C．点P在内 D．点P在上 【答案】C 【详解】解：∵的半径为，，， ∴点P在内． 故选：C． 3．已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（   ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：的半径为4，点到圆心的距离为3.5， ， 点在圆内． 故选C． 4．如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 故选：B 5．如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【答案】A 【详解】解：如图，    故选A． 6．如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 故选：C． 7．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，某仓库正门的截面是一个半径为的半圆，一辆高为的矩形货车恰好能通过该仓库正门．则车宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 根据圆的对称性，得到， 故， 故选：A. 二、填空题 9．如图，是的弦，连接．若，则 度． 【答案】/度 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 10．已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【详解】解：∵， ∴点在内． 故答案为：点在内． 11．已知点P不在半径为8的内，如果设，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解∶点P不在半径为8的内， ，即． 故答案为：． 12．同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 13．如图，点E在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若，，则半径r为 ． 【答案】5 【详解】解：如图所示， 连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴半径r为5， 故答案为：5． 14．如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【详解】解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 15．如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合， ∴，， ∴， ∵点C在上， ∴的半径为， ∴与数轴正半轴的交点E表示的数为． 故答案为： 16．如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 三、解答题 17．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】点在上，点在内，点在外 【详解】解：∵ ，，， ∴点在上，点在内，点在外． 18．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 19．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 20．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$