第14讲 牛顿运动定律的应用（举一反三讲义）（全国通用）

第14讲 牛顿运动定律的应用 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：瞬时性问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点02：斜面问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：动力学两类基本问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 巩固提升（精选18道题） 　 瞬时性问题 考点一 加速度与合外力具有瞬时对应关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失，具体可简化为以下两种模型： 【例1-1】 (2024·湖南卷，3)如图，质量分别为4m、3m、2m、m的四个小球A、B、C、D，通过细线或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g。若将B、C间的细线剪断，则剪断瞬间B和C的加速度大小分别为(　　) A.g，1.5g B.2g，1.5g C.2g，0.5g D.g，0.5g 【答案】　A 【详解】　细线剪断前，对B、C、D整体受力分析，由力的平衡条件有A、B间轻弹簧的弹力FAB＝6mg，对D受力分析，有C、D间轻弹簧的弹力FCD＝mg;细线剪断瞬间，由牛顿第二定律对B有FAB－3mg＝3maB，对C有2mg＋FCD＝2maC，联立解得aB＝g，aC＝1.5g，A正确。 【例1-2】(2025·八省联考山陕青宁卷，6)如图，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为60°，重力加速度大小为g。则(　　) A.L1的拉力大小为mg B.L2的拉力大小为3mg C.若剪断L1，该瞬间小球甲的加速度大小为g D.若剪断L1，该瞬间小球乙的加速度大小为g 【答案】　C 【详解】　对甲、乙整体受力分析可知，L1的拉力大小为T1＝2mgtan 60°＝2mg，L2的拉力大小为T2＝＝4mg，故A、B错误;若剪断L1，该瞬间弹簧的弹力不变，则小球乙受到的合力仍为零，加速度为零;对甲分析，由牛顿第二定律可知加速度a＝g，故C正确，D错误。 【变式1-1】（2019·浙江·高考真题）如图所示，A、B、C为三个实心小球，A为铁球，B、C为木球．A、B两球分别连在两根弹簧上，C球连接在细线一端，弹簧和细线的下端固定在装水的杯子底部，该水杯置于用绳子悬挂的静止吊篮内．若将挂吊篮的绳子剪断，则剪断的瞬间相对于杯底（不计空气阻力，ρ木＜ρ水＜ρ铁） A．A球将向上运动，B、C球将向下运动 B．A、B球将向上运动，C球不动 C．A球将向下运动，B球将向上运动，C球不动 D．A球将向上运动，B球将向下运动，C球不动 【答案】D 【详解】开始时A球下的弹簧被压缩，弹力向上；B球下的弹簧被拉长，弹力向下；将挂吊篮的绳子剪断的瞬时，系统的加速度为g，为完全失重状态，此时水对球的浮力也为零，小球的重力也视为零，则A球将在弹力作用下相对于杯底向上运动，B球将在弹力作用下相对于杯底向下运动，C球相对于杯底不动；故选D. 【变式1-2】（2025·山西晋城·二模）如图所示，一个箱子用轻绳悬吊在空中处于静止状态，质量相等的物块P、Q用轻弹簧连接竖直立在箱子内，P刚好与箱顶接触但没有作用力。现剪断轻绳，则在剪断轻绳的瞬间（　　） A．弹簧的弹力突然减为零 B．P与箱顶的作用力仍然为零 C．P受到的合力小于Q受到的合力 D．Q对箱底的压力减为原来的一半 【答案】D 【详解】A．未剪断轻绳时，弹簧的弹力大小等于物块P的重力，剪断轻绳的一瞬间，整体向下的加速度为g，弹簧长度不变，弹力不变，仍等于物块P的重力，故A错误； B．由于P的加速度为g，因此箱顶对P的压力与弹簧弹力等大反向，故B错误； C．由于剪断轻绳的一瞬间，整体向下的加速度为g，故P和Q受到的合力均等于它们的重力，P受到的合力等于Q受到的合力，故C错误； D．未剪断轻绳时，Q对箱底的压力等于P、Q的总重，剪断一瞬间，Q的加速度为g，则Q受到箱底的支持力与弹簧的弹力大小相等，即这时Q对箱底的压力减为原来的一半，故D正确。 故选D。 【解题能力提升】 “四步骤”巧解瞬时性问题 1.分析原来物体的受力情况。 2.分析物体在突变时的受力情况。 3.由牛顿第二定律列方程。 4.求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 斜面问题 考点二 1.两类斜面模型 （1）等高斜面 如图1所示，由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得t＝，可知斜面倾角越小，运动时间越长，图1中t1>t2>t3。(斜面光滑) （2）同底斜面 如图2所示，由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得t＝，可见θ＝45°时运动时间最短，图2中t1＝t3>t2。(斜面光滑) 2.三类等时圆模型 （1）圆周内同顶端的斜面 如图1所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2R·sin θ＝·gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3。 （2）圆周内同底端的斜面 如图2所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，同理可推得t1＝t2＝t3。 （3）双圆周内斜面 如图3所示，在竖直面内的两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切，各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置，可推得t1＝t2＝t3。 【例2-1】（2022·北京·高考真题）如图所示，质量为m的物块在倾角为的斜面上加速下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为。下列说法正确的是（　　） A．斜面对物块的支持力大小为 B．斜面对物块的摩擦力大小为 C．斜面对物块作用力的合力大小为 D．物块所受的合力大小为 【答案】B 【详解】A．对物块受力分析可知，沿垂直斜面方向根据平衡条件，可得支持力为 故A错误； B．斜面对物块的摩擦力大小为 故B正确； CD．因物块沿斜面加速下滑，根据牛顿第二定律得 可知 则斜面对物块的作用力为 故CD错误。 故选B。 【例2-2】（2021·全国甲卷·高考真题）如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【详解】设PQ的水平距离为L，由运动学公式可知 可得 可知时，t 有最小值，故当从由30°逐渐增大至60°时下滑时间t先减小后增大。 故选D。 【变式2-1】（2025·江苏南通·二模）如图所示，木杆AB和CD平行斜靠在竖直墙壁上，两杆构成了滑轨。将一摞瓦轻放在滑轨上，瓦将沿滑轨滑到低处。为防止瓦滑到底端时速度过大，可采取的措施是（　　） A．增加瓦放在滑轨上的高度 B．增加每次运送瓦的片数 C．增大两杆与水平面的夹角 D．增大两杆之间的距离 【答案】D 【详解】对瓦片受力分析，根据瓦片在沿斜面、垂直于斜面方向的受力分析如图 若瓦的高度为h、瓦的片数为n、两杆间夹角为，则两杆距离越大，越大，在垂直于斜面方向 沿斜面方向 联立解得 为防止瓦的末速度过大，需要减小加速度a，结合加速度表达式即可知瓦的高度为h、瓦的片数n对a无影响；增大两杆与水平面的夹角，加速度a增大；增大两杆之间的距离， 越大，加速度a减小，故ABC错误， D正确。 故选D。 【变式2-2】 (多选)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.t1>t2 B.t3＝t4 C.t2<t4 D.t1＝t4 【答案】　BC 【详解】1号小球的加速度为a1＝gsin 60°＝g，位移为x1＝2r·sin 60°＝r，运动时间为t1＝＝2;2号小球的加速度为a2＝gsin 30°＝g，位移为x2＝2r·sin 30°＝r，运动时间为t2＝＝2;3号小球的加速度为a3＝gsin 60°＝g，位移为x3＝＝2r，运动时间为t3＝;4号小球的加速度为a4＝gsin 30°＝g，位移为x4＝＝2r，运动时间为t4＝;则t1＝t2，t3＝t4，t3－t1＝t4－t2＝2(－1)，t1＝t2<t4，故B、C正确。 【解题能力提升】 牛顿第二定律在多过程运动问题中的应用 (1)分析各个过程中运动的特点,明确每一个运动过程的运动形式,注意相邻两个过程的衔接速度。 (2)分析各个过程的受力情况,明确每一个过程加速度的方向,注意不同过程各力的变化特点。 (3)灵活运用运动学公式、结论、图像,灵活运用合成法或正交分解法,结合牛顿第二定律求解加速度及其他相关量。 动力学两类基本问题 考点三 1．动力学的两类基本问题： 第一类：已知受力情况求物体的运动情况； 第二类：已知运动情况求物体的受力情况。 2．解决两类基本问题的方法：以加速度为“桥梁”，由运动学公式和牛顿运动定律列方程求解，具体逻辑关系如图： 3. 分析动力学两类基本问题的关键 (1)做好两类分析：物体的受力分析和物体的运动过程分析； (2)搭建两个桥梁：加速度是联系运动和力的桥梁；连接点的速度是联系各物理过程的桥梁。 【例3-1】如图所示，这是一种能垂直起降的小型遥控无人机，螺旋桨工作时能产生恒定的升力。在一次试飞中，无人机从地面上由静止匀加速竖直向上起飞，它5s上升了25m。已知无人机的质量，它运动过程中所受空气阻力大小恒为，取重力加速度大小，无人机受到的升力大小为（　　） A．20N B．30N C．40N D．50N 【答案】A 【详解】由运动学规律 解得无人机的加速度 对无人机受力分析，根据牛顿第二定理可得 解得 代入数据可得升力的大小为 故选A。 【例3-2】（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，重力加速度取，求雪车（包括运动员） （1）在直道AB上的加速度大小； （2）过C点的速度大小； （3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。 【答案】（1）；（2）12m/s；（3）66N 【详解】（1）AB段 解得 （2）AB段 解得 BC段 过C点的速度大小 （3）在BC段有牛顿第二定律 解得 【变式3-1】（2025·重庆·模拟预测）2024年9月25日，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射一枚洲际导弹。设导弹的质量为，在导弹发射助推阶段，可视为从静止开始竖直向上的匀加速直线运动，此阶段推力恒为。从导弹发射开始计时，第2s内的位移为50m，重力加速度，则导弹所受的阻力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】匀加速运动第2s内的位移为50m，则第2s内的平均速度 根据时的速度等于第2s内的平均速度，则加速度 已知推力，设阻力为，根据牛顿第二定律，有 代入数据得 故选A。 【变式3-2】冰壶比赛场地简化图如图所示。在某次比赛中，运动员从起滑架处推着冰壶从静止出发，在投掷线AB处放手让冰壶以速度（未知）沿虚线滑出。假设投掷线与之间的距离为30m，重力加速度。如果通过运动员摩擦冰面，使得动摩擦因数随距离的变化关系如图所示，即，其中，表示离投掷线的距离。在这种情况下，若运动员在投掷线以的速度将冰壶沿例题图甲中的虚线推出，求冰壶滑行20m时的速度大小。 【答案】 【详解】冰壶运动的加速度 结合可得，冰壶加速度大小与的关系为 可画出图像，则可知图像中图线与轴所围“面积”即速度平方的变化量的一半，则当时，；当时，，图像中的“面积”有 解得 【解题能力提升】 动力学问题的解题思路 巩固提升 1．奥运冠军全红婵在巴黎奥运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10 m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5 m/s，竖直入水后到速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的阻力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35 kg，重力加速度大小取g=10 m/s2，则（　　） A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于超重状态 B．入水后全红婵处于失重状态 C．全红婵在空中运动的时间为1.5s D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5 N 【答案】D 【详解】A．跳离跳台后上升阶段，加速度竖直向下，则全红婵处于失重状态，A错误； B．入水后全红婵的加速度竖直向上，处于超重状态，B错误； C．以竖直向上为正方向，则根据，可得t=2 s，即全红婵在空中运动的时间为2 s，C错误； D．入水时的速度v1=v0-gt=-15 m/s，在水中的加速度大小，方向竖直向上，根据牛顿第二定律可知F阻=mg＋ma=35×10 N＋35×7.5 N=612.5 N，D正确。 故选D。 2．如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在一艘静止的航船上，机器人在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，动摩擦因数为，与竖直方向夹角为。机器人在壁面加速下滑时，仅受重力G、垂直壁面的磁力F、支持力和摩擦力的作用。则摩擦力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AC．机器人加速沿壁面下滑，则由牛顿第二定律 则 选项AC错误； BD．垂直于壁面方向 可得滑动摩擦力 选项B错误，D正确。 故选D。 3．如图，工人卸货时，某货物能沿与水平地面夹角为θ的长直木板滑下，若货物与木板间各处摩擦因数相同，下列分析正确的是（　　） A．增大θ，该货物所受摩擦力变大 B．减小θ，该货物一定能再次滑下 C．仅减少该货物的质量，该货物将不能下滑 D．货物下滑加速度与其质量无关 【答案】D 【详解】A．下滑过程，货物受到滑动摩擦力作用，大小为 可知增大θ，该货物所受摩擦力变小，故A错误； B．减小θ，若 则该货物不能再次滑下，故B错误； CD．货物下滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 可知货物下滑加速度与其质量无关，若仅减少该货物的质量，该货物仍能下滑，故C错误，D正确。 故选D。 4．两个质量均为的小球A、B被细线连接放置在倾角为的光滑斜面上（斜面固定在地面上不动），如图所示，系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面，在细线被烧断的瞬间，关于A、B的加速度大小，下列说法正确的是（重力加速度为）（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】在细线被烧断前，以A、B两球为整体，根据平衡条件可得弹簧弹力大戏为 在细线被烧断的瞬间，以A球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 以B球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 故选B。 5．（2025·浙江·二模）以6m/s的速度匀速上升的气球，当升到离地面14.5m高时，从气球上落下一小球，小球的质量为0.5kg，假设小球在运动过程所受阻力大小满足f(1+kv）N，k0.01kg/s，g取。则小球从气球落下后大约经过多长时间到达地面（　　） A．1.7s B．1.9s C．2.6s D．3.5s 【答案】C 【详解】因速度大小对阻力大小影响很小，在估算时可把阻力大小恒定1N进行计算，根据牛顿第二定律推知，小球上升阶段的加速度 上升的时间 上升的高度 根据牛顿第二定律推知，下降阶段的加速度 根据运动学公式 故下降用时间 则共用时间为 与C项最接近。 故选C。 6．（多选）如图所示，小物块从倾角的固定斜面底端A点，以的速度沿斜面上滑，经过时间t后小物块的速度大小为4m/s，此时小物块到A点间的距离为x，一段时间后小物块又回到A点。已知物块与斜面间的动摩擦因数，物块可视为质点，取重力加速度，则下列说法可能正确的是（　　） A．、 B．、 C．斜面长度至少为5m D．斜面长度至少为9m 【答案】AD 【详解】ACD．物块上滑时有 解得 小物块沿斜面上滑的距离 上滑的时间 则斜面长度至少为9m； 根据运动学公式有， 则在上滑速度为4m/s时，代入可得、，故AD正确，C错误； B．小物块上滑至最高点时，由于 则物块将沿斜面下滑，有 解得 根据运动学公式有， 则在下滑速度为4m/s时，代入可得、 此时 故B错误。 故选AD。 7．（2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 【答案】A 【详解】根据等时圆模型，如图所示 只需要求出A′P、B′P、C′P，的时间之比，设最小圆的直径为d，则 故选A。 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）蹴球是中国少数民族的一种传统体育项目，比赛在一块正方形水平地面上进行，比赛用球为硬塑实心球。如图所示，静止在场地中的球1与球2、球2与边线间的距离均为L，两球质量相同，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为μ，一队员用脚给球1一个水平冲击力使其获得水平速度，球1与球2发生弹性正碰后，球2恰好能到达边线，重力加速度为g。则球2运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A球2匀减速直线运动到停下，可以看作反向匀加速直线运动，可得 根据牛顿第二定律可得 解得 故选A。 9．如图所示，三根光滑轨道、、下端分别为、、，位于的正下方，、。一小圆环从点由静止分别沿、、滑下，滑到下端的时间分别为、、，下列选项正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】设OA与AC夹角为，OA高度为h，如图 则小圆环在OC滑动时，有 解得 小圆环在OB滑动时，有 解得 小圆环在OA滑动时，有 解得 综合可知 故选D。 10．如图所示，四只猴子将一树枝（可视为弹性杆）压弯倒挂在树梢上，从下到上依次为1、2、3、4号猴子。正当1号猴子打算伸手捞水中的“月亮”时，2号猴子突然两手一滑没抓稳，1号猴子扑通一声掉进了水里。假设2号猴子手滑前四只猴子都处于静止状态，其中1号猴子的质量为m，其余3只猴子的质量均为2m，重力加速度为g，则在1号猴子掉落的瞬间（　　） A．2、3和4号猴子的速度和加速度都为零 B．3号猴子对2号猴子的作用力大小为 C．4号猴子对3号猴子的作用力大小为 D．4号猴子对树枝的作用力大小为6mg 【答案】B 【详解】A．把所有猴子作为整体研究，整体受到竖直向下的重力7mg，及树枝对它们竖直向上的作用力，整体处于平衡状态，故 在1号猴子掉落瞬间，树枝的作用力未发生变化，2、3、4号猴子整体合力不为零，加速度不为零，故A错误； B．当1号猴子掉落后的一瞬间，对2、3、4号猴子整体分析可得 联立解得（方向竖直向上） 对2号猴子分析可得 解得 故B正确； C．对2、3号猴子为整体进行受力分析可得 解得 故C错误； D．树枝对4号猴子的作用力保持不变，根据牛顿第三定律可知，4号猴子对树枝的作用力大小仍为7mg，故D错误。 故选B。 11．如图所示，光滑斜面高度一定，斜面倾角θ可调节。物体从斜面顶端由静止释放，沿斜面下滑到斜面底端，下列物理量与斜面倾角无关的是（　　） A．物体受到支持力的大小 B．物体加速度的大小 C．合力对物体做的功 D．物体重力的冲量 【答案】C 【详解】设斜面倾角为，斜面的高度为： A．垂直斜面方向，根据平衡条件可得物体受到支持力大小 则物体受到支持力的大小与斜面倾角有关，故A错误； B．沿着斜面方向，根据牛顿第二定律 可得 则物体加速度的大小与斜面倾角有关，故B错误； C．物体下滑过程中只有重力做功，则合力对物体做的功都为，与斜面倾角无关，故C正确； D．沿着斜面方向，根据运动学公式 解得 物体重力的冲量 与斜面倾角有关，故D错误。 故选C。 12．（多选）如图所示，质量分别为m、2m的两个小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳、固定，处于静止状态，水平，与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为g，。则（　　） A．的拉力大小为4mg B．的拉力大小为4mg C．剪断的瞬间，小球甲的加速度大小为 D．剪断的瞬间，小球乙的加速度大小为g 【答案】AC 【详解】AB．对甲、乙整体受力分析可知，的拉力大小为 的拉力大小为 A正确、B错误； CD．若剪断，该瞬间弹簧的弹力不变，则小球乙受的合外力仍为零，加速度为零； 对甲分析，由牛顿第二定律可知加速度为 故C正确，D错误。 故选：AC。 13．（多选）如图所示，正六边形稳固支架竖直放置且固定在水平地面上，中心点为O，C、D为支架两个顶点，通过轻绳CA、BD分别固定两个质量均为的相同小球A、B，两小球通过轻质弹簧相连，整个装置处于静止状态，且CAO、OBD共线。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轻绳CA的弹力为4mg B．轻绳BD的弹力为mg C．剪断轻绳CA瞬间，小球A加速度大小为 D．剪断轻绳CA瞬间，小球B加速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．对小球A、B、弹簧整体进行受力分析，如图所示。竖直方向有 水平方向有 解得，，A正确，B错误； C．剪断轻绳瞬间，由于弹簧弹力瞬间不变，所以小球A受到的合外力大小为 根据牛顿第二定律得 解得，C正确； D．小球B受力不变，加速度为0，D错误。 故选AC。 14．如图所示，倾角为30°、足够长的固定斜面上有内壁光滑、截面为半圆形的容器，O为截面圆的圆心，AB为平行于斜面的直径，OC垂直于AB，D为圆上的一点，OD与OC的夹角为30°。容器内有一光滑的小球，当容器和小球一起在斜面上自由下滑时，小球相对容器停在C点；当容器受到沿斜面向下的拉力（图中没有画出）作用，稳定时容器和小球一起向下以加速度a运动，小球相对容器停在D点，已知重力加速度为g，则（　　） A．加速度a的大小为 B．加速度a的大小为g C．容器与斜面间的动摩擦因数为0.5 D．容器与斜面间的动摩擦因数为 【答案】B 【详解】CD．二者自由下滑时，对小球受力分析，有 可知半球形容器加速度大小也为，则容器与斜面间没有摩擦力，即容器与斜面间的动摩擦因数为0，故CD错误； AB．当容器受到沿斜面向下的拉力作用，稳定时对小球受力分析，可得小球所受容器的支持力与自身重力与其合力夹角均为60°，由二力合成规律可得 即 故A错误；B正确。 故选B。 15．（多选）如图所示，质量为M、倾角为的斜面体放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簀的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，斜面光滑且足够长。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大伸长量为 B．弹簧的最大伸长量为 C．为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足 D．为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足 【答案】AC 【详解】AB．分析易知物块在斜面简谐运动，设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为，则由题意得 物块做简谐运动的振幅为 由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量为 联立解得 故A正确，B错误； C．以物块的平衡位置为原点、沿斜面向下为位移正方向建立坐标系，设某时刻物块位移x为正，斜面受到弹簧沿斜面向下的拉力F、地面的水平向右的摩擦力f，如图所示 由于斜面受力平衡，则有，在水平方向上 在竖直方向上 因为 联立解得 为使斜面始终处于静止状态，结合牛顿第三定律，应满足 所以 因 所以当时，上式右端达到最大值，于是有 故C正确，D错误。 故选AC。 16．如图所示，一搬运工人想将质量为40kg的木箱从A点推到仓库内的B点，现给木箱施加一个水平向右大小为100N的恒力，让正在A点以5m/s初速度运动的木箱在粗糙水平地面上做匀速直线运动。2s后工人突然撤去水平恒力，让木箱做匀减速直线运动，最后刚好到达B点，重力加速度g取10m/s2，木箱可看为质点。求： (1)木箱与地面间的动摩擦因数； (2)A、B之间的距离。 【答案】(1)0.25 (2)15m 【详解】（1）初始阶段木箱做匀速直线运动，故小球受力平衡，由受力分析可知 水平方向平衡方程为 竖直方向平衡方程为 又因为 解得 （2）撤掉外力后木箱在滑动摩擦力作用下做匀减速运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律可得 解得 设匀速阶段运动位移为x1，由 解得 设匀减速阶段运动位移为x2，由 解得 所以木箱运动的总位移为 由此可得A、B之间的距离为15m。 17．（2025·山东·模拟预测）随着皑皑白雪覆盖北疆大地，第十一届全国大众冰雪季内蒙古“雪搭子”周末滑雪里程积分赛在万众期待中火热启幕。这场横跨春节假期的冰雪盛宴，通过创新赛制与特色活动，为银装素裹的内蒙古注入了蓬勃的运动活力。在滑雪运动中，滑雪板速度较小时，与雪地接触时间长，滑雪板下陷较多，使得滑雪板与雪地间的动摩擦因数较大，滑雪板速度变大时，与雪地间的动摩擦因数就会变小。如图所示，一运动员使用滑雪板从倾角的雪坡斜面顶端A处由静止滑下，滑至坡底B后又滑上一段水平雪面，最后停在C处。假设滑雪板速度小于6m/s时，与雪地间的动摩擦因数，速度大于等于6m /s时，与雪地间的动摩擦因数变为。不计空气阻力，运动员经过B处前后瞬间速度大小不变，已知坡长AB=16.25m，重力加速度，。求： (1)运动员到达B点时的速度大小； (2)运动员在水平雪地上运动的距离。 【答案】(1)6m /s (2)42m 【详解】（1）速度小于6m /s时，有 则有 速度大于等于6m /s时，有 则有 联立，解得v2=6m /s （2）在水平雪地上运动，速度大于等于6m/s时，有 可得 速度小于6m/s时，有 则有 在水平雪地上运动的距离 解得x=42m 18．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。 （1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系； （2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度 由运动学公式有 由几何关系知 解得 由上式可知，沿滑梯运动的时间t与滑梯和水平面间的夹角无关，同理可知 故 （2）画出以P点为最高点、半径为r与题图中圆外切的圆，如图 设切点为D，根据第（1）问的结论，当小朋友沿滑梯PD下滑时，在滑梯上运动的时间最短，由几何关系知 解得 结合第（1）问的结论有 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 牛顿运动定律的应用 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：瞬时性问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点02：斜面问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：动力学两类基本问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 巩固提升（精选18道题） 　 瞬时性问题 考点一 加速度与合外力具有瞬时对应关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失，具体可简化为以下两种模型： 【例1-1】 (2024·湖南卷，3)如图，质量分别为4m、3m、2m、m的四个小球A、B、C、D，通过细线或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g。若将B、C间的细线剪断，则剪断瞬间B和C的加速度大小分别为(　　) A.g，1.5g B.2g，1.5g C.2g，0.5g D.g，0.5g 【例1-2】(2025·八省联考山陕青宁卷，6)如图，质量均为m的两个相同小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳L1、L2固定，处于静止状态，L1水平，L2与竖直方向的夹角为60°，重力加速度大小为g。则(　　) A.L1的拉力大小为mg B.L2的拉力大小为3mg C.若剪断L1，该瞬间小球甲的加速度大小为g D.若剪断L1，该瞬间小球乙的加速度大小为g 【变式1-1】（2019·浙江·高考真题）如图所示，A、B、C为三个实心小球，A为铁球，B、C为木球．A、B两球分别连在两根弹簧上，C球连接在细线一端，弹簧和细线的下端固定在装水的杯子底部，该水杯置于用绳子悬挂的静止吊篮内．若将挂吊篮的绳子剪断，则剪断的瞬间相对于杯底（不计空气阻力，ρ木＜ρ水＜ρ铁） A．A球将向上运动，B、C球将向下运动 B．A、B球将向上运动，C球不动 C．A球将向下运动，B球将向上运动，C球不动 D．A球将向上运动，B球将向下运动，C球不动 【变式1-2】（2025·山西晋城·二模）如图所示，一个箱子用轻绳悬吊在空中处于静止状态，质量相等的物块P、Q用轻弹簧连接竖直立在箱子内，P刚好与箱顶接触但没有作用力。现剪断轻绳，则在剪断轻绳的瞬间（　　） A．弹簧的弹力突然减为零 B．P与箱顶的作用力仍然为零 C．P受到的合力小于Q受到的合力 D．Q对箱底的压力减为原来的一半 【解题能力提升】 “四步骤”巧解瞬时性问题 1.分析原来物体的受力情况。 2.分析物体在突变时的受力情况。 3.由牛顿第二定律列方程。 4.求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 斜面问题 考点二 1.两类斜面模型 （1）等高斜面 如图1所示，由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得t＝，可知斜面倾角越小，运动时间越长，图1中t1>t2>t3。(斜面光滑) （2）同底斜面 如图2所示，由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得t＝，可见θ＝45°时运动时间最短，图2中t1＝t3>t2。(斜面光滑) 2.三类等时圆模型 （1）圆周内同顶端的斜面 如图1所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2R·sin θ＝·gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3。 （2）圆周内同底端的斜面 如图2所示，在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，同理可推得t1＝t2＝t3。 （3）双圆周内斜面 如图3所示，在竖直面内的两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切，各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置，可推得t1＝t2＝t3。 【例2-1】（2022·北京·高考真题）如图所示，质量为m的物块在倾角为的斜面上加速下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为。下列说法正确的是（　　） A．斜面对物块的支持力大小为 B．斜面对物块的摩擦力大小为 C．斜面对物块作用力的合力大小为 D．物块所受的合力大小为 【例2-2】（2021·全国甲卷·高考真题）如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式2-1】（2025·江苏南通·二模）如图所示，木杆AB和CD平行斜靠在竖直墙壁上，两杆构成了滑轨。将一摞瓦轻放在滑轨上，瓦将沿滑轨滑到低处。为防止瓦滑到底端时速度过大，可采取的措施是（　　） A．增加瓦放在滑轨上的高度 B．增加每次运送瓦的片数 C．增大两杆与水平面的夹角 D．增大两杆之间的距离 【变式2-2】 (多选)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.t1>t2 B.t3＝t4 C.t2<t4 D.t1＝t4 【解题能力提升】 牛顿第二定律在多过程运动问题中的应用 (1)分析各个过程中运动的特点,明确每一个运动过程的运动形式,注意相邻两个过程的衔接速度。 (2)分析各个过程的受力情况,明确每一个过程加速度的方向,注意不同过程各力的变化特点。 (3)灵活运用运动学公式、结论、图像,灵活运用合成法或正交分解法,结合牛顿第二定律求解加速度及其他相关量。 动力学两类基本问题 考点三 1．动力学的两类基本问题： 第一类：已知受力情况求物体的运动情况； 第二类：已知运动情况求物体的受力情况。 2．解决两类基本问题的方法：以加速度为“桥梁”，由运动学公式和牛顿运动定律列方程求解，具体逻辑关系如图： 3. 分析动力学两类基本问题的关键 (1)做好两类分析：物体的受力分析和物体的运动过程分析； (2)搭建两个桥梁：加速度是联系运动和力的桥梁；连接点的速度是联系各物理过程的桥梁。 【例3-1】如图所示，这是一种能垂直起降的小型遥控无人机，螺旋桨工作时能产生恒定的升力。在一次试飞中，无人机从地面上由静止匀加速竖直向上起飞，它5s上升了25m。已知无人机的质量，它运动过程中所受空气阻力大小恒为，取重力加速度大小，无人机受到的升力大小为（　　） A．20N B．30N C．40N D．50N 【例3-2】（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，重力加速度取，求雪车（包括运动员） （1）在直道AB上的加速度大小； （2）过C点的速度大小； （3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。 【变式3-1】（2025·重庆·模拟预测）2024年9月25日，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射一枚洲际导弹。设导弹的质量为，在导弹发射助推阶段，可视为从静止开始竖直向上的匀加速直线运动，此阶段推力恒为。从导弹发射开始计时，第2s内的位移为50m，重力加速度，则导弹所受的阻力为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】冰壶比赛场地简化图如图所示。在某次比赛中，运动员从起滑架处推着冰壶从静止出发，在投掷线AB处放手让冰壶以速度（未知）沿虚线滑出。假设投掷线与之间的距离为30m，重力加速度。如果通过运动员摩擦冰面，使得动摩擦因数随距离的变化关系如图所示，即，其中，表示离投掷线的距离。在这种情况下，若运动员在投掷线以的速度将冰壶沿例题图甲中的虚线推出，求冰壶滑行20m时的速度大小。 【解题能力提升】 动力学问题的解题思路 巩固提升 1．奥运冠军全红婵在巴黎奥运会上再次上演“水花消失术”夺冠。在女子10 m跳台的决赛中（下面研究过程将全红婵视为质点），全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5 m/s，竖直入水后到速度减为零的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的阻力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35 kg，重力加速度大小取g=10 m/s2，则（　　） A．跳离跳台后上升阶段全红婵处于超重状态 B．入水后全红婵处于失重状态 C．全红婵在空中运动的时间为1.5s D．入水后全红婵受到水的阻力为612.5 N 2．如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在一艘静止的航船上，机器人在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，动摩擦因数为，与竖直方向夹角为。机器人在壁面加速下滑时，仅受重力G、垂直壁面的磁力F、支持力和摩擦力的作用。则摩擦力的大小为（　　） A． B． C． D． 3．如图，工人卸货时，某货物能沿与水平地面夹角为θ的长直木板滑下，若货物与木板间各处摩擦因数相同，下列分析正确的是（　　） A．增大θ，该货物所受摩擦力变大 B．减小θ，该货物一定能再次滑下 C．仅减少该货物的质量，该货物将不能下滑 D．货物下滑加速度与其质量无关 4．两个质量均为的小球A、B被细线连接放置在倾角为的光滑斜面上（斜面固定在地面上不动），如图所示，系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面，在细线被烧断的瞬间，关于A、B的加速度大小，下列说法正确的是（重力加速度为）（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·浙江·二模）以6m/s的速度匀速上升的气球，当升到离地面14.5m高时，从气球上落下一小球，小球的质量为0.5kg，假设小球在运动过程所受阻力大小满足f(1+kv）N，k0.01kg/s，g取。则小球从气球落下后大约经过多长时间到达地面（　　） A．1.7s B．1.9s C．2.6s D．3.5s 6．（多选）如图所示，小物块从倾角的固定斜面底端A点，以的速度沿斜面上滑，经过时间t后小物块的速度大小为4m/s，此时小物块到A点间的距离为x，一段时间后小物块又回到A点。已知物块与斜面间的动摩擦因数，物块可视为质点，取重力加速度，则下列说法可能正确的是（　　） A．、 B．、 C．斜面长度至少为5m D．斜面长度至少为9m 7．（2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）蹴球是中国少数民族的一种传统体育项目，比赛在一块正方形水平地面上进行，比赛用球为硬塑实心球。如图所示，静止在场地中的球1与球2、球2与边线间的距离均为L，两球质量相同，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为μ，一队员用脚给球1一个水平冲击力使其获得水平速度，球1与球2发生弹性正碰后，球2恰好能到达边线，重力加速度为g。则球2运动的时间为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，三根光滑轨道、、下端分别为、、，位于的正下方，、。一小圆环从点由静止分别沿、、滑下，滑到下端的时间分别为、、，下列选项正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．如图所示，四只猴子将一树枝（可视为弹性杆）压弯倒挂在树梢上，从下到上依次为1、2、3、4号猴子。正当1号猴子打算伸手捞水中的“月亮”时，2号猴子突然两手一滑没抓稳，1号猴子扑通一声掉进了水里。假设2号猴子手滑前四只猴子都处于静止状态，其中1号猴子的质量为m，其余3只猴子的质量均为2m，重力加速度为g，则在1号猴子掉落的瞬间（　　） A．2、3和4号猴子的速度和加速度都为零 B．3号猴子对2号猴子的作用力大小为 C．4号猴子对3号猴子的作用力大小为 D．4号猴子对树枝的作用力大小为6mg 11．如图所示，光滑斜面高度一定，斜面倾角θ可调节。物体从斜面顶端由静止释放，沿斜面下滑到斜面底端，下列物理量与斜面倾角无关的是（　　） A．物体受到支持力的大小 B．物体加速度的大小 C．合力对物体做的功 D．物体重力的冲量 12．（多选）如图所示，质量分别为m、2m的两个小球甲和乙用轻弹簧连接，并用轻绳、固定，处于静止状态，水平，与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为g，。则（　　） A．的拉力大小为4mg B．的拉力大小为4mg C．剪断的瞬间，小球甲的加速度大小为 D．剪断的瞬间，小球乙的加速度大小为g 13．（多选）如图所示，正六边形稳固支架竖直放置且固定在水平地面上，中心点为O，C、D为支架两个顶点，通过轻绳CA、BD分别固定两个质量均为的相同小球A、B，两小球通过轻质弹簧相连，整个装置处于静止状态，且CAO、OBD共线。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轻绳CA的弹力为4mg B．轻绳BD的弹力为mg C．剪断轻绳CA瞬间，小球A加速度大小为 D．剪断轻绳CA瞬间，小球B加速度大小为 14．如图所示，倾角为30°、足够长的固定斜面上有内壁光滑、截面为半圆形的容器，O为截面圆的圆心，AB为平行于斜面的直径，OC垂直于AB，D为圆上的一点，OD与OC的夹角为30°。容器内有一光滑的小球，当容器和小球一起在斜面上自由下滑时，小球相对容器停在C点；当容器受到沿斜面向下的拉力（图中没有画出）作用，稳定时容器和小球一起向下以加速度a运动，小球相对容器停在D点，已知重力加速度为g，则（　　） A．加速度a的大小为 B．加速度a的大小为g C．容器与斜面间的动摩擦因数为0.5 D．容器与斜面间的动摩擦因数为 15．（多选）如图所示，质量为M、倾角为的斜面体放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簀的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，斜面光滑且足够长。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大伸长量为 B．弹簧的最大伸长量为 C．为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足 D．为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足 16．如图所示，一搬运工人想将质量为40kg的木箱从A点推到仓库内的B点，现给木箱施加一个水平向右大小为100N的恒力，让正在A点以5m/s初速度运动的木箱在粗糙水平地面上做匀速直线运动。2s后工人突然撤去水平恒力，让木箱做匀减速直线运动，最后刚好到达B点，重力加速度g取10m/s2，木箱可看为质点。求： (1)木箱与地面间的动摩擦因数； (2)A、B之间的距离。 17．（2025·山东·模拟预测）随着皑皑白雪覆盖北疆大地，第十一届全国大众冰雪季内蒙古“雪搭子”周末滑雪里程积分赛在万众期待中火热启幕。这场横跨春节假期的冰雪盛宴，通过创新赛制与特色活动，为银装素裹的内蒙古注入了蓬勃的运动活力。在滑雪运动中，滑雪板速度较小时，与雪地接触时间长，滑雪板下陷较多，使得滑雪板与雪地间的动摩擦因数较大，滑雪板速度变大时，与雪地间的动摩擦因数就会变小。如图所示，一运动员使用滑雪板从倾角的雪坡斜面顶端A处由静止滑下，滑至坡底B后又滑上一段水平雪面，最后停在C处。假设滑雪板速度小于6m/s时，与雪地间的动摩擦因数，速度大于等于6m /s时，与雪地间的动摩擦因数变为。不计空气阻力，运动员经过B处前后瞬间速度大小不变，已知坡长AB=16.25m，重力加速度，。求： (1)运动员到达B点时的速度大小； (2)运动员在水平雪地上运动的距离。 18．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。 （1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系； （2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$