第5章 专题探究09 导数与方程、不等式的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

专题探究09导数与方程、不等式的综合应用 黑题 专题强化 限时：35min 题组1导数与方程 题组2导数与不等式 1.(2025·山东省实验中学高二期末)设f(x)= 3.（2025·江苏南京高二期末)已知函数f(x)= xe(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2 x2+alnx,a∈R (1)记F(x)= (1)若曲线f(x)在x=1处的切线与直线2x+ g(x) 3y+1=0垂直，求a的值； ()讨论函数F(x)的单调性； (2)讨论f(x)的单调性； (iⅱ)证明当m>0时，F(-1+m)> F(-1-m)恒成立. (3)当xe片，e]时)≥(a+2)x,求a的 (2)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),设函数 取值范围。 G(x)有两个零点，求参数a的取值范围. 2.(2025·浙江温州高二期末)已知函数4.(2025·吉林长春高二期末)已知f(x)= f(x)=ea,g(x)=In x. e'-ax. (1)若a=0,求证：g(x)<x<fx); (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)若方程f(x)=g(x)-a有2个不同的解， (2)证明不等式：xe-2elnx≥e(x2-2x+2). 求实数a的取值范围. 第5章黑白题125 第5章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 公共点(0,1)，则 符合题目要求的 1.(2025·江苏盐城高二期末)已知函数f八x)在 x=xo处可导，且i f-4x)-八o）=3,则 Ax f(xo)= A.函数y=f(x)+x的最小值为1 A.-3 B.-2 B.函数y的最小值为1 c昌 e D.2 C.函数y=f代x)·e的最小值为1 2.(2025·江苏连云港高二期末)函数f(x)= x3-12x+1的极小值为 ( D.函数y司 的最小值为1 A.-17 B.-15 7.(2025·江苏南京高三期中)已知2024= C.15 D.17 2025,2023"=x+2024,2025m=y+2026,则 3.(2025·江苏扬州高三月考)已知f(x)=x2+ () 3xf'(1),则f'(1)= ( A.0<x<y B.x<y<0 C.y<x<0 D.x<0<y A.-1 B.1 8.(2025·江苏淮安高二期末)已知关于x的方 C.2 D.5 程lnx-ae'-lna=0有两个不相等的实数根， 4.(2025·江苏扬州高三期中)已知函数 则实数a的取值范围是 () x)=inx-ax在区间[0，]上单调递增， A.(0,e) B.(e,+) 则实数a的取值范围是 c.(. a.[2,+e） B.（,2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 c+】 n.（,] 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分 5.(2025·江苏连云港高二月考)若直线y= 9.(2025·江苏盐城高二期末)已知函数f(x)的 4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2lnx 定义域为R,其导数f'(x)满足f(x)+f'(x)> 的公切线，则n-m= ( 0,则 A.11 B.12 C.-8 D.-7 A.R(n 2)) 2 B.01) 6.(2025·江苏南通高三月考)在同一平面直角 坐标系中，函数y=(x)及其导函数y=∫'(x) c.f( .R 选择性必修第一册：SJ黑白题126(3)由题意知h(x)=f"(x)=x-2nx-日，定义域为(0，+0)，故 he=-2x和，设p)=2-2xta.4=4-4a (i)当△=4-4a≤0，即a≥1时，p(x)≥0对x>0恒成立，即h'(x)≥ 0对x>0恒成立，故函数h(x)在(0，+)上单调递增. （i)当4=44>0，即a<1时，令(--2x+a=0,解得，=1- √1-a,1=1+√1-a. ①当0<a<1时，由一元二次方程根与系数的关系得x1+=2,1= a>0,故2>x1>0,令h'(x)>0,解得0<x<1-√1-a或x>1+√T-a,令 h'(x)<0,解得1-√1-a<x<1+√/1-a,故函数h(x)在(0,1-√1-a) 和(1+√1-4，+)上单调递增，在(1-√1-a,1+√1-4)上单调递 减②当a≤0时，由一元二次方程根与系数的关系得x1+名=2， =a≤0，故x2>0≥x1,令h'(x)>0,解得x>1+√个-a,令h(x)<0, 解得0<x<1-/-a,故函数h(x)在(1+√/1-a,+)上单调递增，在 (0,1-√/1-a)上单调递减.综上所述，当a≤0时.函数h(x)在 (1+√1-a,+g)上单调递增，在(0,1-√1-a)上单调递减：当0<a< 1时，函数(x)在(0,1-√1-@)和(1+√1-a,+∞)上单调递增，在 (1-√1-a,1+√1-a)上单调递减：当a≥1时，函数h(x)在 (0,+0)上单剥递增. 1 1 4.(1)证明：∫'(x)= ≥0，f(x)在定义城上单调递增。 g6<0又f1)=tm1-L,又1>牙am1m牙=l, tan 6 T 1)>03oe(0,7)使o)=0.)有且仅有-个零点 a据g血（号）=：(+受）血（月 【=(受）]令(e)如（受）点则隔数 x)的图象向左平移舞个单位长度，得函数h(x)的图象由(1)知。 f八x)=tanx- ,当xe(0,)时x)<0,当x∈气，号)时 时，h(x)<0,当xe气0-受，0)时，h(x)>0当e (77)时，+受>0，imx<0,()>0,则g()>0,函数 8()单调递增函数()在区间(2.7)上单调递减，在 区间(。号，0上单调递增 专题探究09导数与方程、不等式的综合应用 黑题 专题强化 (0)(i)解：F(x)=2e g幻(+)2x*-). F=+1)c:(1)2e·2(x+.,所以当xe (x+1)4 (x+1)3 选择性必修第一册·SJ (-,-1)时，F(x)<0,F(x)单调递诚：当x(-1,+)时，F”(x) 0,F(x)单湖递增。 （i)证明：F(-1+m)-F(-1-m)=m-)e.（-m-1)。= m2 m2 m+1 m2em+ ◆pm-产+1(m0.en2 +1+1,p'(m)=2e2n 4e2(m+1）-2e2a2m2e2加 (m+1)3 m)2>0,所以p(m)2p00又0 所当0，-1--1票(0 成立，即当m>0时，F(-1+m)>F(-1-m)恒成立. (2)解：由已知，G(x)=a(x)+g(x)=xe2+(x+1)2.G(x)=a(x+ 1)e°+2(x+1)=(x+1)(ae+2). ①当a=0时，C(x)=(x+1)2,有唯一零点-1： ②当a>0时，a6+2>0,所以当xe(-,-1)时，G(x)<0,G(x)单调 递减，当xe(-1,+)时，G(x)>0,G(x)单阔递增，所以 G(x)楼小值=G(-1)=-年<0. e 因为G(0)=1>0,所以31e(-1,0)使得(1)=0，即f(x)在 (-1,+)上有一个零点； 又G(-a-2)=a(-a-2)em2+(-a-2+1)2=-a(a+2)e=2+ (a+1)2=(a2+2a)(1-e-2)+1>0,所以3x2e(-a-2,-1)使得 八x2)=0,即八x)在(-∞，-1)上有一个零点 即当a>0时，函数G(x)有两个零点. 8当0时.c-a(e*n-(名)月 由C()=0,得x= 1者-1h(2）即a=-2s时，c(=-2a(*(e-）月 由于D-1时，-1时，e<,所以G(国≤0，所以G到单 调递减，至多有一个零点： 2者-1h(子）即a-2s时，c()a(+1)e (吕)门小注套到y=+1=心+子都是瑞两数，所以当 a (,h()）时，G()<0,G()单调递减，当 ((子）-)时，6国)>0,6()单调适蜡，当e(-1,+) 时，c(<0,c(e)单调递减c()=c(血（子） ()((）(）o,所 以G(x)至多有一个零点： 3者-1h(）即-24a<0时，时题可得当(-，1)时。 Ga)<0,c(单调递液，当e(1,h(子)）时，G(国)>0， c)单润递端，当e((名)+)时，6()<0，c()单调 递减所以G(x)能小=G(-1)=-“>0,G(x)至多有一个零点 综上，若函数G(x)有两个零点，则参数a的取值范围是(0，+)， 2.(1)证明：当a=0时八x)=e,令h(x)=e-x,则h'(x)=e-1,所以 当x>0时'(x)>0,当x<0时h'(x)<0,所以h(x)在(0，+m)上单调 递增，在(-∞，0)上单调递诚，所以h(x)≥h(0)=1>0,即f(x)>x.令 p(=he0,+m),则p(=-1片所以当0x<1 白题092 时，'(x)>0,当x>1时，p'(x)<0,所以p(x)在(0,1)上单调递增 在(1，+∞)上单调递减，所以(x)≤e(1)=-1<0,所以g(x)<x.综 上可得g(x)x<代x). (2)解：由八x)=g(x)-a,可得e=lnx-a,所以e“+x+a=lnx+x= In x+es 令m(x)=e+x,显然m(x)=e'+x在R上单调递增，由m(x+a)= m(nx,所以x+a=lnx,依题意可得x+a=lnx有两个解，记n(x)= hx+a,则n(x)有两个零点，n'()=1-,令n'(x)=0,解得 1,当x∈(0,1)时，n'(x)<0,当x∈(1，+0)时，n'()>0,所以n(x) 在(0,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，故n(x)m=m(1)= 1+a因为n(x)有两个零点，所以n(x)mm<0,解得a<-1.又 n(e)=e-a+a=e>0,所以31e(e°，1)使得n(x1)=0, n(e)=e-(-a)+a=e+2a,记t(a)=e日+2a,a<-l,则 (a)=-e+2,因为a<-1,所以-a>1,所以e>e,所以(a)= -e+2<0,故t(a)在(-，-1)上单调递诚，所以(a)> t(-1)=e-2>0,即n(e)>0,所以3，e(1,e)使得n()=0,即 当a<-1时，n(x)有两个零点综上，实数a的收值范围为(-如，-1). 3.解：()因为x)=+anx,所以()=2+兰，所以(1)=2+a 又f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，所以f"(1)· (号）-1，即24号所以a= 3 (2f()=2x+4-22+ ,>0. ①当a≥0时(x)>0,所以爪x)在(0，+∞）上单调递增 ,当 ②当a<0时，令f)=0,得=-受，又0，所以x=√2 e(0,√受)时，”()<0，f(x)单调道减，当x (√受，+)时)>0)单调递地 综上，当a≥0时八x)在(0，+)上单调递增： 当a<0时)在(0√受)上单河遥减，在 单周递增 （o)由>(a+2,得a(h到≤-2a在[片e】 上恒成立 令g)=n,0,则g()=11.令g(x=0,得x1当 x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单递诚，当x∈(1，+x)时，g(x)> 0,g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=1>0,即x-nx>0,则a后 令h(x)= x2-2x ,则(x)= a22-2 2(x-1)(xnx)-(x-2)(x-1) (x-In x)2 (xn x)2 (x-1)(x+2-2nx) (x-In x)2 因为[片】 ,所以1nx≤1，则x+2-2nx>0,令h'(x》=0,得 1,当：e[日）时，(<0，A(e)单调莲减，当e,e 时，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以(x)n=h(1)=-1,所以a≤-1， 即a的取值范围是(-，-1]. 4.(1)解：f'(x)=e-a, 若a=0八x)=e>0恒成立，符合题意： 若a<0,()>0恒成立，所以)在R上单调递增，又a<0时，。 0.c1,所u/(日）-1<0，与题意不符合去 参考答案 若a>0,令f'(x)=0,解得x=na,当xg(-,lna)时f'(x)<0,当 xe(lna,+)时f'(x)>0,即f(x)在(-e,lna)上单调递诚，在 (ha,+)上单调递增，所以f(x)=f(na)=ea-alna=a(1- lna),/八x)0恒成立得f(x)曲≥0，解得0<a≤e 综上，a的取值范围是[0，e]. (2)证明：由(1)知。≥x恒成立，当且仅当x=1时等号成立，所以 lnc≥ln(cx)→x≥lnx+1→x-1≥ln*,当且仅当x=1时等号成立， 所以xe'-2enx≥ex2-2nx≥ex2+2e(1-x)=e(x2-2x+2),所以 xe'-2eln xe(x2-2x+2). 第5章章末检测 1.A解析：因为画 0-4)0=3. Ax 所以-。 x-△x)-f） -4)2.-3 △x -Ax 由导数的定义可知f”(x0)=-3故选A 2.B解析：由函数x)=x2-12x+1,求导得广(x)=3x2-12,令f"(x)= 3x2-12=0,得x=±2，当x<-2时，f(x)>0.函数单调递增，当-2< x<2时∫(x)<0,函数单调递减，当x>2时，(x)>0,函数单调递 增，所以2是极小值点，所以函数的极小值为f八2)=-15.故选B. 3.A解析：因为f代x)=x2+3'(1),所以f(x)=2x+3f(1).令x=1 得f'(1)=2+3(1)→f(1)=-1 4.B解析：因为f八x)=inx-a,所以(x)=cos x-a.因为函数f八x)= 血ra在区同[0，号]上单调通州，所以对任意的：e【0,号]， f()=ma≥0恒成立，期a≤(a动=m号=子因此，实 数a的取值范强是(。，子]故选R 5.A解析：由y=x2+2nx,得y=2x+ ,由2x+=4，解得=1( 2 0),则直线y=4x+m与曲线y=x2+2血x相切于点(1,4+m), ∴.4+m=1+2n1=1,解得m=-3,∴直线y=4x-3是曲线y=x3-nx+ 13的切线. 由y=x3-n+13,得y=3x2-n,设切点为(1,2-m+13),则3r2-n=4, 且-m+13=4-3,联立可得3-2-16+4=4，解得1=2，六n=8, .n-m=8-(-3)=11.故选A 6.D解析：由题图可知，两个函数图象都在x轴上方，则(x)>0,函 数x)单调递增，因此实线为y=f八x)的图象，虚线为y=∫(x)的图 象0)=f(0)=1. 对于A,y=∫'(x)+1>0,y=f(x)+x在R上单调递增，无最小值， A错误： 对于B,y(),由题图知，当x<0时()>0，当0 时()-)<0，因此雨数y=八在(-0,0)上单调递增，在 (0,+)上单调递减，当=0时，函数取得最大值，9.1。 B错误： 对于C,y=f(x)+f(x)]e,由题图知f八x)+f'(x)>0,函数y= 八x)·e2在R上单调递增，无最小值，C错误； 对于D..,ylO00-0,由题图 八)]2 [0)]2 知，当x<0时(x)-f'(x)<0,当x>0时，(x)-f'(x)>0,函数y= 在(-0,0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，因此当x=0 时，函数取得最小值，y代0) 1D正确 故选D. 1.D解析：因为2024"=2025，则m=g2m42025>1构造函数代x)= x"-x-1,x后[1,2025]，则f'(x)=mr-1-1.令g(x)=了(x)=mx-1 1,x∈[1,2025]，则g'(x)=m(m-1)x2>0,则g(x)=f'(x)在x 黑白题093