第5章 专题探究08 含参函数单调性分类讨论-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

专题探究08含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 限时：35min 1.(2025·江苏常州高三月考)已知函数3.(2025·广东佛山高二月考)已知函数f(x)= 八x)=,-a (x+1)3 号42-(2o1h (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))》 (1)当a=0时，求函数f(x)在点(1f1))处 处的切线方程； 的切线方程： (2)求函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，求实 数a的取值范围： (3)讨论函数f代x)的导函数h(x)在定义域上 的单调性 2.(2025·江苏无锡高三期中)已知函数f(x)= 4.(2025·江西吉安高三期末)函数f(x)= x2+aln(x+1),aER. (1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的 mx0号 取值范围； (1)求证：函数f(x)有且仅有一个零点； (2)求函数g(x)=fx)-(经+2)x的单调递 (2)讨论函数g()=(+受)血x在区间 减区间. (受，0]上的单调性 选择性必修第一册·SJ黑白题124 专题探究09导数与方程、不等式的综合应用 黑题 专题强化 限时：35min 题组1导数与方程 题组2导数与不等式 1.(2025·山东省实验中学高二期末)设f(x)= 3.（2025·江苏南京高二期末)已知函数f(x)= xe(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2 x2+alnx,a∈R (1)记F(x)= (1)若曲线f(x)在x=1处的切线与直线2x+ g(x) 3y+1=0垂直，求a的值； ()讨论函数F(x)的单调性； (2)讨论f(x)的单调性； (iⅱ)证明当m>0时，F(-1+m)> F(-1-m)恒成立. (3)当xe片，e]时)≥(a+2)x,求a的 (2)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),设函数 取值范围。 G(x)有两个零点，求参数a的取值范围. 2.(2025·浙江温州高二期末)已知函数4.(2025·吉林长春高二期末)已知f(x)= f(x)=ea,g(x)=In x. e'-ax. (1)若a=0,求证：g(x)<x<fx); (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)若方程f(x)=g(x)-a有2个不同的解， (2)证明不等式：xe-2elnx≥e(x2-2x+2). 求实数a的取值范围. 第5章黑白题1251.又x≥1，所以(e2)2≥(x+1)2即(e)2-2x≥x2+1>0.（e)2+ (2-2x)>2,即h'(x)>0,h(x)=e'+2e在[1，+g)上单递增 )≥()≥h(1)=e+2>333m王 ,又a≥4 h20,当xe(-,0)U（(n2.*x时，g'(x)<0,当xe (0,n受)）时，g()>0,故g)在(-，0)和(h号+上单调 递减，在(0，血上单调递增， 由题盒g(a归g()得-之+（宁+1）e-受产+（宁1） 即-2+(e-0.即-(+e)e-e+(受 1(e-e)=0,又m≠,"+e= +1.g(m)+g() 由e+e=+1≥2V,义m<m,则0<e< 2,F(=1,当e(0,号)时，P()<0,)单调道或，当 时，F"()>0,F()单调递增， ≥4时a=(受h受1)>0 h(a)单测通增，则h(@)m=h(4)= 2 -2n2 专题探究08 含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 1.解：(1)当a=0时x)= “(+1Dx≠-1).则0)=0.因为r( +所以了0)=1.所以线y)在0,0)处的切线方程 1- 为y= (2)函数的定文域为(-，-)U(-1,+x)(s)=[=（2+1] (x+1)3 令f(x)=0.解得x=2+1. 当2a+1=-1,即a=-1时，(x)=,-1 (+1)《+1户<0.所以函数 x)的单调递减区间为(-x,-1),(-1,+x),无单调递增区间： 当2a+1<-1,即a<-1时，令f‘(x)<0,则xe(-x,2a+1)U (-1.+x）,令f(x)>0.则xe(2a+1,-1),函数八x)的单周递减区 间为(-，2+1)，(-1，+》，单嗣递增区间为(2a+1,-1)； 当2a+1>-1,即>-1时，令f'(x)<0,则x6(-x,-1）U (2a+1.+),令f(x)>0,则xe(-1,2a+1).函数f八x)的单调递减 区间为(-，-1)，(21+1.+).单测递增区间为(-1.21+1). 综上所述，当a=-1时，函数f八x)的单调递减区间为(-￥，-1)， (-1,+x)）,无单调递增区间： 参考答案 当<-1时，函数x)的单调递减区间为(-，2+1)，(-1，+x), 单调递增区间为(2a+1,-1): 当a>-1时，函数fx)的单调递减区间为(-x,-1),(2a+1,+g), 单调递增区间为(-1,2a+1) 2.解：(1)函数f(x)=x2+ln(x+1)的定义域为xx>-1,求导得 f代国=2x+242,令r=0,可得22+2xn=0,因为雨 x+1 x+1 数(x)有两个不同的极值点，所以22+2x+a=0有两个大于-1的不 2x221, 等实根，所以 2x-142x-)a>0.解得0a宁所以a的取的 4=22-4×2a>0. (2)g(x)=f(x)- (+2）=+ah(+)-（+2),求导得 g加2+ （号+2）-4*2a0-44 2(x+1) 4x2-x+a-4(4x+4-a)(x-1 2(x+1) 2(x+1) 2,令g(x)=0.解得x=1或x=1, 当>8时，4 >1，由g()<0,可得1<x-l,函数g(x)在 (1.:1）上单调递减。 当a=8时，号=1，由g)<0,可得xe②，两数无单调道诚 区间. 当0<a<8时，-1<号1k1,由g()<0,可得-1<r<1,函数g() 在(：1,1上单调递诚。 当a50时，号-1≤-1，由g()<0,可得-1<1，函数g)在(-1， 1)上单调递减 综上所述：当>8时，函数g()在（山号1上单调递减。 当a=8时，函数g(x)无单调递减区间， 当0<a<8时，函数)在（任1，小上单调递诚。 当a≤0时，函数g(x)在(-1，)上单陶递减 四方法总结 含参函数单调性的讨论一板包括： ①旷(x)=0在定义城内的解的个数： ②”()=0在定义城内的解之间的大小关系， 3解：）当a=0时x)=42-2h(=x+2-2(h*10= -2则=1=号所以e)在点1)处的切线方 5 程为，2=1，整理得2x-2+3=0,故)在点(1,1)处的切 线方程为2x-2+3=0, （2易知/)=+2-2汕(2xo)=2h因为=)在 [1,+)上单调递增.所以"(x)≥0在[1.+x)上恒成立由x-2如x- 0在[1.+￥)上恒成立，得a≤2-2nxe[1,+x),设 g(x)=x2-2xln x.g'(x)=2x-2In x-2,xE[1.+).m(x)= 2h=).n)2()0在1.2)上相波立.所以 m(x)在[1，+x)上单调递增，m(x)≥m(1)=0,即g'(x)≥0在 [1,+x)上恒成立，所以g(x)在[1，+x)上单调递增，g(x)= g(1)=1,故a≤1，即ae(-x,1门 黑白题091 (3)由题意知h(x)='(x)=x-2nx-,定义域为(0.+).故 (r-产-2r+a,设pl)=2-2xta4=4-4n (i)当4=4-4e≤0，即a≥1时.p(x)≥0对x>0恒成立，即h'(x)≥ 0对x>0恒成立，故函数(x)在(0，+)上单调递增. （i)当4=4->0，即a<1时，令6()=-2+a0.解得1=- x /1-a,x1=1+/-a ①当0<a<1时.由一元二次方程根与系数的关系得x1+x?=212= a>0,故x2>x1>0,令'(x)>0,解得0<<1-1-0或x>1+√1-a,令 h'(x)<0,解得1-√1-a<x<1+√1-a,故函数(x)在(0,1-√/1-a) 和(1+1-，+)上单调递增，在(1-√1-，1+/1-4)上单调递 减②当：≤0时，由一元二次方程根与系数的关系得x,+,=2。 1=u≤0，故>0≥1，令'(x)>0,解得x>1+√/1-a,令h'(x)<0, 解得0<x<1-√1-a,枚函数h(x)在(1+√1-a,+x)上单调递增，在 (0,1-√1-a)上单调递或.综上所述，当a0时，函数k(x)在 (1+√1-a,+x)上单递增，在(0.1-√1-4)上单调递减：当0ca< 1时.函数(x)在(0.1-√1-a)和(1+√1-a,+)上单调递增，在 (1-√1-a,1+√1-a)上单调递减：当a≥1时，函数h(x)在 (0,+x)上单周递增. 4.(1)证明：f”(x)= 2≥0，∴f(x)在定义域上单调递增。 后名a又：f)=m1-1.又 tan 4m1>an4=1 1)>03后（0，号)使o)=0.)有且仅有一个零点 a据g=(号)一=（受）m(日 ）]，令(=m(+）则函数 代x)的图象向左平移舞个单位长度，得函数(x)的图象由(1)知， f代x)=anx- ,当xe(0,)时)<0，当xe（o,牙)时 时.h()<0.当re(。-是，0）时，h()>0当xe 气号6号)时x+受>0nx<0,h(>0,则g()>0,函数 g)单调递州函数g()在区同（受受 上单测递减，在 区向（受0）上单调递说 专题探究09导数与方程、不等式的综合应用 黑题 专题蹈化 1(1)(1)解：F)=e 8(9(*1)2-1). F(x)=+1)e·(+1)2-e2x+.e(2+ (x+1)+ (x+1) 2,所以当xe 选择性必修第一册·SJ (-,-1)时，F"(x)<0,F(x)单调递诚：当xe(-1,+x)时，F(x)> 0,F(x)单递增 (i)证明：F(-1+m)-F(-1-m)=m-)e二(-m-e= m m+1 m2em+1 令g(m)mc2+1(m20),(m)=e-2 m+1,0'(m)=2o 4e2(m+1)-2e_2m23e2m (m+1)2 ,)2≥0.所以《m)2e《0=0又m0>0. 所以当m>0时.F-1m--1-m)=（(21>0每 m2e可(m+ 成立，即当m>0时，F(-1+m)>F(-1-m)恒成立. (2)解：由已知，G(x)=x)+g(x)=xe+(x+1)2,G(x)=a(x+ 1)e+2(x+1)=(x+1)(ae+2). ①当a=0时，G(x)=(x+1)2,有唯一零点-1： 2当a>0时，ae+2>0.所以当x∈(-g.-1)时，G(x)<0.G(x)单调 递减.当xe(-1,+)时，G(x)>0,G(x)单调递增，所以 G(x)e销=G(-1)=-”<0. 因为G(0)=1>0,所以31e(-1,0)使得八x1)=0,即f八x)在 (-1,+￥)上有一个零点： 又G(-a-2)=n(-a-2)em2+(-m-2+1)2=-n(a+2)e2+ (a+1)2=(a2+2a)(1-em2)+1>0,所以32e(-n-2,-1)使得 )=0,即八x)在(-，-1)上有一个零点 即当>0时，函数G(x)有两个零点. 由G(x)=0,得x= 1者-1h(）a=-2时，c=-2+)(e）月 由于D-l时.e><-1时，e<,所以c()≤0，所以G)单 调递战，至多有一个零点： 2r者-1h(2）人即a-2昧，G(a)[e ()门，注意到y=1心+2都是墙而数，所以当e (,h()）时，G()<0,G()单调递减，当e ((子）-)时，G()>0,c()单增，当e(-1+) 时，6)<0.6(x)单调递减c()a值=6(h(-子)） h(名）·()[()=im(）0,所 以G(x)至多有一个零点： 3若-1血（日）即-20<0时，同理可得当e(,)时， ce)<0.6()单测递减，当e(1.h(子)）时，G()>0, 6)单调选地，当xe((子）*=)时.c(e)<0.6()单调 递减所以G(x)值=6-1)=-。>0，G(x)至多有一-个零点. 综上，若函数(G(x)有两个零点，则参数：的取值范围是(0，+)， 2.(1)证明：当a=0时八x)=e,令h(x)=e-x,则h'(x)=e-1,所以 当，x>0时'(x)>0,当<0时'(x)<0.所以(x)在(0，+)上单调 递增.在(-e.0)上单调递减，所以h(x)≥h(0)=1>0.即f八x)>x.令 p()=n,xe(0,+=).则g()=-1=,所以当0<< 白题092