4.4 数学归纳法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

之A≤子解得2A≤子所以A的取值范图为2.各] (3)设存在等差数列b.使得a1b.+ab1+a3b。2+…+ab1= 2m1-n-2对一切n∈N·都成立， 当n=1时，a161=211-1-2=1,所以61=1， 当n=2时，4，b2+a2b1=221-2-2=4,所以2=2， 所以等差数列引6.}的公差为d=1,所以6，=1+(m-1)×1=n, 设S=a1bn+azbn-:+abn2+…+anb1,则S=1×n+2(n-1)+22× (n-2)+…+2-2×2+2-1×1, 所以25=2×m+22(m-1)+23(n-2)+…+2-1×2+2"×1, 所以3=2S-8=-m+2+2++22+2m+2=-n◆21-22=21 1-2 a-2, 所以存在等差数列6n使得a1b,+a2bn-1+abn-2t…+ab1=21- n-2对一切neN都成立，且b,=n(neN·). 压轴挑战 D解析：由a。+1<aa1,得1<aa1-aa, 由累加法，当n≥2时，4n=(a。-a1)+(a-1-a-2)+…+(a2-a1）+@1> 1+1++1=n,因此S。=a4+a,+…+a.>1+2+…+m=m(m+,即得 2 2024m（0,所以m（m+1)<4048,当m=63时，m(m+1)=4032. 2. 故m≤63，由a1<2a.+2,得a2<2a1+2→a3<2a2+2<2(2a1+2)+ 2=22a1+22+2,所以a4<2a3+2<2(22a1+22+2)+2=23a1+23+22+2,以 此类推，得an<2-1a1+2-1+22+…+2=3·2-1-2,因此Sn=a1+a2+ …+a.<3(2n-1)-2m,即2024<3(2"-1)-2m,又3×(210-1)-20> 2024,3×(29-1)-18<2024,所以m≥10.综上可知，10≤m≤63，故满足 条件的正整数m所有可能取值的个数为63-10+1=54（个）.故选D. 4.4数学归纳法 白题基过关 1.C解析：当n=1时，2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故选C 2D解指：当时，等式的左边为1子兮2士 当n=+1时，等式的左边为1-+-1 11 2+34*+2-12 1 1 2k+12k+2' 11 故从~n=k到n=k+1”,左边所要深加的项是2水中2水+2故选D, 3.证明：①当n=1时，左边=3×12+1=4，右边=1×(1+1)2=4，等式 成立： 2假设当n=k≥1时，等式成立，即(3×12+1)+(3×22+2)+(3×32+ 3)+…+(32+k)=k(k+1)2成立，则n=k+1时，左边=(3×12+1)+ (3×22+2)+(3×32+3)++(362+k)+[3(k+1)2+k+1]=(k+1)2+ [3(k+1)2+k+1]▣(k+1)(k2+k+3+3+1)=(k+1)(k2+4k+4)■(k+ 1)(k+2)2=右边，所以n=k+1时，等式成立 综上，由①②可知.对于neN·,(3×12+1)+(3×22+2)+(3×32+3)+ +(3n2+n)=(m+1)2成立 巴方法总结 利用数学归的法证明的基本思路： 设P(n)是关于自然数n(n≥o)的命题， ①当n=n时，P(no)成立： ②假设n=(k≥o)时P(k)成立，可以指出当n=+1时P(k+1) 成立， 别由①②可知对于Vn≥n,neN”,P(n)都或立. 4.ABC解析：在n=k+1时，没有应用n=k时的限设，即从n=k到 n=k+1的推理不正确.故选ABC 5.B解析：当m=k时，不等式为1+2+3+…+2≥3-1 当n=k+1时，不等式为1+2+3+…+2+(2+1)+…+21≥3 增加的项数为2+1-2=2.故选B. 参考答案 61宁寸2解折：因为aeN,且a>1,可知a的第-个取值为 n=2,由题意可知，当m=2时，22-1=3，所以第一步需验证的不等式 11 11 为1+2+3c2故答案为1+232 7这明：①当1时，左边子兮+吕1，左边>右边，不等式 成立： ②假设n=k时不等式成立，即 即中2…1， 1 1 则当n=k+1时，左边中2…3+23(+)3+1)+ 11 1 11 (k+2+…+3+)3+234++3k+1)+>1+ 「1.12 6(k+1)6(k+1) 3+2'36+43(k+1]F1 >1.即当n=k+ 9站2+18k+89k2+18k+9 1时，不等式也成立 综上，由①②可知，对于meN,不等式 atn+2t3n>1 (meN·)成立 8.D解析：因为n为正偶数，所以第二步的假设应写： 假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也 成立， 即当n=2k(k为正整数)时，a#-b能被a-b整除，再证n=2(k+1) 时，a2)-62+0能被a-b整除故选D. 9.证明：①当m=1时，32+1+2+2=33+23=35，能被7整除： ②假设当n=k时，31+22能被7整除，那么当n=k+1时，3+3+ 2*3=9.321+2·242=7.34+1+2·31+2·242=7.3+1+2. (32*1+2+2), 由于321+2+2能被7整除，7·32+1能被7整除，可得3+5+23能 被7整除，即当n=k+1时，3+3+2能被7整除 综上，由①②可知，对于n∈N·,31+2+2能被7整除 10.C解析：根据题意知，当n=k(k∈N·)时该命题成立，那么可以推 出n=+1时该命题也成立 因为n=5时该命题成立，可依次推得n≥5(n∈N·)时，该命题都 成立.故选C 11.(1)解：由a1=2,得a2=a-a1+1=3, 由42=3，得a3=a-22+1=4, 由a=4,得4=a3-3a3+1=5, 由此猜想a,的一个通项公式为a,=m+1(neN'). (2)证明：①当n=1时，41=2满足a。=n+1,命题成立； ②假设当n=(k为正整数)时命题成立， 即a4=k+1,则当n=k+1时，a1=a-如4+1=(+1)2-(k+1)+ 1=k+2,命题仍然成立 综上，由①2可知，对于nEN,都有an=n+1 黑题 应用提优 1.D解析：根据数学归钠法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命 题成立， 结合本题，当n=1时，左边=2=2，右边=12+1=2,2>n2+1不 成立： 当n=2时，左边=22=4，右边=22+1=5,2>n2+1不成立： 当n=3时.左边=2=8，右边=32+1=10,2>n2+1不成立： 当n=4时，左边=2=16，右边=42+1=17,2>n2+1不成立： 当n=5时，左边=2=32，右边=52+1=26,2>m2+1成立 因此当n≥5时，命题2">n2+1战立.所以第一步证明中的起始值n阳 应取5.故选D. 2.D解析：依题意，某个命题与整数n有关，若n=k(keN)时该命 题成立，则可推得当n=k+1时该命题也成立所以，若n=2时该命 题成立，则n=3时该命题成立，这与已知条件矛盾，所以n=2时该 命题不成立故C选项错误，D选项正确 由于n=3时该命题不成立，故无法判断n=4时该命题是否成立，A, B选项错误综上所述，D选项正确.故选D. 3.BC解析：由题意可知，若p(n)对n=1成立，则p(n)对n=1,3,5, 黑白题069 7…所有正奇数都成立；若p(n)对n=2成立，则p(n)对n=2,4,6, 8…所有正侗数都成立故选BC 4.B解析：①当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，即n=1时，等 式成立： ②假设n=k(k≥1，k∈N·)时，等式成立，即1-2+3-4+5-6+…+ -=(-(安)月 则当=k+1时，1-2+3-4+5-6++(-1)“1k+(-1)2(k+1)= 4 (-1(仔+)+(-)(+)=+(-)(+1号 兰）+(-1)（合些）即当a1时，等式成立 综上，由①②可知，对任意neN”,等式1-2+3-4+5-6+…+ 5.2二解斩：由题意可知251=25+5当n=1时，5=2n=2 3 2-1 7 时，25=2S1+82=28= 4,分别为1=2-3221 21-1'2 227, 子品想当≥1时及故答案为别 2-1 6.36解析：f(1)=36,f(2)=108,(3)=360,都能被36整除，猜想 代n)能放36整除 ①当n=1时八1)=36是36的整数倍. ②假设当n=k时，（)=(2k+7)·3+9是36的整数倍，即f(k)= 36p(peN"). n=k+1时k+1)=(2k+9)·31+9=3(2k+7+2)·3+9=3(2k+ 7)·3+2·31+9=3[(2k+7)·3+9]+2·31-18=3(k)+ 18(3--1), 由假设f(k)是36的整数倍，又31-1是偶数，18(3-1-1)是36的 整数倍，所以f代k+1)是36的整数倍， 综上，由①②可知，对一切正整数nJ(n)是36的整数倍，即f八n)能 被36整除， 而f代1)=36，所以36是最大的数，即m■36.故答案为36. 7.(1)解：由题可得{a,}是公差为d=2的等差数列，设{an1的首项为 a1,因为S3=9,则3a1+3d=3a1+6=9→a1=1.则an=a1+(n-1)d= 1+2(n-1)=2n-1. 回运期：由0)得么则或子×子 1 6**2-1 5 2n 当=1时，左边=6=宁，右边=2以1宁，左边=右边，照不等 式成立 当2时，左边%+地=宁受子右边=3兴 3 161 11 16 边>右边，原不等式成立； 假设当n=k(k≥2，keN)时，不等式成立，则51+b,b+b,b6++ 61b26…61≥(+1)· 八 当n=k+1时，b1+bb2+b1bb3++b1bbg…b+b1b263…bb1≥(k+ I)·（）广-1+66…boa -6+(）广≥0（≥2.eN).则+66 b1b,b+…+b,bb3…bu+b1b2by…bb1≥(k+2)· ()）”4，即 当n=k+1时，原不等式也成立 综上可知，b1+61b2+b162b3+…+bb2b…bn≥(n+1)· (2广-1 选择性必修第一册·SJ 8.解：猜想凸n边形的对角线的条数f(a)=子a(a-3)(n≥3， neN·). 证明：①当n=3时3)=2×3x(3-3)=0,凸三边形没有对角线， 命题成立 ②假设当n=k(k≥3，且k∈N·)时命题成立，即凸k边形的对角线 的条数)=之(-3)(3，且keN 当n=k+1时，(k+1)边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了 一个顶点A1,增加的对角线是顶点A+,与不相邻顶点连线再加上 原k边形的一边A:A1,增加的对角线条数为[(k+1)-3]+1=-1, *10=(-3)+-1(-620=7(*10-20 2+)[(k+1)-3].则当n=k+1时，命题成立猜想正确 综上，由①2可知，凸n边形的对角线的条数n)=2n(n-3)(n≥ 3,m∈N) 专题探究05数列通项公式的求解 黑题 专强化 1.C解析：因为a1=an+n,所以a,=a+n-1(n≥2)，又a1=1,利 用累加法，有am=(a.a)+(a-1-am2)+…+(a2-a1)+a1=(n 1)t(a-2)++11=a-1+)(a-》+1=-a+2故选C 2 2 2.21-2解析：因为a1-a=21,所以an-a1=2”,a1- 8-2=2,…,4-a2=23,2-a1=22,累加可得a。-1=2”+21+ +2+22,又a1=2,所以4。=2”+21+…+23+2+2= 2(1-2）=21-2故答案为21-2 1-2 3.B解折：因为a1= 学品略分名÷ a1y04 n(a+i万又a=1, 13云5石品所以2 2 2 所以a,nD,经检验n1时a,“n也成立，所以a, na中万放选a 2 4.4,=2学解斩：因为a,=2”01,≥2，所以2=2，==2， 0-1 Gx-2 r2=22, ,=2,累乘得品.=.2.…. da-3 d-1 da-2 da-3 2”2.22.…·2,n≥2，aeN,所以8.22山。 22学，m≥2，n后N,由于4=1，所以a,=2n≥2，n后N”,显 a2+m-2 然当n=1时，4=1满足a=2学所以a=2学后N°，故答 24-2 案为4.=22 5.C解析：因为a1=2a,+3,则a+1+3=2(a.+3),且a1+3=4≠0， 可知数列1an+3引是以首项为4，公比为2的等比数列，所以a,+3= 4×2-1=21,即a,=21-3,所以，=20-3.故选C 6.B解析：因为a1=4a。-12n+4,所以a1-4(n+1)=4(a。-4n).因 为a1=4,所以a1-4×1=0,故{a。-4n为常数列，所以&。=4n.由 a=4k=2024,解得k=506.故选B. A解析：因为a4=了，a1=(neN),易知a,≠0，所以 14a.+1 datl 4+,即=4，又号所以=3，故 1 0 ntl a。 11 是以3为首项，4为公差的等差数列，则上=3+4(n-1)=4n (a。 黑白题0704.4 数学归纳法 白题 基础过关 限时：45min 题组1用数学归纳法证明恒等式 题组2用数学归纳法证明不等式 1.(2025·福建莆田高二月考)用数学归纳法证 4.(多选)对于不等式m2+2n<n+2(neN), 明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),在验证 某同学用数学归纳法证明的过程如下： n=1成立时，左边所得的代数式是 ①当n=1时，√1+2<1+2，不等式成立： A.1 B.1+3 ②假设当n=k(neN)时，不等式成立，即 C.1+2+3 D.1+2+3+4 √/k2+2k<k+2,则当n=k+1时， 2.用数学归纳法证明1- 1,11 1 234 2n-1 /(k+1)2+2(k+1)=WK2+4k+3< 11,1 1 +…+(n∈N),则从k到k+1 /(k2+4h+3)+(2k+6)=√/(k+3)2=(k+1)+2. 2nn+1n+2 2n 故当n=k+1时，不等式成立， 时左边添加的项是 ( 则下列说法错误的是 ( 1 1 A.2k+1 B. A.过程全部正确 2k+22k+4 B.n=1的验证不正确 1 C.2k+2 D. 11 2k+12k+2 C.n=k的归纳假设不正确 3.设neN°，用数学归纳法证明(3×12+1)+ D.从n=k到n=k+1的推理不正确 (3×22+2)+(3×32+3)+…+(3n2+n)= 5.用数学归纳法证明不等式1+2+3+…+2"≥ n(n+1)2. 3-'(neN)的过程中，由n=k递推到n=k+ 1时不等式左边增加的项数为 () A.1 B.2 C.2-1 D.2+1 6.(2025·湖南师大附中高二期未)用数学归纳 法证明1+，」 1 23…t2- ,<n(neN,且n>l), 第一步要证的不等式是 7.(2025·福建莆田高二月考)用数学归纳法证 明1+1++， n+1n+23n+ >1(neN°). 选择性必修第一册，SJ黑白题092 题组3用数学归纳法证明整除问题 题组4归纳、猜想与证明 8.用数学归纳法证明“对任意偶数n,a”-b能 10.某个命题与正整数有关，如果当n=k 被a-b整除”时，其第二步论证应该是 (k∈N·)时该命题成立，那么可以推出 ( n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时该 A.假设n=k(k为正整数)时命题成立，再证 命题成立，那么 n=k+1时命题也成立 A.n=4时该命题成立 B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再 B.n=4时该命题不成立 证n=2k+1时命题也成立 C.n≥5(n∈N·)时该命题都成立 C.假设n=k(k为正整数)时命题成立，再证 D.可能n取某个大于5的整数时该命题不 n=2k+1时命题也成立 成立 D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立，再11.设数列{an满足a1=2,且a1=a-a.+1(n 证n=2(k+1)时命题也成立 为正整数) 9.用数学归纳法证明：当n∈N时，321+22能 (1)求a2,a,a4,并由此猜想出{an}的一个 被7整除 通项公式： (2)用数学归纳法证明你的猜想成立. 第4章黑白题093 黑题 应用提优 限时：35mim 1.用数学归纳法证明“2">n2+1对于n≥n。的正 5.在数列{a。}中，a1=1,Sn表示前n项和， 整数n成立”时，第一步证明中的起始值n。 且Sa,S1,2S,成等差数列，通过计算 应取 ( 51,S2,S的值，猜想Sn= A.1 B.2 C.3 D.5 6.已知f八n)=(2n+7)·3"+9,存在自然数m,使 2.某个命题与整数n有关若n=k(k∈N·)时该 得对任意n∈N°，都能使m整除f(n),则m 命题成立，则可推得当n=k+1时该命题也成 的最大值为 立.若n=3时该命题不成立，则有 ( 7.(2025·河南南阳高三月考)已知数列{a的 A.n=4时该命题成立 前n项和为S.,且S=9,an=an+2. B.n=4时该命题不成立 (1)求数列{an的通项公式： C.n=2时该命题成立 2）令6=0求证：6，+66：+6,66+… D.n=2时该命题不成立 3.(多选)如果命题p(n)对n=k(keN")成立， bb,6…6,≥(n+)·(经）广-l 则它对n=k+2也成立.则下列结论正确的是 ( A.若p(n)对n=1成立，则p(n)对所有正整 数都成立 B.若p(n)对n=2成立，则p(n)对所有正偶 数都成立 C.若p(n)对n=1成立，则p(n)对所有正奇 数都成立 D.若p(n)对n=2成立，则p(n)对所有自然 8.先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：求凸 数都成立 n边形的对角线的条数f(n) 4.现有命题“1-2+3-4+5-6++(-1)n=4 (-I)(仔+)neN,用数学归纳法去探 究此命题的真假情况，下列说法正确的是 ( A.不能用数学归纳法判断此命题的真假 B.此命题一定为真命题 C.此命题加上条件n≤9后才是真命题，否 则为假命题 D.存在一个很大的常数m,当n>m时，此命 题为假命题 进阶突破拔高练P12 选择性必修第一册：SJ黑白题094