4.2.3 第2课时 等差数列的前n项和(2)-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

第2课时 等差数列前n项和(2) 白题 基础过关 限时：45min 题组1等差数列前项和的函数特征与最值 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知 1.（2025·重庆一中高二期中)数列{a,}的通项 S3=-15. 公式为a.=3n-25,则当该数列的前n项和S。 (1)若a1=-7,求{a.}的通项公式； 取得最小值时，n的值为 ( (2)若对于任意neN”,都有S.≥S,求公差 A.9 B.8 d的取值范围。 C.8或9 D.7或8 2.等差数列{an}中，a1<0,公差d>0,S。为其前 n项和，对任意自然数n,若点(n,Sn)在以下 4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是 ( D 题组2等差数列前n项和的性质及应用 7.(2025·浙江金华高二月考)已知等差数列 3.(2025·山东青岛高二月考)已知等差数列 {an},前n项和为S。,若aB=-8,则Sxs= {an}的前n项和为S。,若a1=2,S3=S1,则Sg () 等于 A.200 B.100 C.-200D.-100 A.1 B.2 8.(2025·江苏南通高三月考)已知S。是等差 C.3 D.4 数列{an}的前n项和，若S4=12,S。=40, 4.(多选)(2025·吉林长春高二期中)已知等差 则S12= () 数列{a,}的前n项和为Sn,若S2a>0,S4<0, A.44 B.56 C.68 D.84 则下列结论错误的是 ( 9.(2025·江苏镇江高二期中)已知等差数列 A.数列{a,是递增数列 {an}的前n项和为S.,若Ss-So=1,则Ss的 B.a13>0 值为 ( C.当S。取得最大值时，n=13 A.4 B.5 C.6 D.7 D.lanl>lazl 10.(2025·河南郑州高二月考)已知等差数列 5.(2025·福建福州高二期中)若等差数列{an} {an}的前n项和为S.,若So=20,则asa6的 满足an+a18+a1g<0,a,+a0>0,则当n= 最大值为 () 时，{an的前n项和最小 A.2 B.4 C.6 D.8 选择性必修第一册，SJ黑白题080 1山.（多选)若等差数列{a.}的公差为d,前n项16.(2025·重庆八中高二月考)我国古代数学 和为3，记6，，则 典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛， n 预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六 A数列1b,是公差为2d的等差数列 十五人，次日转多七人，今有三日连差三百 人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官 B.数列{bn是公差为2d的等差数列 府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天 3 C.数列a,+b,是公差为d的等差数列 派出65人，从第二天开始每天派出的人数 比前一天多7人.已知最后三天一共派出了 D.数列1a,-小，是公差为了的等差数列 300人，则目前一共派出了多少天，派出了多 少人？” ( ) 12.(2025·河南郑州高二月考)已知等差数列 A.6天495人 B.7天602人 Q的前n项和为S,若7则 C.8天716人 D.9天795人 17.(2025·天津和平区高二期未)一个屋顶的 某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片 3 A. B.3 0. 10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦 片20层，共铺瓦片 块 13.（2025·福建龙岩高二月考)已知两个等差 重难聚焦 数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和 题组4与等差数列有关的数列求和 A._7n+45 B,且B。n+3 则」 9b5 ( 18.(2025·河南信阳高二月考) A.5 B.6 九)=产利用课本中推导等 C.9 D.11 14.苏教版教材变式在等差数列{a}中，S1。= 差数列前n项和的公式的方法，可求得 120,且在这10项中，奇数项的和与偶数项 f0asl2asG2) 的和的比值为3，则公差d 11 ( A.1011B.1012C.2022D.2024 题组3等差数列前n项和公式的实际应用 19.(2025·江苏南京高二月考)在等差数列 问题 an}中，a7=4,a1g=2ag 15.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简 称“神十八”，于2024年4月执行载人航天 (1)求{an}的通项公式： 飞行任务运送“神十八”的长征二号F运载 (2)设6，=，求数列b,的前n项和S na 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km, 以后每秒钟通过的路程都增加3km,在达到 离地面222km的高度时，火箭开始进入转 弯程序.则从点火到进人转弯程序大约需要 的时间是 () A.10秒B.11秒C.12秒D.13秒 第4章黑白题081 黑题 应用提优 限时：35min 1. 等差数列{a.}的前n项和Sn,若S。=1, 里：驽马初日行九十七里，日减半里：良马先 Sn-Sn=5,则Sn= ( 至齐，复还迎驽马，二马相逢.”则良马与驽马 A.10 B.20 C.30 D.15 日相逢.（用数字作答） 2.(2025·江苏苏州高二月考)已知等差数列 8.(2025·山东菏泽高二月考)记等差数列 {an}中，a1=-2022,其前n项和为Sn,若 0,6,的前n项和分别为S,7若) S2mS0=2012,则S@2 202210 A.2021 B.-2022 *3,则 2n+1 C.2024 D.-2023 设两数到=言定义品)片 9. 3.若S.是等差数列{an}的前n项和，Sg>S.(n≠ 8,neN),则 ( f2)+…+f(),其中neN,n≥2， A.ag≥0，a<0 B.ag>0,a<0 则S= C.ag=0,ao<0 D.as>0,ao=0 10.(2025·福建厦门高二月考)已知Sn是等差 4.已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈ 数列{a,}的前n项和，且a2+a,=40,S=70. N·),其中奇数项之和为140，偶数项之和为 (1)求S.: 120,则m= ( A.6 B.7 C.12 D.13 (2)若么，受求数列6的前A项和7并 5.已知等差数列{a.}的前n项和S.(n=1,2,3, …),若当首项a1和公差d变化时，a+a+a 证明T<径 是一个定值，则下列选项中为定值的是 A.S17 B.S C.Sis D.S14 6.（多选)(2025·重庆南开中学高三期末)设等 差数列{a.}的前n项和为Sn,公差为d,已知 a,<0,a,+aa>0,则下列说法正确的是( A.Sn的最小值为S, B.满足S>0的最小n值是14 压轴挑战 C.满足S.<0的最大n值是14 已知数列{a,}的通项公式为a,=ln-13引，若满 D》数列骨的最小项为第8项 足ata1+…+aip=m的整数k恰有2个，则m 可取到的值有 7.(2025·山东泰安高二月考)在我国古代著名 A.3个 B.2个 的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有 C.1个 D.不存在 良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百 二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三 进阶突破拔高练P 选择性必修第一册，SJ黑白题082a+8d=1 7解得故a,=2n-1 (a1+d=3 ld=2, (②)曲（)为人品要使山政等老数列.必须 6。.即2 32加移项得2m66t6-3 3+t1+12m-1+t 2m-1+43+t1+t(3+t)(1+r) 整理得m=3片因为m为正整数，所以1只能取23,5，当1=2 时，m=7,当1=3时，m=5,当=5时，m=4.故存在正整数1，使得 b1,b2,bn成等差数列. 4.2.3等差数列的前n项和 第1课时等差数列前n项和(1) 白题 基础过关 10×9 1.B解析：So=10x2+ ×2=110.故选B. 2 2.D解析：由数列1an为等差数列，a+a4=8,a=3,得 a,+9=8解得-5所以n=+19a=38,所以5 (a1+4d=3. d=2, 20(a1+a20） =280.故选D. 2 3.D解析：设等差数列{a。|的公差为d,则由题意得 (a1+a1+5d=19, 0a=0,将得2.所以8受310m放 la1=2, (d>0. 选D. 4.-5050解折S,=（,)严_-1+1-2nn。-2,故。-n,数列 2 2 (}的前10项和为-(1+2+3+…+10)=-1+10)×100 (n 2 -5050,故答案为-5050 5.AC解析：由4,5，马=21可得65解得 (7a1+21d=21, a1=1, 故A正确，B错误，a2+a2=2a1+12d=10,C正确，So= d=3 10a1+45d=40,D错误.故选AC 6.A解析：由等差数列前n项和公式S=+n,Dd(n日 2 N·),253=352+6可得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6→3d=6→d=2故 远A. 7.C解析：因为So-S。=ta+a,ta1o=2(a1+a16)=6,所以a1+a16= 3,则S6-@t0s)x76 =24故选C 2 8.A解析：设|a,的公差d,由41+a3=6,55=53+11得 2a1+2d=6, 5a1+10d=3a1+3d+11, 新化所以，18g则 ld=1, n2 3n +822+8 n+38 “22 ≥2√分号号当且仅当 n=4时等号成立故选A. 9.B解析：由 S.mm-Dicn. 作差得(a-m)a+(a-m)· d (a+m-l)=m-,所以a,+2(m+n-l)=-1,5an=(m+n)a+ (mia)(ta-Dj-(ma)(m-1)-(mn). 2 选择性必修第一册·SJ 10.4解析：设等差数列a的公差为d,则由a1≠0，a2=31可得， d=2a,÷sn .2n(ata）。 2[2a1+(2n-1)d] n(aita) 2a+(n-1)d 2[2a1+(4n-2)a1]_2x4n.4,故答案为4 2a1+(2n-2)a12na1 11.A解析：当n=1时，a1=3:当n≥2时，“，=S,-S1=n2+2n (m-1)2-2(n-1)=2m+1.又因为41=3满足上式，所以a.=2n+1.放 选A 12.A解析：由题意S.=2n2+n+A+1是等差数列{a,|的前n项 和，S1=2(n+1)2+(n+1)+A+1,a1=51-S,=4n+3,an= 4a-1)3=41=3,其前n项和为8=22n,显 然A+1=0,A=-1.故选A 四重难点拨 当d≠0时，等差数列a。的前n项和S。的一般形式为没有常数项 的二次函数，即S,=An2+Bn. 13.2024解析：由于数列1a.的各项均为正数，即an>0,当n=1 时，251=a1a2,即2a1=a142a2=2当n2时，由28=a。a1,可 得2Sn1=a1a,两式相减得2an=a.(a1-an-1）.又，a。≠0， 0+1a-1=2,a2n}为一个以2为首项，2为公差的等差数列， 02m4=2024.故答案为2024 四易错提醒 利用作差法将3.转化为a,时要注意：a,严{5，-51，≥2， S1,n=1, 即需要 对n=1和n≥2两种情况分类讨论，并判新两种情况是否可以进行 合并 第2课时等差数列前n项和(2) 白题 基础过关 1.B解析：a,=3n-25,a1=-22<0,公差d=3>0,且数列引an单 调递增若数列a,的前n项和S,取得最小值，则得≤0，即 a1≥0， (3n-25≤0. 25 (3(n+1)-25≥0. 解得子≤n≤气neN,则n=8,一数列a, 的前n项和S。的最小值为S.故选B. 四重难点拨 求等差数列1a。的前n项和S。最值的方法： (1)通过判斯：。的正负来确定最值： ①当d少0时，Sn有最小值， 若a1≥0，则S.的最小值为S1 若a1<0,则通过解不等式组0≤0，确定3.的最小值5特别地， （a+1≥01 若a1=0,则S,的最小值为S和S1i ②当d<0时，S。有最大值， 若41≤0，则S。的最大值为51： 若a1>0,则通过解不等式组≥0确定3的最大值S特别地 (ak1≤0 若a1=0,则S。的最大值为S.和51 (2)通过二次函数的性质判断最值： 及m:子一（白-受），可以摄据二次面发的性质 来确定S。的最值，但是要注意n@N” 2A解折：由等差数列前a项和公式得，8=号+（色受），因 为a1<0,d0,所以号>0，函数、的图象开口向上，排除C,D 令5=0，得n=0或n=d 20,排除B,故选A 黑白题060 3.B解析：由题意得，因为a1=2,S=S1,所以由等差数列的前n项 4 和公式，得3a+3d=21a,+2101,解得d=23,所以S=23a,+ 292=232+231x(若）-2放选取 4 4.ABC解析：等差数列|a,的前n项和为S。,S=23aa>0,所以 a2>0,S4=l2(an+ag）<0,所以a2+a3<0,所以au<0且1al> 1a2l,所以等差数列1a,}是递减数列，且当n=12时，S。取得最大 值故D正确，A,B,C错误故选ABC 5.18解析：由an+a1gta1g=301s<0,所以a1s<0.又因为an+a20=a1g+ ag>0,所以a19>0,所以当n=18时，{a.l的前m项和最小.故答案 为18. 6.解：(1)易知S3=a1+a+a3=3a2=-15,所以a2=-5.因为a1=-7,所 以公差d=2,得an=-7+2(n-1)=2n-9. (2)因为对任意neN”,都有S.≥S,所以S≥S,S6≥S,得ag≥ 0,d7≤0 由(1)知2=-5，所以4g=a2+6d=-5+6d≥0，，=-5+5d≤0，解得 合≤de1,即公差d的取值范周为？≤d长1 7.C解析：S5 25(a1+as).25x2ae=25aB=-20.故选C 2 2 四重难点拨 对于等差数列{an|,其前n项和S.的性质有： DS2-1=(2n-1)anS=n(atati)i ②S。,S2.-S。,Sn-52a,成等差最列，公差为n2d ③侣}成等老数列，公差为子： ④若0，，6，为等卷数列，前m项和分别为3和T,若 T。 0。k(2n-1)+41 则（2m-1) 2n+2 ⑤带项载清21，测545=a-(50)老项货为2 S%_4(5专0) 则54-5t-nds有a 8.D解析：由题意可得S,S。-S,S2-S成等差数列，所以 2(8g-54)=54+52-S因为54=12,5，=40，则56=12+512-40，解 得512=84故选D. 9.B解析：等差数列1an}中，由Ss-S1o=1,得1=a11+a12+a3+a14+ a5=5ag,解得ag=5,所以Ss=25ag=5故选B. 10.B解析：a,}是等差数列，则So=5(a5+a6)=20,则a5+a6=4,要 使得a,最大则5>0,4>0，此时，≤（色空）广=4，当且仅 当4=a6=2时取等号.故选B. n(a,tan） 1.AC解析：由已知可得6。-S 2 aa,对于A,B 2 滋项或二”业号所以数到1是公 2 2 差为了的等差数列，A对，B错： 对于C选项，(a1+b1)-(a,+6n)=(aa1-an）+(61-b.)=d+ 兰-兰所以数列a收是公是为子的等是黄路C动： 对于D选项，(a1-bi)-(a,-6.)=(a1-an)-(b1-bn)=d 兰兰所以数列，4是公差为宁的等洗数列，D情 故选AC. 12,C解析：由题意设S3=31,则S6=7.因为{4，|是等差数列，所 参考答案 以53,5品。-53,5-56,52-S,也成等差数列，所以8，-56=2(71-3) 3=5,解得5，=12,512-5，=2(12-7)-4=6e,解得S2=18,所 以_18-3故选C Sy122 13.C解析：因为等差数列{an|和1b,}的前n项和分别为A,和B。, 且。=，所以= 2(ata) 2(ata) Ag B。 ,) 是4) Bo 7×9+45 =9.故选C 9+3 5备+5a=120 14.2解折：由S连 得=55所以S-5*=5d=10,所 513' (Sw=65, 以d=2故答案为2 15.C解析：设每秒钟通过的路程为数列{a,I,由题意可知1an}为等 差数列，则数列首项a1=2,公差d=3,所以a。=a1+(n-1)d=2+ (a-1)×3=3n-1,由求和公式得S.=a(a）.n(3a-1+2 2 222,解得m=12.故选C 16.B解析：设第n天派出的人数为a。,则{an}是以65为首项，7为 公差的等差数列，且41a2+a3=216,a-2tar1ta,=300,41ta。= 304216=120.=107n=7+1=7(天)，则目前派出的人 3 7 7(a1ta7） 数为S,= =602(人).故选B 2 17.390解析：设第n(n≤20，neN)层铺了an块瓦片，S.为a,}的 前m项和，由题意可得41=10，且4，为公差为1的等差数列，则 4,=10+(m-1)=n+9,5=10420+9)×20-390.故答案为390 2 重难聚焦 2x 2x.2(1-x)2x 18.D解折武)2x二故代)+1-)2x-121-2x-1 2放(s)(）-2(s)小（器）-2 2x-1 ,记8(）小（品）小(8）则s (传8)()+(20a）,故2s=【V(a)）片 器)小(s)(器)小+(2器) f(30as)]小-2204，所以s=224,即/(20s)(2a5 器 =2024.故选D. 19.解：(1)设等差数列1a的公差为d,则a,=a1+(n-1)d,因为 =4所以a+6d=4 (a1=1, 解得 1所以{a,的 la19=2a0. (a1+18d=2(a1+8d), d=- 2, 通项公式为4，= n+1 (2)因为6，=1 2 (层号…（任品） 黑题应用提优 1.A解析：由等差数列{a」前n项和为Sn得Sn,S2-S,S。 S,S-Sn成等差数列，设公差为d,则Sn-Sn=S。-Sn+Sm Sn=8n+2d+Sn+d=2S。+3d=5→d=1,故S4u=Sn-Sm+s3n-S2n+ S2-S,+S=45.+6d=10.故选A 2.C1 解析：在等差数列1a.中，a1=-2022,其前n项和为5， 黑白题061 5e80=2012, 20ma,+2022x202L410a1+10x94 2 2 202210 2022 10 1006d=2012,解得d=2,则S2m4=2024a1 2023×20244=2024× 2 （-202)2023x2024x2=2024.枚选C 2 3.B解析S,>Sn(n≠8，neN),Sg>S,S,-S,=a,>0, 六S>SgS,-Sg=ay<0放选B 4.A解析：项数为2m+1的|a。中奇数项共有(m+1)项，其和为 (m+1)(a,+a2_(m+1),2aul=(m+1)a1=140.项数为2m+ 2 1的“，}中偶数项共有m项，其和为m(a+0).m·2a。 D所a-惯解得6黄猛人 2 md+l 5.C解析：由等差数列的下标和性质可知a+ag+a1=3ag,因为a+ a是-个定值，所以4，为定值由31-2a-)(ato2 (2n-1)an,可知S5=15ag是个定值，放C正确；S1,=17ag,S1w= 18a=9a,tan.5u=14an=7a,+,),放A,B. 2 2 D错误故选C. 6.ABD解析：由a,<0,a+a>0可知a1<0,d>0,ag>0.对于选项A:由 a1,42,“,47为负，g,ag,…为正可知，S,最小，A正确对于选项 B:S3=13a<0,Sw=7(a+a)>0,则满足S,>0的最小n值为14， 满足S,<0的最大n值是13，故B正确，C结误对于选项D:由1， a2,41为负，ag,ag,…为正，且S,S2,,S为负，S4,Ss, 为正可知8…为负.考虑到1S1>131>…>1Sl,1a,1< a“a a1,放最大，即之最小.D正确放Am a8 7.9解析：由题可知，良马每日行程a。构成一个首项为103，公差为 13的等差数列，驽马每日行程b。构成…个首项为97，公差为-0.5 的等差数列，则a.=103+13(n-1)=13n+90,b。=97-0.5(n-1)= 97.5-0.5n,则数列la.}与数列{b.|的前n项和为1125×2=2250. 又：数列a,的前n项和为宁×(103+13n+90)=宁×(193+13a), 数列6，的前n项和为号×(97+97.5-05n)=2×(194.5 之分×(193+13a)+分×(194.5-之）-2230，整里 1 得25n2+775n-9000=0.即n2+31n-360=0.解得n=9或m=-40 (舍)，即九日相逢故答案为9. 8.9解析：设a=n+h,山，=n+b,(,南，，49∈R),则3。 n(aita,)n(kn+k+2b1 2,.a,）.aa+2,故 2 2 2 2 S。k1n+k1+2b12n+1 k2 1 =2.故 2沙3则222冰写具 子662%则an成+故 45令19故答案为 19 181 9号解折：对于函数到=子+言有高 >0，即无<0，解得 x-1 0<<1.对任意的xe(0,1),1-x∈(0,1)，则f(x)+f(1-x)=2 ®安分+：是1因为8f(日)+（只）小+ ()厮以2=()(g)]+[(层) 选择性必修第一册·SJ /(g)]小…V()(日)门小a-1.因此8学故答 案为号 10.解：(1)设等差数列1a。1的公差为d,则由题意得 (a1+d4a1+6d=40, 5×4即{2a14解得}”放a=6+( ld✉4， 1)x4=4n+2,故8=6+n+2)n=2n2+4n 2 ②（)得6元222（什）五=号( 22111 111.11 .1、11 111 1(3111311.1)3 z（2m+1n+2厂42(n+1n+24 压轴挑战 A解析：当k≥13时，a4+a1+…+@+19=(k-13)+(k-12)++(k+ 6)=20-0=m,解得="0此时保证等式成立的每个m值，只有 个k值，不符合题意；当0<k<13时，au+a1+…+a4+i9=(13-k)+ （12-6+…1+0+1++(k+6)=13-14-2++7)(k+6=2- 2 2 7k+112=m,即2-7k+112-m=0,若整数k恰有2个，则首先49- 12-m)≥0，解得m≥设该方程有两实数根k,k,则名+场3=7 若=6=35.显然不合题意，则与6，则m心婴若=1,6=6，此 时12-m=6,解得m=106,满足m心四符合题意：若6=2.6=5，此时 112-m=10,解得m=102.满足m> 四符合愿意：著=3,6=4此时 12=2,解得a=10,清足m>沙，符合怎意，放m可取到的值 有m=106或m=102或m=100.故选A 4.2阶段综合 黑题 阶服强化 1.AC解析：A选项，4n=m+b(k,b为常数，neN”),a1-an=k,所以 是等差数列，故A正确： B选项，“2a,=d(d为常数，neN),不一定符合从第二项起，相 邻项的差为同-个常数，如a,-=2+1,故B错误： (2(n-1),n=2k, C选项，418，(N),对于数列1a,的关系式符合等差 2 中项的形式，所以{a。「是等差数列，故C正确： D选项，前n项和S。=An2+Bm+C(A,B,C为常数，n∈N),则当 n≥2时，S-1=A(n-1)2+B(n-1)+C,两式相减得an=2n-A+B (n≥2)，当n=1时，a1=S,=A+B+C,当且仅当C=0时，满足上式，且 当C=0时，a1-an=24,此时a,}是等差数列，所以{a.}不一定是 等差数列，故D错误故选AC 2.B解析：设等差数列|an}的公差为d,由a1=-1,(a+a4)÷(a6+ a)=(a+2d+a1+3d):(a,+5d+a1+6d)=(5d-2):(11d-2),得 (5d-2):(11d-2)=2:5,则22d-4=25d-10,解得d=2,所以 a2m4=a1+2023d=4045.故选B. 3C解析：a.是等差数列，3.m(aa 2 -=0-a1=-a.= -(Sn-S-1)=-2,am=2又aa*1=Sm+1-Sn=3,公差d=aa1 am=1,3=am1=a1+m=-2+m→m=5.故选C. 人人湘指：在子：品中取5相会号做曾受 n2 心aa地，所以尝-子故选人 黑白题062