1.5.1 平面上两点间的距离-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面上两点间的距离公式及应用 7.(2025·江苏扬州高二期中)已知△ABC的顶 1.(2025·江苏常州高二期中)已知A点坐标为 点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上 (-2,1),B点坐标为(3,4)，以线段AB为直 的中线长为 ( 径的圆的半径是 ( A.4 B.5 C.3√2 D.4√2 A.4 B.34 8.(2025·江苏徐州高二月考)直线1分别交 G.34 x轴和y轴于A,B两点，若M(2,1)是线段AB 2 D.2 的中点，则直线（的方程为 ( 2.(多选)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距 A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0 离等于2的点的坐标是 ( 9.(2025·广东广州高二期中)已知两点A(0,4), A.(-4,5) B.(-3,4)》 B(2,-2),直线L1为线段AB的垂直平分线， C.(-1,2) D.(0,1) 则直线！，的方程为 :直线(，与 3.(2025·广东汕头高二期中)点A(2,-4)到直 坐标轴所围成的三角形的面积为 线l:mx-y-4m-8=0(m为任意实数)的距离 重难聚焦 的最大值是 题组3平面上的对称问题 A.5 B.25 10.(2025·江苏盐城高二期中)已 C.4 D.5 知直线1：2x-y-6=0,则点 4.（多选)(2025·山西朔州高二月考)已知点 M(1,1)关于直线l的对称点N的坐标为 A(-2,-1),B(2,2),直线1：ax+y+3a-3=0上 存在点P满足IPAI+IPBI=5,则a的值可 A.(-1,5) B.(5,-1) 能为 ( C.(-5,1) D.(1,-5) A.-2 B.0 11. 已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1) C.1 D.3 关于点(3,4)对称，则ab= 5.(2025·江苏常州高二月考)若直线1：2x+ A.-5 B.14 3y-1=0与l2:x+ay+2=0在第二象限相交于 C.-14 D.5 点A,且点A到原点的距离为2，则a的 12.(2025·山东淄博高二期中)已 值为 知点P(1,4),Q(6,3),直线1： 题组2中点公式及应用 x+y-3=0,M为直线1上一动点， 6.在平面直角坐标系x0y中，设点A(3,-2), 则1MP1+IMQ1的最小值为 B(-1,4),则线段AB的中点坐标为( 13.(2025·江苏南通海门中学高二月考)直线 A.(1,1) B.(-2,3) 11:3x-y-3=0关于直线12：x+y-1=0的对 C.(2,2) D.(2,-3) 称直线方程为 选择性必修第一册，SJ黑白题010 黑题 应用提优 很时：35min 1.直线1与直线y=3x关于直线y=x+1对称，6.（多选)(2025·河南周口高二月考)已知点 则直线！的倾斜角是 A(3,3)和B(4,-2),P是直线1：x+y+2=0上 A日 B. 的动点，则 6 A.存在P(1,-3),使1PAI+IPB1最小 c D B.存在P(-1,-1),使IPAI-PBII最小 C.存在P(5,-7),使IIPAI-IPB1I最大 2.(2025·广东东莞高二月考)已知A(x1,y1), B(x2,y2)是直线y=2x+m上的两点，若 存在P(（分，)，使IPI+1Pa最小 D. 1AB1=5,则1x2-x11= ( 7.(2025·江苏南京高二月考)已知A(0,2), A.5 B.25 B(1,0),C(1,0),点D是直线AC上的动点， C.10 D.5 若AD≤3BD恒成立，则正整数t的最小 3.(2025·山东青岛高二月考)过点P(3,0)作 值是 一条直线1，它夹在两条直线1：2x-y-2=0和8.(2025·山西阳泉高二月考)在△ABC中， 12:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直 A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线方程 线1的方程为 为7x+4y-46=0,边AB上中线CM所在的直 A.8x+y-24=0 线方程为2x-11y+54=0. B.8x-y-24=0 (1)求点C的坐标 C.8.x+y+24=0 (2)求直线BC的方程 D.x+8y+24=0 (3)在线段AC上是否存在一点F(点F不与 4.(2025·河北石家庄高二期中)若第一象限内 点A,C重合)，使得BC=BF?若存在，写 的点(a,b)关于直线x+y-4=0的对称点在直 出点F的坐标：若不存在，请说明理由。 线x+3=0上，则3+的最小值为 ( a b A.1 B.4 C.10 D.16 5.(2025·江苏无锡高二月考)数学家欧拉于 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首 次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次 位于同一直线上，且重心到外心的距离是重 心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之 为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为 A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角形的欧 拉线方程为 宁月 11 B.y=2+6 C.y=-2x+10 D.y=2x-10 第1章黑白题011m×2+4×(-5)=0, m=10. 5.B解析：由题意可知{m+4p-2=0, 解得a=-12,故-m- 2-5p+n=0, p=-2, p=-20.故选B 6,BD解析：根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一 个点：当11，平行时可得a=-1,此时不合题意，因此a≠-1：当2 3平行时可得g=2,此时不合题意，因此a≠2：联立41,6，即 2=1=0解得交点坐标为(0,1).因此(0,1)不在h:2红+*四+ (x+y-1=0. a-2=0上，即可得+a-2≠0，因此a≠1：所以若三条直线围成一个 三角形，只需a≠-1且a≠1且a≠2即可.放选BD. 四易错提醒 三条直我能围成一个三角形应满足：三条直线两两不平行且不交于 一点，解决此类问题时，需要考虑全而，必要时可借助图形帮助理解， 7,AC解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.，直线x- y+1=0和直线2x+y-4=0不平行.直线x-y+1=0和直线r y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线x-y+2=0平行.：x-y+1=0 的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2，r-y+2=0的斜率为a,∴a=1 或：=-2时，两直线分别平行且不重合，符合题意.故选AC. 息-412=0知指：联立直线仁0.每得6则其交位 为(4.0).因为直线1与直线y=子+1平行，所以设直线1的方程为 3 +6(b1),将点(4,0)坐标代入，得=-3直线1的方程为 3 y=43,即3x-412=0,故答案为3江-4y12=0 9,解：(1)由题图知∠0AB=120°，则直线AB的倾斜角为60°，直线AB 的斜率kw=V3,点A的坐标为(4,0).所以直线AB的方程为y= 3(x-4).即W3x-y-4W3=0. (2)因为0C∥AB,所以直线OC的方程为y=√3x,IOA1=1AB1= 4.侧直线0B的颜斜角为0，斜率m-.直线0B的方程为y v 5 3 解得=6，即点6.25).又BC10B, y=2w3. 3x-y-43=0, 则有直线BC的斜率=-3，因此直线BC的方程为y-23= -5(x-6),即=-3+8w3.由5， 解得任=4，所以 y=-3x+8v3 y=4/3. 点C的坐标是(4,4) 1.5平面上的距离 1.5.1平面上两点间的距离 白题 基础过关 1.C解析：由题意知.1ABI=/(-2-3)+(1-4)=√34，以线段AB 为直径的圆的半径是子1=，故选C 2.BC解析：设所求点的坐标为(a,1-a),则√(a+2)+(1-a-3)= √2.解得a=-3或a■-1.所以所求点的坐标为(-3.4)或(-1.2).故 选BC. 3.B解析：将直线方程mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x-4),令 一40解得4。由此可得直线1恒过点（4，-8)，不妨设为 ly+8=0. (y=-8. B(4,-8),所以点A到直线I的最远距离为1AB1,此时直线1垂直 于AB.又1AB1=√(2-4)2+(-4+8)2=25，所以点A到直线1的距 离的最大值为25.故选B. 4.CD解析：如图，：ax+y+3a-3=0变形为y-3=-a(r+3),故直线1 过定点C(-3,3),且斜*为-a.义14B1=/(-2-2)2+(-1-2)=5, 要想直线1：a+y+3a-3=0上存在点P满足1PA1+1PBI=5,即1：r+ 选择性必修第一册·SJ +3n-3=0与线段AB有交点，因为kc= 3-2 -3-2 4故e【] 5k=-3=(-2 解得ae[片小故C,D满足要求A.B情视 故选CD, 5.-1解析：由题意知两直线不平行，故a≠ 之，联立4：2+3y-1=0 3 a+6 与2：x+y+2=0.解得 2a-3 -5 因为点A在第二象限，故+6 y2a-3 2-3c0. -5 3 n+6 -5 2030,解得-6<a<2,由题意符 2a-3 2a-3 =2 解得。一1或号（合去）.放a-1故答案为-1 6.A解析：由题可知中点的坐标为(1,1)，故选A 7.B解析：设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5.4),所以D(4,1) 所以C边上的中线长1AD1=√(4-0)+(1-4)=5.枚选B. 8.C解析：由题意.设A(a.0).B(0.b).因为M(2,1)是线段AB的中 (a+0=2 2 点，则 解得a4所以A4.0),B0,2),则直线1的方程 0+6 1b=2. 2 =1. 为行子=1，即+24=0.故选C 9.x-3y+2=0 3 解标：松的中点标为(2号）-1， -3，故直线4的斜率为了，故直线4的方程为一1=(： 4+2 2 1),即x-3y+2=0-3y+2=0中，令x=0,得y=子，令y=0,得 =-2.故与两坐标辅的交点坐标分别为(0，号）和(-2.0)，故直 线4与坐标轴新所调皮的三角形的面积为宁子1-21=子放答案 12 为x-3+2=0:3 2 重难聚焦 10B解折：设a,6.则v中点户（宁兮）且n 由M,N两点关于直线：2x-y-6=0对称，且k=2,则 2x- 1-1 e2o 公1，即N5-.故选B 四方法总结 已知点P以x0o)关于直线：+y+C=0的对称点Q(a,b),则： ①PQ的中点 xnta yo+b 22 在直线1：Ar+By+C=0上： ②PQ所在直线与直我I:A+B+C=0垂直 11.C解析：因为两点P(a,-b)与(b+1,a-1)关于点(3.4)对称.可得 (atb+L-3 2 即h怎5解得=7，所以b=7x-2》=-14故选C -h-1 a-b=9. 1b=-2, =4, 2 四重难点拨 点关于点的对称问本质上是对中点坐标公式的考查 黑白题006 12.52解析：设P关于1的对称点为P。(xa,%),则 p+l yo+4 223=0 解得l即P,（-1,2.因为1WP+ yo-4 (y0=2, 1MQ1=IMP。1+1Q1≥1P。Q1,所以IP1+1MQ1的最小值为 1PQ1=√(6+1)2+(3-2)2=52.故答案为52. 13.-3-1=0解析：设直线，关于直线2对称的直线为，由 b点0在直线上 在直线(1上取一点A(0,-3).设其关于直线，对称的点为 A'(m,）, n+3 01. 则 m+0n-3 解得m=4即4r(4,1）心直线与的方程为 n=1, 22 -1=0. 即1=0故填31=0 黑题 应用提优 1.B解析：直线y=3x的倾斜角为于，直线y=+1的倾斜角为日 则直线y=3x与直线y=x+1的夹角为开-开=可设直线1与直 3412 线=+1的夹角为a,则。=5所以直线1的顿斜角为？吾 石放适B 2.D解析：由题意得：A(x1,y,),B(J2)是直线y=2+m上的两点。 则1=2：+m,为=2x,+m,若1AB1=5,则(2-1)2+（力-力）2= 1AB12,即(x2-x1)2+[(22+m）-(2x1+m)]2=52,则5(2-1)2= 52,则(x2x,)2=5,故1x2-1=5.故选D. 3.B解析：直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=3,不符合题 意：所以直线！的斜率存在，设为k.则直线1的方程为y=(x-3),联 3-2 x= 立直线1.1得 (y=k(x-3), -2 联立直线1.得 12x--2=0 4k -2 「3k-3 I= y=k(x-3). k+1 所以直线！与直线41,2的交点为 (x+y+3=0 -6k y=kI' (偿告)-(）)又直线夹在两条直线和6之铜 的线段拾被点P平分，所以-3,3-36 4k-6k -2+6-2 =0,解得k=8, 所以直线1的方程为8x-y-24=0,故选B. 4.A解析：设点(x0,Jo)是点(，b)关于直线x+y-4=0的对称点，则 两点的中点在对称直线上且经过两点的直线与对称直线垂直，则 解得4点(0)在直线x+3y=0上. xa+a yo+b (yo=4-a. -4=0. 22 4r304-=0,每6=i6+g(日） 。(1兰）小将1，当且权当曾之即a64时取等 号.故选 5.A解析：由重心坐标公式可得：重心G(0+2,0+04）,即 3·3 c(子专）由40.0).8(5.0).可知外心M在的垂直平分线 上，所以设外心（三人因为1M1=1c1,所以 参考答案 4 45 即()a- 34 1 4 一2，故欧拉线方程为)了 = 32 6,ACD解析：如图.在平面直角坐标系中作出点A,B和直线I:x+ y+2=0,由图可知，点A(3,3)和B(4,-2)在直线1x+y+2=0同侧. 设点B(4,-2)关于直线1：x+y+2=0的对称点为B(x,y),则有 +4,+(-2)+2=0 2 2 解得=0得g(0.-6,1PA1+1Pg1= -(-2) 41, y=-6. 1PA1+IPB1≥1AB1.当且仅当P为直线AB与直线1的交点时 PAI+PB1有最小值AB"1,直线B的斜率为=3-6=3，方 3-0 程为y=3-6,由36，解得任，存在P(1,-3),即图中 （x+y+2=0. (y=-3. P,使1PAI+PB1最小，A选项正确：1PA1-PB1I的最小值为0，当 且仅当1PI=1PBI,即P为线段AB的垂直平分线与直线1的交 点，奶的中点坐标为c(仔子)）直线极的斜率为如 3-(-2.-5,则线段4B的垂直平分线方程为y2了( 11 3-4 3 x=- 子）即--1=0.由{仁20解得 2 存在 (x+y+2=0, P(})即图中，使P-四最小B选项错误： IP41-1PBI1≤AB1,当且仅当P为直线AB与直线1的交点时， I1PA1-PB1有最大值1AB,直线AB的方程为y-3=-5(x-3),即 18=0,山20解得化.存在P5,-7.即图中 P3,使1IPAI-PBI最大，C选项正确：设P(x,-x-2),IPAI2+ m=-(r2-3(4(22r=4） 0,当=时，P+1m2有最小值，此时y-子，所以作在 P(行，)即图中A使PI41P阳最小，D选项正确故 选ACD 四方法总结 ①定直线1上的一点P到定点A,B距高之和的最小值：作定点A关 于直线I的对称点A',使A,B在直线I异侧，A,P,B三点共线时取 最小值： ②定直线{上的一点P到定点A,B距离之差的最大值：作定点A关 于直线1的对称点4”，使A',B在直线I同则，A,P,B三点共线时取 最大值 7,4解析：由题意知直线AC的方程为y=- 2 x+2因为点D是直 线C上的动点，所以可设D(,子+2）因为A0≤，50，所以 黑白题007 (6兰）+15≥0对任意：恒成立，所以4=(6+兰） -4×15× (2+）≤0，化简得4=4 =8,24-7≤0.解得≥12+102或1≤ 7 12-102,结合：为正整数，得：的最小值为4，故答案为4 8.解：(1)因为AC边上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0,所 以m=子c=号又直线4C经过点A(-1,2).所以直线AC的 7 4 方程为)-2=7（+1).即4红-7y+18=0 联立解特8即点c66 Ly=6, (2)设B(a,b),由CM为AB上的中线，且A(-1,2).所以AB的中点 坐标为加（兮）义点W在直线x-+4=0上.房以2 n号40①， 又点B在直线BE上，所以7a*4b-46=0②. 联立①②解得a=2,b=8,即点B(2,8),又C(6,6),所以k= 8-61 2一62，所以直线BC的方程为)6=2(x6),即x+2-18=0 (3)存在.假设在线段AC上存在一点F(,%)(-1<o<6), 使得BC=BF,则有4xw-7y0+18=0), 由C=BF得√(6-2)+(6-8=√(x。-2)+(%-8)7④， 又-1<x0<6, 22 联立3④5解得。 46 o13 所以作在点F黄是葛意此时点F的全标为（侣治） 1.5.2点到直线的距离 白题基础过关 1.B解析：d山+1山_3二故选R 2 2 2.A解析：由题意.MP的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的距 离，即4=10x2+2-1.1.5 V255放选A 3.BC解析：由点P是x轴上的点，设点P(a,O),由点到直线的距离 公式可得13a+6.13a+61=6,13u+61=30.解得m=8或4=-12. √32+4存5 所以点P坐标为(-12,0)或(8,0).故选BC 3-1 4C解析：由题意可知：6a3-1.1AB1=-3+(3-: 22,可知直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0,可得点 C(-山，-1)到直线AB的距离d=--1-41=32,所以△ABC的面 积SAc2:1MB1=之X32×22=6故选C 5.AC解析：由题意知，“切割型直线“需满足点M(5.0)到直线的阻 离小于或等于4点M(5,0)到直线y-1=0的距离为15-=22< 4.故A符合题意：点(5,0)到直线y=5的距离为5>4，故B不符合 题意：点M(5,0)到直线4-3y=0的距离为120 5 =4,故C符合题意： 点(5.0)到直线2x-+1=0的距离为d=10+山_11 5 5>4,故D 选择性必修第一册·SJ 不符合题意.故选AC 解析：由题意可知直线1的斜率存在，设其为k,则方程为kx 15k-01 4,解得k=士子故答案为±了 4 4 y=0,由题意可得 R+1 7.A解析：平行直线41：x+y-1=0和12：x+y-3=0之间的距离d= 1-1+31 =√2.故选A 个2+12 8,B解析：依题意可得3m-4×6=0,解得m=8.则直线方程为6+8- 1=0.而方程3x+4y-3=0.即6x+8y-6=0.所以两条平行线间的距离 为4=1-6+11 上故选B v6+82 9.D解析：由题意可知.直线3x-4y+6=0与直线3x-4y+m■0平行. 所以m≠6因为直线3x-4y+6=0与直线3x-4y+m=0间的距离 为2.所以d= 16-m =2,解得m=一4或m=16故选D 32+(-4)2 10.2x++2=0解析：依题意设直线1的方程为2x+y+m=0(1<m<3). 则m-.m-3,即(m-12=(m-3),解得m=2,所以直线1的 5 方程为2x++2=0.故答案为2x+y+2=0 1.解：(1)根据题意联立直线，山方程5=0解得3不纺 12x+y-8=0, y=2, 收交点为A(3,2): 同理联立l3,山可得(2,4)，联立，l4可得G(-2,3),联立，4 可得D(-1,): 对角线交点坐标即为AC中点坐标，即 (2(分 即▣ABCD对角线交点的坐标为 ) (2)易知14D1=√(3+1)+(2-1)了=/7，点B到AD边的高即为 两平行线11,11之间的距离，即d= 114-51 -4厅污=17，所 以SARCD的面积为AD1·4=7x9T =9 17 黑题 应用提优 1.ABD 解析：由题意，得=2， 11+b+a=0 解得，3·故A.B正确 1b=2. 六(1.2)到直线-3x+2y+3=0的距商d=一=132.故 √(-3)2+27 C错误，D正确.故选ABD. 2.A解析：由3=412 68 5 可得两条直线相互平行，所以1N1最小 5 值为平行线之间的距离，6x-8y+5=0可化为3-4y+ -=0.所以两 5 12- 29 平行线之间的距离为 故选A. √32+4 10 四易错提醒 运用两条平行直线何的距离公式时，要把两直线方程中x,了的系数 化为相等。 3.B解析：设A(1,k红1+1)，B(,k2+1),期1x-21=2,1AB1= √(x,-+(,-2=2√1+，显然点C(0,3)不在直线 *1=0上.则△A4BC的边AB上的高有=-3+出 2 三，所以 √G2+12+1 △ABC的面积SAc=之AB·h=2故选B 4,B解析：由题意可知，当A.B在直线的同一侧时，可作两条直线，所 以若这样的直线有4条，则当A,B两点分别在直线的两侧时，还应 该有两条，所以2小于A,B两点间的距离.因为IABI= /(1-0)2+(63-53)2=2,所以0<2a<2,所以0<a<1,故选B. 黑白题008