1.2 充分条件与必要条件和全称量词与存在量词 讲义-2026届高三数学一轮复习

§1.2 充分条件与必要条件和全称量词与存在量词 目录 知识点一：充分条件与必要条件 2 知识点二：全称量词与存在量词及含有量词的命题的否定 2 考点1：充分条件与必要条件的判断 2 考点2： 含量词命题的真假判断与否定 4 考点3：常用逻辑用语的求参问题 6  根据条件关系求参数取值范围 6  根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数取值范围 9 【强化训练】 12 知识点一：充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p · 是的充分不必要条件（且⇏），与的充分不必要条件是（且⇏）两者是不同的. 知识点二：全称量词与存在量词及含有量词的命题的否定 1. 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有”、“任意”、“一切”、“每一个”、“任给”、“全部”等在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一个”、“某个”、“有些”、“某些”等在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 2. 全称量词命题与存在量词命题 （1） 全称量词命题：对中任意一个，成立，简记为:∀x∈M，p(x). （2） 存在量词命题：存在中的元素个，成立，简记为:. 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）命题：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0). （2）命题：，它的否定p：. 考点1：充分条件与必要条件的判断 方法提炼 充分条件、必要条件的判断方法： (1) 定义法：直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法：若，则是的充分条件，是的必要条件； 若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. 【例1.1.】 已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又也不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【例1.2.】 设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，， 所以，即是的充分不必要条件. 故选：A 【例1.3.】 已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又也不必要条件 【答案】A 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 【例1.4.】 在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 考点2： 含量词命题的真假判断与否定 方法提炼 含量词命题的否定步骤： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 常见词语的否定： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 含量词命题真假的判断方法 (1) 判定全称量词命题是假命题，只需举反例；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可． (2) 当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例2.1.】 命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 【例2.2.】 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则， 故选：B. 【例2.3.】 命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 【答案】D 【详解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为， 且，则， 所以，，即命题为真命题； 对于命题：因为， 所以方程无解，即命题为假命题； 故选：D. 【例2.4.】 已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【详解】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 【例2.5.】 已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 考点3：常用逻辑用语的求参问题 · 根据条件关系求参数取值范围 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题方法: (1) 根据有关性质和定理得到关于参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式来求解. (2) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (3) 等价命题法：原命题和逆否命题是等价的，逆命题和否命题是等价的，利用命题的等价关系转化，将复杂的命题简单化. 【例4.1.】 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得，即， 由可得，即， 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以(等号不同时成立)，解得， 故答案为：. 【例4.2.】 （多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 【例4.3.】 若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 【例4.4.】 设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，由，得， 解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是 由，解得， 即q为真命题时，实数x的取值范围是． 所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为． （2）由，得， 因为，所以，故p：． 若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件， 所以，解可得．故实数a的取值范围是 · 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数取值范围 方法提炼 含量词的命题真假求参数的方法： (1) 解决与全称量词或存在量词命题有关的参数取值范围问题，分离参数法是有效方法. (2) 将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）. 【例4.5.】 设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题为真， 则当时，能成立，即能成立， 所以． 故选：D. 【例4.6.】 命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 【例4.7.】 若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 【例4.8.】 若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若“，使成立”的否定是： “，使”为真命题， 即；令， 由，得，所以， 所以， 故选：C. 【例4.9.】 （多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 【强化训练】 1. 设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 命题，的否定为（   ） A．， B．， C．， D．不存在，使 【答案】B 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定为，. 故选：B 4. 命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数 【答案】B 【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”. 故选：B 5. “，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 6. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 7. 已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（   ） A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题 C．p和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【详解】由，可得或，则可以推出，充分性成立； 当时，或，故必要性不成立， 所以可得是的充分不必要条件，故p是真命题，则是假命题； 令，得到，化简得，解得或， 则“，”，故q是真命题，则是假命题，即和都是假命题，故D正确， 故选：D． 8. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 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(2) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (3) 等价命题法：原命题和逆否命题是等价的，逆命题和否命题是等价的，利用命题的等价关系转化，将复杂的命题简单化. 【例4.1.】 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【例4.2.】 （多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例4.3.】 若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． · 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数取值范围 方法提炼 含量词的命题真假求参数的方法： (1) 解决与全称量词或存在量词命题有关的参数取值范围问题，分离参数法是有效方法. (2) 将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）. 【例4.5.】 设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【例4.7.】 若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【例4.8.】 若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.9.】 （多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 命题，的否定为（   ） A．， B．， C．， D．不存在，使 4. 命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数 5. “，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 6. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7. 已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（   ） A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题 C．p和都是假命题 D．和都是假命题 8. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$