13.1 三角形的边角关系（三角形中边的关系）（题型专练）数学沪科版2024八年级上册

13.1 三角形的边角关系 （三角形中边的关系） 题型一 辨别三角形的相关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 题型二 三角形的分类 6．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   8．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      10．（21-22八年级上·安徽六安·期末）在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 题型三 三角形的个数 11．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 13．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 14．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 15．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 题型四 构成三角形的条件 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 17．（23-24八年级上·安徽·单元测试）以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 20．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 题型五 确定三角形第三边的取值范围 21．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（14-15八年级下·江苏无锡·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． (1)求a的取值范围； (2)若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 题型六 确定三角形第三边的值 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）若三角形的两边长是和，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 . 30．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 题型一 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知等腰三角形两边长分别是和，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（21-22八年级上·安徽滁州·期中）如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 题型二 由三角形的三边关系化简绝对值 6．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知：、、分别是三角形的三边，那么化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为3、、7，则化简后为（    ） A．7 B． C． D． 9．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 10．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 题型三 由三角形的三边关系进行证明 11．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 12．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 13．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 14．（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，满足，则以，为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．10 B．8 C．8或10 D．20 题型四 三角形的三边关系的应用 15．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 17．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，分别为的三边，且满足，，求的取值范围． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）有一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ (2)能围成一边长为的等腰三角形吗？说明理由． 1．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 3．（16-17八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． 【探究发现】（1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　． 【初步应用】（2）若，，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形的边角关系 （三角形中边的关系） 题型一 辨别三角形的相关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可 【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是的外角． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 题型二 三角形的分类 6．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握知识点的应用是解题关键． 由，设，，，再根据三角形的内角和定理得出，解得，然后求出各内角即可判断． 【详解】解：∵， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴这个三角形是含角的直角三角形， 故选：． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 8．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合各选项的条件分解即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意； B．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 故选B． 9．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理可求出被遮住的角的度数，根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：根据题意可知被遮住的角的度数为， ∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键． 10．（21-22八年级上·安徽六安·期末）在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 【答案】(1)； (2)按边分类，属于等腰三角形；按角分类，属于直角三角形 【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）根据三角形按边分类和按角分类即可． 【详解】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得 x+x+2x=180°, 解得：x=45°， ∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°； （2）解：∵∠A=∠B=x=45°， ∴AC=BC， ∴△ABC按边分类是等腰三角形； ∵∠C=90°， ∴△ABC按角分类是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形分类，掌握三角形内角和定理和三角形分类方法是解题的关键． 题型三 三角形的个数 11．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 12．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形高的定义，根据图形可得，以为高的三角形有共6个三角形，熟记三角形高的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，以为高的三角形有共6个三角形， 故选：A． 13．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 14．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 题型四 构成三角形的条件 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 17．（23-24八年级上·安徽·单元测试）以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法：较小的两个边长的和是否大于第三边的长是解决问题的关键．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长之和大于最长的边即可． 【详解】解：A． ∵，∴1、1、3不能能组成一个等腰三角形； B．∵，∴3、3、5能能组成一个等腰三角形； C ∵，∴5、5、10不能能组成一个等腰三角形； D．∵，∴3、3、8不能能组成一个等腰三角形； 故选B． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 20．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 【答案】小刚应选择长度分别为，，的三根木棒，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】解：小刚应选择长度分别为，，的三根木棒． 理由：从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根有种情况： ①选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ②选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ③选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ④选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒可以围成三角形， 综上所述，小刚应该选择长度分别为，，的三根木棒． 题型五 确定三角形第三边的取值范围 21．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；根据题意及三角形三边关系可直接进行求解． 【详解】解：由题意得第三边长的取值范围是：，即 故选：C． 22．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 23．（14-15八年级下·江苏无锡·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握平行四边形的性质，三角形三边关系是解题的关键． 如图，由平行四边形，可知，则，即，求解作答即可． 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 24．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围，即可得出的取值范围即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在中，，且，． (1)求a的取值范围； (2)若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)44 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的定义，解不等式组，掌握这些知识是关键． （1）由三角形三边的关系列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． 【详解】（1）解：由题意知： 解得：； （2）解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 题型六 确定三角形第三边的值 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围是解题的关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：设第三边长为x， 的两边长分别是3和4， ， 故选：． 27．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）若三角形的两边长是和，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边之间的关系可得出第三边的取值范围，再结合第三边长的数值是奇数，即可得出答案． 【详解】解：设该三角形的第三边长为，则有： ， 即：， 第三边长的数值是奇数， ， 故选：． 29．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 . 【答案】13 【分析】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解 【详解】解：设第三边长为， ∴， ∵第三边为整数， ∴最小整数为， ∴ 周长最小为， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长 【分析】本题考查了三角形三边关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，三角形中线含义； （1）由三角形三边关系得，得边的取值范围，再由是偶数，即可求解； （2）由是的中线及的周长为10，可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 又，， ， 又是偶数， ； （2）解：是的中线， ． 的周长为10， ， ， ， ， 又， 的周长． 题型一 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意，得即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知等腰三角形两边长分别是和，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴其周长是． 故选：D． 3．（21-22八年级上·安徽滁州·期中）如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分腰长为，底边长为，两种情况求出对应的腰长或底边长，再根据构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； ∴腰长为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为零，则这几个数都为零，三角形三边关系，等腰三角形的性质；首先根据非负数的性质求出a，b的值，则由等腰三角形及三角形三边不等关系可确定等腰三角形的腰与底边，从而求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴等腰三角形的腰为7，底边为3， ∴等腰三角形的周长为：； 故答案为：17． 题型二 由三角形的三边关系化简绝对值 6．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知：、、分别是三角形的三边，那么化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ， 故选：． 8．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为3、、7，则化简后为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的化简及三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．先根据三角形三边关系得到，然后根据二次根式的性质化简合并解题即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为3、、7， ∴， ∴， ∴， 故选C． 9．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和三角形三边关系，正确化简分式是解题关键．先化简分式，再根据三角形的三边关系以及分式有意义的条件找到即可． 【详解】解：原式． 与2，3构成的三边，且为整数， ，即 ． 当或时，原式没有意义，故． 当时，原式． 题型三 由三角形的三边关系进行证明 11．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 12．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 13．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用证明即可； （3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：如图，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． （3）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （4）在中， ， 由（3）得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 14．（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，满足，则以，为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．10 B．8 C．8或10 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，等腰三角形的定义和构成三角形的条件，先根据完全平方公式得到，据此求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义讨论腰长为a和b两种情况，进而结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当该等腰三角形的腰长为2时，则三边长分别为2，2，4， ∵， ∴此时不能构成三角形， 当该等腰三角形的腰长为4时，则三边长分别为2，4，4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：A． 题型四 三角形的三边关系的应用 15．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 【答案】(1)为等腰三角形或等边三角形；理由见解析 (2) 【分析】此题考查因式分解的应用，三角形三边关系以及绝对值非负性，解答本题的关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出或或，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）为等腰三角形或等边三角形；理由如下： ， 或或， 或或， 为等腰三角形或等边三角形； （2）是的三边长， ， 原式． 17．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，分别为的三边，且满足，，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）有一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ (2)能围成一边长为的等腰三角形吗？说明理由． 【答案】(1)底边长是 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系： （1）设底边长为，则腰长为，列出方程进行求解即可； （2）分的边为腰和底边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题意，得： ， 解得：， 答：底边长是； （2）能，理由如下： 当腰长为时，则：底边长为：，，能构成三角形，满足题意； 当底边长为时，则腰长为：，，能构成三角形，满足题意； 综上：能围成一边长为的等腰三角形． 1．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【详解】解：、、为等腰三角形的三边长，且周长为，， 分两种情况： 当为腰长时，底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时，腰长， 为底边，6为腰长符合三角形的三边关系， ， 综上所述，． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∵是整数， ； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长：． 3．（16-17八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的中线，二元一次方程组的应用，三角形的三边关系应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程，注意进行分类讨论，并注意用三角形的三边关系进行验证． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴． 设，，则， 分两种情况分别进行讨论： （1），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，满足三角形的三边关系． （2），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，不满足三角形的三边关系． 综上所述，，． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． 【探究发现】 （1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　． 【初步应用】 （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）的取值范围为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质． （1）根据题意可证≌，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）由（1）可知，≌，得，，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】（1）是边上的中线， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 故答案为：，； （2）由（1）可知≌， ，， 在中，， ， 即， ， 的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$