第10讲 椭圆的几何性质（3知识点+8考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第10讲 椭圆的几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．掌握简单的椭圆的几何性质； 2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响； 3．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 知识点1 椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： （24-25高二下·湖南邵阳·月考）（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确；故选：ACD 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤 （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． （23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立，则 所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C. 知识点3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． （24-25高二上·广东江门·月考）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)， 代入椭圆得， 两式相减得， 即，即， 又 即，即， ∴弦所在的直线的斜率为，故选：C. 考点一：由椭圆方程研究其几何性质 例1．（24-25高二上·山西晋中·月考）椭圆的短半轴的长为（    ） A．5 B．10 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由，可得椭圆标准方程为， 即，所以短半轴长为.故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·月考）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【答案】D 【解析】若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 综上可得，椭圆的长轴长为6或.故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·福建福州·月考）曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 【答案】D 【解析】对于曲线：， 对于曲线：， 所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等.故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁， 四个椭圆的离心率分别为，，，，其中离心率最小的为， 所以椭圆的形状与圆更接近．故选:C． 考点二：由椭圆几何性质求标准方程 例2.（24-25高二上·天津·期末）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程，则， 又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为．故选：B． 【变式2-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为．故选：D． 【变式2-2】（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为.故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为.故选：B 考点三：求椭圆离心率的值 例3.（24-25高二下·广西·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,， 得为等边三角形，则， 所以C的离心率为.故选：B 【变式3-1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得.故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南京·月考）设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形， 由，得， 则是矩形，，， 设，由，得， 由，得，整理得， 而 所以的离心率．故选：C 【变式3-3】（24-25高二上·江苏徐州·月考）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆方程， 则点P的坐标为，，，， 于是，，由得，即， 故，．故选：B 考点四：求椭圆离心率的取值范围 例4.（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以.故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得.故选：D. 【变式4-2】（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即， 故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：B 【变式4-3】（24-25高二下·广西南宁·月卡）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点， 因此必为方程的另一个解， 则，解得， 所以椭圆C的离心率.故选：C 考点五：直线与椭圆的位置关系 例5.（24-25高二上·陕西西安·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】由，得，化简得， 因为，所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C 【变式5-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏徐州·期末）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【答案】D 【解析】因为直线和圆没有交点， 可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·吉林四平·月考）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需故选：A 考点六：直线与椭圆相交的弦长 例6.（23-24高二上·黑龙江黑河·月考）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ． 【答案】3 【解析】由，故， 不妨令，代入可得， 所以，故弦长为. 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条.故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得．故选：B． 【变式6-3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】D 【解析】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ，解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为，故选：D. 考点七：椭圆的中点弦与点差法 例7.（24-25高二上·北京·月考）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【解析】设，则 由题易知 两式求差可得，故选：B 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即.故选：A 【变式7-2】（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为.故选：A 【变式7-3】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，直线与直线交于点， 则，两式相减得， ， 即，∴ 由∵为中点，即，，∴， 又，∴，∴.故选：D. 考点八：椭圆的综合应用 例8.（24-25高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 【变式8-1】（24-25高二下·云南保山·月考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点M，N，G为线段的中点，且，求的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意可知解得，，， 故椭圆的方程为. （2）易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，，， 由得， 由，得， 则，. 因为，所以为直角，故，即， 因为， 所以. 解得，即. 故的方程为. 【变式8-2】（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设点， 当直线PF与x轴垂直时，点，则 因为的最小值为，所以， 又由，可解得， 故E的方程为． （2）如图， 设点，注意到RM，RN斜率不为0， 设， 联立，得， 因为RM与E相切，所以， 于是， 化简得， 又RN与E相切，同理有， 故m，n是一元二次方程的两根， 则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 【变式8-3】（24-25高二下·北京顺义·月考）已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)离心率为，短轴长为；(2) 【解析】（1）依题意得，故，进而 故离心率为，短轴长为， （2）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，则， 所以， 所以线段的中点．易知, 直线的斜率， 由，得，所以，解得 将代入到（*）中，得， 即，且，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·月考）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】A 【解析】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5，故选：A． 2．（24-25高二上·重庆·月考）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先过作x轴的垂线，垂足为， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，因为点P在椭圆上，所以， 所以，所以，化简得， 所以，所以， 因为，所以.故选：D. 3．（24-25高二上·江西吉安·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为.故选：B 4．（24-25高二上·北京·月考）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为.故选：C. 5．（24-25高二上·广东深圳·月考）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为．故选：B． 二、多选题 6．（21-22高二上·广东广州·期中）椭圆的中心在原点，离心率为，则该椭圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为离心率，可得. 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确；故选：BCD. 7．（24-25高二上·江西新余·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以， 则， 即，令，则， 解得，即，所以， 所以，即， 所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB 8．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若椭圆的离心率为，则 C．当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为 D．若直线与椭圆的另一个交点为，，则 【答案】ABD 【解析】对于A项，若，因,可得，则，故A项正确； 对于B项，由可解得：，故B项正确； 对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长， 即，故C项错误； 对于D项，如图，因为，，设点， 由可得， 解得：，代入椭圆中，可得， 即，解得：，故D项正确．故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二上·吉林延边·月考）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 【答案】 【解析】的离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 10．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 11．（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 【答案】 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点， 可知点在椭圆内部， 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即，解得，. 四、解答题 12．（24-25高二上·江西宜春·月考）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 13．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示： 联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 椭圆的几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．掌握简单的椭圆的几何性质； 2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响； 3．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 知识点1 椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： （24-25高二下·湖南邵阳·月考）（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤 （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． （23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 知识点3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． （24-25高二上·广东江门·月考）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 考点一：由椭圆方程研究其几何性质 例1．（24-25高二上·山西晋中·月考）椭圆的短半轴的长为（    ） A．5 B．10 C．4 D．8 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·月考）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【变式1-2】（24-25高二上·福建福州·月考）曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 【变式1-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（    ） A． B． C． D． 考点二：由椭圆几何性质求标准方程 例2.（24-25高二上·天津·期末）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点三：求椭圆离心率的值 例3.（24-25高二下·广西·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南京·月考）设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·江苏徐州·月考）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 考点四：求椭圆离心率的取值范围 例4.（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·广西南宁·月卡）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：直线与椭圆的位置关系 例5.（24-25高二上·陕西西安·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【变式5-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式5-2】（24-25高二上·江苏徐州·期末）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【变式5-3】（24-25高二上·吉林四平·月考）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：直线与椭圆相交的弦长 例6.（23-24高二上·黑龙江黑河·月考）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ． 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 考点七：椭圆的中点弦与点差法 例7.（24-25高二上·北京·月考）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 【变式7-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 考点八：椭圆的综合应用 例8.（24-25高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【变式8-1】（24-25高二下·云南保山·月考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点M，N，G为线段的中点，且，求的方程. 【变式8-2】（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【变式8-3】（24-25高二下·北京顺义·月考）已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·月考）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 2．（24-25高二上·重庆·月考）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西吉安·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·月考）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·月考）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高二上·广东广州·期中）椭圆的中心在原点，离心率为，则该椭圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西新余·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若椭圆的离心率为，则 C．当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为 D．若直线与椭圆的另一个交点为，，则 三、填空题 9．（24-25高二上·吉林延边·月考）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 10．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 四、解答题 12．（24-25高二上·江西宜春·月考）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 13．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$