第八讲 角平分线的性质和判定（新知预习+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题）暑假衔接培优同步讲练-2025-2026学年八年级上册数学（人教版）

第八讲 角平分线的性质和判定 （新知预习精讲+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题） 新知预习 【复习回顾】 （1） 判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2） 三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做__点到直线的距离_______________. 【新课导入】 【问题1】在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 【问题2】在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：角平分仪 【推进新课】 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 思考：(1)角平分仪由什么构成？ (2)角平分仪如何使用？ (3)∠DAC和∠BAC相等的依据是什么？ 分析：在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB（SSS） ∴∠DAC=∠BAC. ∴AE平分∠DAB. 新知学习1：用尺规作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 思考：如果没有平分角的仪器，我们用尺规作图也能画出一个角的平分线吗？ (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． (2) 分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． (3) 画射线OC．射线OC即为所求． 思考：1.为什么以大于MN的长为半径作弧？ 2.两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？ 结论：1.如果以小于MN的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. 2.两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 画一画 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 新知学习2：角平分线的性质 如图，将三角形纸片的∠ABC对折，再将BM自身重合对折（点B与点M重合），观察折叠后的展开图，三条折痕分别表示什么？你发现了什么？ BD表示∠ABC的平分线，NP和NQ分别表示点N到AB和BC的距离，点N到AB和BC的距离相等（NP = NQ）. 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 已知：一个点在一个角的平分线上． 求证：这个点到这个角两边的距离相等． 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE． 证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO ， ∠AOC = ∠BOC ， OP = OP ， ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD = PE 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等 【几何语言】∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D、E，∴PD=PE． 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等 、 新知学习3：角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线 OP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP ， PD = PE ， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO （HL）. ∴∠AOP =∠BOP.∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【几何语言】∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）． 思考 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上 【结论】三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 【归纳总结】 模块一 角平分线的性质定理 例1 （23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 演练1 （24-25八年级上·天津·期中）如图，平分，过点作于，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数有（　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过C作于F．先判定，即可得出，再判定，即可得到；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【规范解答】解：如图，过C作于F． ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形中，，故②正确； ∵， ∴， 即，故④错误． 综上，正确的结论共3个． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 演练2 （24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④． 【规范解答】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故②正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 模块二 角平分线的判定定理 例2 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 演练1 （23-24八年级上·江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【规范解答】（1）解：已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 演练2 （24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【规范解答】（1）解：    ， 在与中， ， ； （2）解：过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 模块三 角平分线性质的实际应用 例3 （24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【规范解答】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 演练1 （21-22八年级下·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【规范解答】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 演练2 （23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，作的平分线，交轴于点，当、、时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）解二元一次方程组即可求出、两点坐标； （2）已知，可知，进而得出和的面积比为，从而得出与的数量关系式； （3）延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接．由平分可得，化简得到,转化得：，由，得出，由，得出，从而得到，即可求点的坐标． 【规范解答】（1）解： ， 解得：， ，； （2） ， ， ， 即； （3）如图，延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接． 平分， ， ， ， ， ，    是的外角， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ，， 又 ，， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形，全等三角形，角平分线，三角形的内角和，直角坐标系等知识，把握各个知识点在题目中的内在联系是解题的关键． 模块四 作角平分线（尺规作图） 例4 （22-23八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据直线的定义求解即可； （2）尺规作出的平分线与交于点P即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； 演练1 （24-25八年级上·北京·期中）下面是小东设计的尺规作图过程： 已知：如图，在中，． 求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点； （2）分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点； （3）画射线，交于点．所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：过点作于点，连接． 在和中， ． ______________（_______） ， ． ， （_______） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明． 【规范解答】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点D作于点E， 连接，． 在与中， 在和中， ． ∴（全等三角形对应角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 演练2 （22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)①作图见解析；②的值不发生变化，理由见解析． 【思路引导】（）①由平行线的性质和角平分线的定义可得，，即得，，根据即可求解；②由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，据此即可求解； （）①根据角平分线的作法作图即可；②设，可得，进而由得到，，即可得，又由得到，即得，即可求解； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和画法，等角对等边，三角形内角和定理，余角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴，， ∵是，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，射线即为所求； ②的值不发生变化，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，不会发生变化． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查基本作图“平分已知角”．解题的关键是熟练掌握角平分线的作法，同时熟记角平分线分角为大小相等的两个角．由题意知，平分，可得的度数，再由，可得的度数． 【规范解答】解：由作图步骤作图如下： 则平分，又， ∴ 又， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【规范解答】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线的性质，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，作于E，，根据角平分线的点到角的两边的距离相等，可得，进而证明，推出，，，再逐项判断即可． 【规范解答】解：如图，作于E，于F． 则， 又点P为定角的平分线上的一个定点， ， 与互补， ， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ，故（1）正确； ，， ， 的值不变；故（2）正确； ， 四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的， 的长改变，故（4）错误； 综上可知，正确的个数是3个， 故选B． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ． 【答案】8 【思路引导】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质可得，根据，即可求出长． 【规范解答】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【规范解答】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【规范解答】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 【答案】说明理由见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，，则由角平分线的定义得到，由三角形面积公式可得，，据此可证明结论． 【规范解答】证明：作， 是的角平分线， ， ， 又∵， ． 9．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【规范解答】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 10．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或或 【思路引导】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴,， 又∵,, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴,， ∴， ∵,， ∴; 在直角三角形中，根据勾股定理可得，即 解得， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或或． 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【规范解答】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【规范解答】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 14．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，解关于的方程即可． 【规范解答】解： 为的平分线，于点E，于点F， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解答的关键． 根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：如图∶ 过F作于H， 由作图过程可得：是的平分线， 又∵，， ∴， ∵，的面积为9， ∴，解得：． 故答案为：4． 16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】过点O作于点G，于点N，根据角平分线性质得出，，从而得出，根据角平分线的判定即可得出①正确；根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可判断②正确；在上取一点，使得，连接，，先根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，从而可得，然后根据线段的和差即可判断③错误；根据，，即可判断④正确． 【规范解答】解：过点O作于点G，于点N，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， 同理得：， ∴， ∴点在的平分线上，故①正确； 在中，， ， 分别是的角平分线， ， ， ， 则，结论②正确； 如图，在上取一点，使得，连接，连接， 在和中， ， ， ， ， 由对顶角相等得：， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中，， ， ， ∴，故③错误； 由以上证明可知：， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定和性质，三角形面积计算，三角形内角和定理应用，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为 ．     【答案】 【思路引导】本题主要考查了直角三角形全等．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解题的关键． 作于F，易证，可得，进而可以证明，可得，即可解题． 【规范解答】过点D作于点F， ∵平分， 于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【思路引导】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【规范解答】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 19．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 20．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【思路引导】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲 角平分线的性质和判定 （新知预习精讲+4个考点分类讲练+难度分层随堂练 共32题） 新知预习 【复习回顾】 （1） 判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2） 三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做__点到直线的距离_______________. 【新课导入】 【问题1】在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 【问题2】在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：角平分仪 【推进新课】 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 思考：(1)角平分仪由什么构成？ (2)角平分仪如何使用？ (3)∠DAC和∠BAC相等的依据是什么？ 分析：在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB（SSS） ∴∠DAC=∠BAC. ∴AE平分∠DAB. 新知学习1：用尺规作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 思考：如果没有平分角的仪器，我们用尺规作图也能画出一个角的平分线吗？ (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． (2) 分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． (3) 画射线OC．射线OC即为所求． 思考：1.为什么以大于MN的长为半径作弧？ 2.两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？ 结论：1.如果以小于MN的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. 2.两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 画一画 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 新知学习2：角平分线的性质 如图，将三角形纸片的∠ABC对折，再将BM自身重合对折（点B与点M重合），观察折叠后的展开图，三条折痕分别表示什么？你发现了什么？ BD表示∠ABC的平分线，NP和NQ分别表示点N到AB和BC的距离，点N到AB和BC的距离相等（NP = NQ）. 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 已知：一个点在一个角的平分线上． 求证：这个点到这个角两边的距离相等． 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE． 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等 【几何语言】∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D、E，∴PD=PE． 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等 、 新知学习3：角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线 OP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP ， PD = PE ， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO （HL）. ∴∠AOP =∠BOP.∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【几何语言】∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）． 思考 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上 【结论】三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 【归纳总结】 模块一 角平分线的性质定理 例1 （23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 演练1 （24-25八年级上·天津·期中）如图，平分，过点作于，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数有（　） A． B． C． D． 演练2 （24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 模块二 角平分线的判定定理 例2 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 演练1 （23-24八年级上·江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 演练2 （24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 模块三 角平分线性质的实际应用 例3 （24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 演练1 （21-22八年级下·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 演练2 （23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，作的平分线，交轴于点，当、、时，求点的坐标． 模块四 作角平分线（尺规作图） 例4 （22-23八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 演练1 （24-25八年级上·北京·期中）下面是小东设计的尺规作图过程： 已知：如图，在中，． 求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点； （2）分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点； （3）画射线，交于点．所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：过点作于点，连接． 在和中， ． ______________（_______） ， ． ， （_______） 演练2 （22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 9．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 14．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为 ．     18．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 19．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$