21.2 一元二次方程解法的选择 专项训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2 一元二次方程解法的选择 专项训练 提优目标：能灵活运用解一元二次方程的方法解一元二次方程. 基础巩固 1．下列方程能用直接开平方法求解的是（　　） A．x2﹣4x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2﹣4＝0 【思路点拔】根据直接开平方法的特点逐个判断即可． 解：A．方程x2﹣4x+1＝0，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； B．方程x2﹣2x﹣1＝0，用公式法和配方法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； C．方程x2﹣4x＝0，用因式分解法比较简便，不能直接用开平方法求解，故本选项不符合题意； D．方程x2﹣4＝0能直接用开平方法求解，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 2．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A．2x2＝8 B．x（x+2）＝x+2 C．x2﹣2x＝3 D．2x2+x﹣1＝0 【思路点拔】根据方程的特点选择合适的解法． 解：A．此方程适合用直接开平方法求解； B．此方程适合用因式分解法求解； C．此方程适合用配方法求解； D．此方程适合用因式分解法求解； 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．下列方程适合用求根公式法解的是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．325x2﹣326x+1＝0 C．x2﹣100x+2500＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 【思路点拔】根据方程的特点及各方法的优缺点解答即可． 解：A、此方程适合直接开平方法求解； B、此方程适合因式分解法求解； C、此方程适合因式分解法求解； D、此方程适合公式法求解； 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（　　） A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．2x2﹣x＝0 C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3 【思路点拔】A、化简为一般形式利用判别式即可判断； B、直接提取公因式即可； C、利用判别式即可判断； D、直接开平方法解方程． 解：A、化简（x﹣2）（x+5）＝2得：x2+3x﹣12＝0，等式左边不能因式分解，故不符合题意； B、∵2x2﹣x＝0，∴x（2x﹣1）＝0，故符合题意； C、∵x2+5x﹣2＝0，∴方程的左边不能分解因式，故不符合题意； D、∵12（2﹣x）2＝3，∴方程可以利用直接开平方法解方程，故不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是方程化为一般形式后左边是否可以分解因式． 5．解方程x2x﹣2＝0时，最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【思路点拔】根据方程的特点及各种方法适用的方程判断即可． 解：由于方程中一次项系数时无理数， 所以，解方程x2x﹣2＝0时，最适当的方法是公式法， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．用适当方法解下列方程． （1）4（x﹣5）2＝36． （2）． （3）（2x+1）2+3（2x+1）＝0． （4）3x2+4x﹣7＝0． 【思路点拔】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 解：（1）4（x﹣5）2＝36， （x﹣5）2＝9， ∴x﹣5＝±3， ∴x1＝8，x2＝2； （2）， 这里a＝1，b，c＝1， ∴Δ＝（）2﹣4×1×1＝2， ∴x， ∴； （3）（2x+1）2+3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1+3）＝0， ∴2x+1＝0或2x+1+3＝0， ∴； （4）3x2+4x﹣7＝0， （x﹣1）（3x+7）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+7＝0， ∴． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 思维拓展 7．解方程①x2﹣7＝0；②2x2﹣x﹣2＝0；③（x+1）2＝2x（x+1）时，解法选择较为恰当的是（　　） A．全部用公式法 B．①用直接开平方法，其余都用公式法 C．全部用配方法 D．分别用直接开平方法、公式法、因式分解法 【思路点拔】根据不同方程的结构特点逐一判断． 解：①x2﹣7＝0，利用直接开平方法最简便； ②2x2﹣x﹣2＝0，利用公式法求解最简便； ③（x+1）2＝2x（x+1），利用因式分解法最简便． 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．解下列方程：①2x2﹣18＝0；②2x2﹣12x﹣782＝0；③3x2+10x+1＝0；④2（5x﹣1）2＝2（5x﹣1）．用较简便的方法依次是（　　） A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【思路点拔】根据不同方程的结构特点逐一判断． 解：①2x2﹣18＝0，利用直接开平方法最简便； ②2x2﹣12x﹣782＝0，即x2﹣6x﹣391＝0，利用配方法最简便； ③3x2+10x+1＝0，利用公式法求解最简便； ④2（5x﹣1）2＝2（5x﹣1），利用因式分解法最简便． 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 9．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是　 　． 【思路点拔】把（2x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同． 解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解， 由于另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同 ∴2x+3＝1或2x+3＝﹣3 解得x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化． 10．若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　 　． 【思路点拔】设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，解方程求出a，再把所求代数式的前两项提取公因数3，再把x2+2x的值整体代入，进行计算即可． 解：设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8， a2﹣2a﹣8＝0， （a﹣4）（a+2）＝0， a﹣4＝0，a+2＝0， a1＝4，a2＝﹣2， ∴x2+2x的值为4或﹣2， 当x2+2x＝4时， 3x2+6x+2011 ＝3（x2+2x）+2011 ＝3×4+2011 ＝12+2011 ＝2023， ∵x2+2x≥﹣1， 代数式3x2+6x+2011的值是2023， 故答案为：2023． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键熟练掌握利用换元法解一元二次方程． 11．曾红波同学解方程x2+2x﹣3＝0的过程如图： 解方程：x2+2x﹣3＝0 解：x2+2x＝3第一步 即（x+1）2＝3•第二步 ∴，第三步 （1）曾红波是用 　 　法来求解的，他的过程是从第 　 　步开始出现错误； （2）请用不同于曾红波的方法解该方程． 【思路点拔】（1）曾红波使用配方法解方程，第二步方程两边应该加上1，所以曾红波解方程的第二步开始出现错误； （2）先利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 解：（1）曾红波是用配方法来求解的，他的过程是从第二步开始出现错误； 故答案为：配方，二； （2）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 12．用因式分解法和公式法求解下列方程：9（x﹣5）2﹣24（x﹣5）+16＝0． 【思路点拔】先因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 解：9（x﹣5）2﹣24（x﹣5）+16＝0， 方法一：[3（x﹣5）﹣4][3（x﹣5）﹣4]＝0， 开方得：3（x﹣5）﹣4＝0，3（x﹣5）﹣4＝0， 解得：x1＝x2； 方法二：整理得：9x2﹣114x+361＝0， b2﹣4a＝（﹣114）2﹣4×9×361＝0， x， x1＝x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，此题的关键是能正确运用各个方法解一元二次方程，此题属于中档题目，难度适中． 13．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）（x﹣1）2＝3； （3）（3x﹣4）2＝9x﹣12； （4）x2﹣2x＝4． 【思路点拔】（1）利用公式法求解求解即可； （2）利用直接开方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用配方法求解即可． 解：（1）x2﹣3x+1＝0， 其中a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0， ∴x， 解得：x1，x2； （2）（x﹣1）2＝3， 直接开方得：x﹣1或x﹣1， 解得：x1＝1，x2＝1； （3）（3x﹣4）2＝9x﹣12， （3x﹣4）2＝3（3x﹣4）， （3x﹣4）2﹣3（3x﹣4）＝0， （3x﹣4）（3x﹣4﹣3）＝0， 3x﹣4＝0或3x﹣7＝0， 解得：x1，x2； （4）x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝5， （x﹣1）2＝5， 直接开方得：x﹣1或x﹣1， 解得：x1＝1，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键． 延伸探究 14．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6， 解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得．，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． （x+a）2﹣b2＝5， （x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 　 　，　 　，　 　，　 　； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5． 【思路点拔】（1）先得出a、b的值，代入得出（x+5）2＝9，进一步求解可得c、d的值； （2）原方程变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5，据此知（x﹣1）2﹣42＝5，再进一步求解即可． 解：（1）由题意知a＝5，b＝2， ∴（x+a）2＝5+b2．可变形为（x+5）2＝9， ∴x+5＝3或x+5＝﹣3， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣8， 即c＝﹣2，d＝﹣8， 故答案为：5、2、﹣2、﹣8； （2）原方程可变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5． （x﹣1）2﹣42＝5， （x﹣1）2＝5+42， （x﹣1）2＝21． 直接开平方并整理，得x1＝1，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 一元二次方程解法的选择 专项训练 提优目标：能灵活运用解一元二次方程的方法解一元二次方程. 基础巩固 1．下列方程能用直接开平方法求解的是（　　） A．x2﹣4x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2﹣4＝0 2．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A．2x2＝8 B．x（x+2）＝x+2 C．x2﹣2x＝3 D．2x2+x﹣1＝0 3．下列方程适合用求根公式法解的是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．325x2﹣326x+1＝0 C．x2﹣100x+2500＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 4．下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（　　） A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．2x2﹣x＝0 C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3 5．解方程x2x﹣2＝0时，最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．用适当方法解下列方程． （1）4（x﹣5）2＝36． （2）． （3）（2x+1）2+3（2x+1）＝0． （4）3x2+4x﹣7＝0． 思维拓展 7．解方程①x2﹣7＝0；②2x2﹣x﹣2＝0；③（x+1）2＝2x（x+1）时，解法选择较为恰当的是（　　） A．全部用公式法 B．①用直接开平方法，其余都用公式法 C．全部用配方法 D．分别用直接开平方法、公式法、因式分解法 8．解下列方程：①2x2﹣18＝0；②2x2﹣12x﹣782＝0；③3x2+10x+1＝0；④2（5x﹣1）2＝2（5x﹣1）．用较简便的方法依次是（　　） A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 9．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是　 　． 10．若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　 　． 11．曾红波同学解方程x2+2x﹣3＝0的过程如图： 解方程：x2+2x﹣3＝0 解：x2+2x＝3第一步 即（x+1）2＝3•第二步 ∴，第三步 （1）曾红波是用 　 　法来求解的，他的过程是从第 　 　步开始出现错误； （2）请用不同于曾红波的方法解该方程． 12．用因式分解法和公式法求解下列方程：9（x﹣5）2﹣24（x﹣5）+16＝0． 13．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）（x﹣1）2＝3； （3）（3x﹣4）2＝9x﹣12； （4）x2﹣2x＝4． 延伸探究 14．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6， 解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得．，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． （x+a）2﹣b2＝5， （x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 　 　，　 　，　 　，　 　； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$