精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024-2025学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李正星 王彦胜 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知向量，，.若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B. 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C. 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 4. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ） A. 5 B. C. 29 D. 5. 已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 56π B. 52π C. 48π D. 64π 二、选择题（选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模的最大值为2 B. 若，是纯虚数，则 C. 时，复数对应的点在第一象限内 D. 复数的模长为定值 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ） A 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若是锐角三角形，则恒成立 11. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的最大值为2 D. 在有4049个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 13. 已知复数满足，则的最小值为______. 14. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是夹角为两个单位向量，. （1）求的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 如图，四棱锥 的底面为平行四边形，点 分别为 的中点. （1）求证: 平面 平面 ; （2）在棱 上确定一点 ，使 平面 ，并说明理由. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上最大值和最小值； （3）若，，求的值. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于D，，，求的值； （3）求的取值范围. 19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. （1）求出所有可能的三角形的面积； （2）如图，已知平面凸四边形中，，，， ①求满足的数量关系； ②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李正星 王彦胜 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求得，可得结论. 【详解】因为， 则， 故复数z的虚部是1． 故选：C． 2. 已知向量，，.若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示计算得解. 【详解】∵，，∴， 又，与平行， ∴，解得， 故选：C. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B. 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C. 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D. 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ） A. 5 B. C. 29 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 5. 已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆台的上、下底面的半径，结合圆台的母线长，代入圆台的表面积公式计算即可． 【详解】∵圆台的上、下底面面积分别为和， ∴圆台的上、下底面半径分别为6和7，又圆台的母线长5， ∴圆台的表面积为. 故选：B． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件式利用诱导公式及正余弦的齐次式化简得，再利用两角差的正切公式求解. 【详解】 ， 即，解得， 则. 故选：A. 7. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数， 令：，解得， 由于， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 8. 在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 56π B. 52π C. 48π D. 64π 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，将三棱锥补成直三棱柱，利用正弦定理可得外接圆的半径，直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为，根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径，利用球的表面积公式计算即可． 【详解】取的中点，连接，将三棱锥补成直三棱柱， 因为，所以， 设外接圆的半径为，又， 利用正弦定理可得，即， 直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为， 根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径， 则球的表面积为. 故选：D． 二、选择题（选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模的最大值为2 B. 若，是纯虚数，则 C. 时，复数对应的点在第一象限内 D. 复数的模长为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】AD选项，利用模长公式得到，A错误，D正确；B选项，根据复数类型得到方程和不等式，求出；C选项，当时，，C正确. 【详解】AD选项，， 故，A错误，D正确； B选项，且，即且， 又，故，B正确； C选项，当时，， 故且，复数对应的点在第一象限内，C正确. 故选：BCD 10. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若是锐角三角形，则恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化可判断A；利用同角三角函数的基本关系式及余弦定理可判断B；利用余弦定理及勾股定理可判断C；由正弦函数的单调性及诱导公式可判断D． 【详解】对于A，因为，由正弦定理得（为外接圆的半径）， 所以，故A正确； 对于B， 由，得， 则，从而，故角为锐角， 但角不能确定，故不一定是锐角三角形，故B错误； 对于C，由余弦定理及，得， 整理得，故为直角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，可得且， 可得，且， 根据正弦函数的单调性，可得，即，故D正确， 故选：ACD． 11. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的最大值为2 D. 在有4049个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】用函数奇偶性的定义法判断A，在给定区间内得到具体函数解析式，利用三角函数的性质求解单调性判断B，利用三角函数的性质判断C，举反例即可判断D. 【详解】由题意得的定义域为，， 所以不是奇函数，故A错误； 当时，，则， 此时在区间上单调递减，故B正确； 因为，是偶函数，所以考虑的情况即可， 当时，函数， 此时当时，取最大值2； 当时，函数， 综上，的最大值为2，故C正确； 当时，，，此区间上有无数个零点， 故在不可能只有4049个零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答. 【详解】正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3， 则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为3， 因此等腰梯形的高为， 所以四棱台的高为. 故答案为： 13. 已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题． 【详解】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 故答案为：4． 14. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 【答案】 【解析】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为， 图B，彩绳长度最小值为， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是夹角为的两个单位向量，. （1）求的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义可得，结合数量积的运算律计算即可求解； （2）根据数量积的运算律计算求出，结合数量积的定义计算即可求解. 小问1详解】 由题意知，， 所以； 【小问2详解】 由题意得，， ， 由（1）知，所以， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 16. 如图，四棱锥 的底面为平行四边形，点 分别为 的中点. （1）求证: 平面 平面 ; （2）在棱 上确定一点 ，使 平面 ，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）为棱中点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. 【小问1详解】 在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. 【小问2详解】 当为棱中点时，平面， 取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因平面，平面，所以平面. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）， （2）最大值是2，最小值是 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质，可得函数在区间上的最大值和最小值； （3）若，可求，进而得出，再由两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 ， 令，， 解得：，. 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 ∵，∴，∴， ∴当，即时，取最大值2； ∴当，即时，取最小值； ∴函数在区间上的最大值是2，最小值是； 【小问3详解】 ∵，∴，即， ∵，， ∴， ∴ . 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于D，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设令，则，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，则， 所以， 由是锐角三角形，得，，则， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，B为锐角，所以， 则， 因为， 所以，所以， 所以，. 小问3详解】 由是锐角三角形，得，，， 可得，所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. （1）求出所有可能的三角形的面积； （2）如图，已知平面凸四边形中，，，，. ①求满足的数量关系； ②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值. 【答案】（1），；（2）①；②，. 【解析】 【分析】（1）先根据三角形两边之和大于第三边可知所有可能的情况有两种，再分别利用余弦定理求解其中一个内角的余弦，进而得出内角正弦，利用三角形面积公式求解面积即可 （2）①连接，再分别列出和中余弦定理即可； ②根据可得，再结合①中的，结合三角恒等变换分析的最值即可 【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为、 当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，， 当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，， （2）①连接，由余弦定理知 ∴，∴∴ ② ∴ 又∵，∴， ∴ 故 当且仅当，取得最大值， 此时，，∴，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$