1.3几何证明举例第二课时三角形内角和定理 同步练习 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

1.3几何证明举例 第2课时 三角形内角和定理及推论 知识点1 三角形内角和定理 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．B．C．D． 2．把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，则 ． 4．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． （3题） （4题） （5题） 5．如图，在三角形ABC中，平分，平分，如果，那么 °． 知识点2 三角形内角和定理推论 6．如图，在三角形ABC中，，，是三角形ABC的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．在三角形ABC中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 8．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． （7题） （8题） （9题） 9．如图，若，则的大小为 ． 10．如图，直线，若，，则 ． 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 12．如图，在三角形ABC中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 跟踪练习 1．将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，三角形ABC， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． （1题） （2题） （3题） 3．如图，，分别是三角形ABC的角平分线和高，若，，则 ． 4．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． （6题） 5．已知是等腰三角形一腰上的高，且，求三角形ABC的顶角度数为 ． 6．如图，，，，则 ． 7．如图，点是三角形ABC的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 8．如图，在三角形ABC中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 9．在三角形ABC中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3几何证明举例 第2课时 三角形内角和定理及推论 知识点1 三角形内角和定理 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， 故选C． 3．如图，，则 ． 【答案】100°/100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 4．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 5．如图，在三角形ABC中，平分，平分，如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 知识点2 三角形内角和定理推论 6．如图，在三角形ABC中，，，是三角形ABC的一个外角，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的定义和性质等知识，等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义和性质即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴． ∵是三角形ABC的一个外角， ∴， 故选：D 7．在三角形ABC中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 8．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．如图，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 10．如图，直线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意得出角之间的关系． 由平行线的性质可得，根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ 故答案为：． 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 12．如图，在三角形ABC中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线有关的计算，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的性质得，运用三角形外角性质以及，进行角的等量代换得，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质，得出，再结合以及由（1）中，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， 即． 跟踪练习 1．将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 2．如图，三角形ABC， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据是三角形ABC的一个外角可知，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意可知：是三角形ABC的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A 3．如图，，分别是三角形ABC的角平分线和高，若，，则 ． 【答案】/10度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，在三角形ABC中，由与的度数求出的度数，根据为角平分线求出的度数，由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是三角形ABC的角平分线， ∴， ∵是三角形ABC的高， ∴， 则， 故答案为：． 4．如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 5．已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点（为锐角三角形、为钝角三角形），点A是底角顶点，分情况求解即可． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角； 综上所述，等腰顶角度数为或或． 故答案为：或或． 6．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 7．如图，点是三角形ABC的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 8．如图，在三角形ABC中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形中线的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形中线的定义可得，则由三角形周长计算公式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．在三角形ABC中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解． （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到； （3）根据角平分线的定义得，由三角形外角的性质有，则，即可得到； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， 当时，； 故答案为：； （2）解：， ∵平分平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，， 故答案为：70； （3）解：， 而平分平分， ， ， ， 即． 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$