精品解析：四川省巴中市普通高中2024-2025学年高一下学期期末学情检测数学试题

巴中市普通高中2024级年段学情检测 数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置. 2.答题时请使用2B铅笔将答题卡、上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，可以将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 6 D. 7. 棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 化简计算的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则（ ） A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的平均数为3 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的60%分位数为3 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若，则是的整数倍 C. 在有2个零点 D. 不等式的解集为， 11. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. .平面与平面的交线平行于直线 B. 二面角的余弦值为 C. 点到平面的距离为2 D. 四棱锥的外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为___________. 13. 某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 14. 的内角，，的对边分别为，，，是平面任意一点，满足，，且.若，则的最小值为________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角，，对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 16. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数在的值域. 17. 如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 18. 统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. （1）根据材料估计敌军生产的战机数量； （2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 19. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； （2）若是的重心且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市普通高中2024级年段学情检测 数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置. 2.答题时请使用2B铅笔将答题卡、上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且，则，解得. 故选：A. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法化简复数，根据对应点判断所在象限. 【详解】由题设，对应点为在第二象限. 故选：B 3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则得∥，从而得为异面直线与所成的角，然后在三角形中可得答案 【详解】解：连接， 因为,∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以为异面直线与所成的角， 在正方体中，， 所以三角形为等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为， 故选：C 【点睛】此题考查异面直线所成的角，属于基础题 4. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加法法则及平面的基本定理用表示即可得. 【详解】. 故选：B 5. 为了得到函数的图象，可以将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式确定函数图象的平移过程即可. 【详解】将向右移动个单位得. 故选：C 6. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 7. 棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需求得该球的半径，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设棱长为6的正四面体的底面外接圆半径为，则，解得， 所以正四面体的高为，体积为， 所以题述中的球的体积为，设该球的半径为，则， 解得，故所求为. 故选：D. 8. 化简计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换求解即可. 【详解】 . 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则（ ） A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的平均数为3 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的60%分位数为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数、平均数、极差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误. 【详解】将样本数据从小到大排列得，众数为2，平均数为， 极差为，由，则这组数据的60%分位数是第4个数，为3. 故选：ACD 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若，则是的整数倍 C. 在有2个零点 D. 不等式的解集为， 【答案】AD 【解析】 【分析】代入验证对称中心判断A；求正弦型函数的零点判断B；整体法并结合正弦函数的周期性判断C；解正弦型不等式求解集判断D. 【详解】A：由，即的图象关于点对称，对； B：由，则，可得， 所以，则是的整数倍，错； C：由，则，结合正弦函数的图象及周期性知：共有3个零点，错； D：由题设，则，可得，解集为，对. 故选：AD 11. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. .平面与平面的交线平行于直线 B. 二面角的余弦值为 C. 点到平面的距离为2 D. 四棱锥的外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用线面平行的判定及性质判断A；若分别为的中点，结合二面角的定义有是锐二面角的平面角，进而求其余弦值判断B；应用等体积法求点面距离判断C；由面面垂直模型确定球心，再利用几何关系求球体半径判断D. 【详解】A：由，平面，平面，则平面， 由平面，则平面与平面的交线平行于直线，对； B：若分别为的中点，则，， 由都在平面内，则平面，则平面， 由平面，则，， 所以是锐二面角的平面角， 由平面平面，，平面，平面平面， 所以平面，则，而，则， 所以，对； C：由， 由平面，平面，则，又， 由且都在平面内，则平面，平面， 所以，故，若点到平面的距离为， 所以，则，错； D：由平面平面，为正三角形，四边形为正方形， 则外接球球心是过正方形中心且垂直于平面与过中心且垂直于平面的两直线的交点， 由面面垂直模型知，外接球的半径，对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由圆锥的侧面积公式计算即可得解. 【详解】由题意底面圆的半径为，母线，故所求为. 故答案为：. 13. 某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】14.52 【解析】 【分析】根据频率和为1求得，再由频率直方图求平均值即可. 【详解】由题设，可得， 所以平均值为. 故答案为： 14. 的内角，，的对边分别为，，，是平面任意一点，满足，，且.若，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得三角形是边长为1的等边三角形，然后建立坐标系，，，根据题目条件可得，进一步通过三角换元即可求解. 【详解】因为，所以，又，，所以三角形是边长为1的等边三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设， 所以， 因为，所以，即， 设， ， 所以，等号成立当且仅当时取得， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角，，对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理求； （2）应用平方关系求得，再应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理， 所以. 【小问2详解】 因为， 由（1）知且，所以， 三角形的面积 所以三角形面积. 16. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数在的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，结合周期公式计算即可求解； （2）思路一：求解单调区间即可得解；思路二：由，得，结合三角形函数性质即可得解. 【小问1详解】 ， 所以，最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 方法1：因为函数， 令，解得：， 所以函数的单调递增区间为， 又因为， 所以函数在单调递增，在单调递减. 函数， 所以函数的值域为. 方法2：因为，所以， 由正弦函数图象可知，当时，函数有最大值3， 当时，函数有最小值， 所以函数的值域为. 17. 如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，平面即可得证； （3）由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【小问1详解】 连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点，中， 、分别为、的中点，所以，平面， 平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，中， 、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，， 所以平面，所以平面； 【小问3详解】 设，并连接， 由（2）可知平面， 所以直线与平面所成的角为， 设正方体边长为，中，，，所以， 所以直线与平面所成的角的大小为. 18. 统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. （1）根据材料估计敌军生产的战机数量； （2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 【答案】（1）24架； （2）（ⅰ）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，估计式或 （ⅱ）证明：因为样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、， 所以，则， 所以，，， 又因为样本平均数为， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题设得求参数，即可得； （2）（i）根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，进而写出公式；（ii）按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、，得，应用分层等比例性质即可证. 【小问1详解】 因为可用估计，所以，得，故敌军每年生产战机24架. 【小问2详解】 （ⅰ）不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度， 需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，， 估计式为或 （ⅱ）略 19. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； （2）若是的重心且，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）证明：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为，， 所以，即 （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由正弦定理边化角可得，讨论即可得证；（ii）由题意得，故只需求出角的范围即可得解； （2）由题意得，再结合余弦定理有，进一步求得，最后结合对勾函数的性质即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（1）知，所以， 所以， 因为三角形为锐角三角形， 所以，， ， 所以； 【小问2详解】 设中点为，用向量，表示向量，， 同理，可得 由得，， 所以 所以， 化简得：，即① 由余弦定理可得：② 联立①②得 因为为锐角三角形，所以，， 则有：，则， 即，令，则，即 ， 令，， 由双勾函数的性质可得：， 所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $