江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京二十九中期初数学试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则　　 ． ． ． ． 2．若复数满足，则　　 ．2 ． ． ． 3．在中，已知，点是的外心，则　　 ．16 ． ．8 ． 4．已知是等比数列的前项和，则，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的　　 ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分又不必要条件 5．甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为　　 ．12 ．16 ．18 ．24 6．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为　　 ． ． ． ． 7．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为，，，且，，则　　 ． ． ． ． 8．已知函数的定义域为，为奇函数，，则　　 ．为奇函数 ．的图象关于直线对称 ．的最小正周期为4 ．的图象关于点对称 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．下列说法正确的是　　 ．若随机变量服从正态分布，且，则 ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为 ．对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 ．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强． 10．双曲线的左、右焦点分别为点，，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则　　 ．双曲线的离心率为 ．双曲线的共轭双曲线方程为 ．当点位于双曲线右支时， ．点到两渐近线的距离之积为 11．已知数列满足，，若，，，则的值可能为 　　 ． ．2 ． ． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中常数项为 ． 13．已知各项均不为0的数列的前项和为，且，． （1）的通项公式为 ． （2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 14．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，的面积，，． （1）求的值； （2）证明为等腰三角形； （3）求的周长． 16．（本小题满分15分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． （1）证明：为平行四边形； （2）是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． （3）证明：点和形成的多面体的体积为定值． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）当时，求函数在，处的切线方程； （2）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 18．（本小题满分17分）两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当的垂心恰是的焦点时，． （1）求； （2）若，弦中点为，点关于直线的对称点在抛物线上． ①证明动弦恒过定点 ②求的面积． 19．（本小题满分17分）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次． （1）已知质点每次向右移动的概率为． ①当，时，求质点最终回到原点的概率； ②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续，直到移动了次．分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小． （2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为，共移动了3次，若最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分．若最终落在了原点右侧，则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数． ①请用含，的式子表示该游戏得分的数学期望； ②若，则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三下学期南京二十九中期初数学试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】集合，，， 所以． 故选：． 2．若复数满足，则　　 ．2 ． ． ． 【答案】． 【解析】设，，则， ， ， 解得，，则， ， ． 故选：． 3．在中，已知，点是的外心，则　　 ．16 ． ．8 ． 【答案】． 【解析】，点是的外心， 则． 故选：． 4．已知是等比数列的前项和，则，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的　　 ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分又不必要条件 【答案】． 【解析】是等比数列的前项和， 若，，依次成等差数列， 则，即， 因，可得，解得或． 当时，，，，不满足，故充分性不成立； 若，，依次成等差数列，可得，显然， 故有， 化简得：，解得或， 当时，，即，，依次成等差数列； 当时，，而， 故得，即，，依次成等差数列，故必要性成立． 故选：． 5．甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为　　 ．12 ．16 ．18 ．24 【答案】． 【解析】甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 其他人听不同的讲座，方法数有种， 恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种． 故选：． 6．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】设实心铁球的半径为， 因为实心铁球的表面积为， 所以， 解得， 则实心铁球的体积为， 设正四棱台的实心铁锭的高为， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，且铁锭的上、下底面的边长分别为和， 所以， 解得． 故选：． 7．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为，，，且，，则　　 ． ． ． ． 【答案】． 【解析】因为，， 所以相邻两对称轴间的距离，即周期， 所以， 排除， 当时，代入，可得，满足题意， 代入，可得，不符合题意， 故正确，错误． 故选：． 8．已知函数的定义域为，为奇函数，，则　　 ．为奇函数 ．的图象关于直线对称 ．的最小正周期为4 ．的图象关于点对称 【答案】． 【解析】为奇函数，， 的图象关于点对称， 的图象关于点，对称，选项正确； 函数的定义域为，的定义域为， 为奇函数，， ，， 的图象关于点对称，， ，即为偶函数，选项错误； ， ，的最小正周期为4， 的最小正周期为2，选项错误； 为偶函数，且关于点对称，最小正周期为4， 的所有对称轴为直线，选项错误． 故选：． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．下列说法正确的是　　 ．若随机变量服从正态分布，且，则 ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为 ．对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 ．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强． 【答案】． 【解析】对于：若随机变量服从正态分布，且， 所以，故正确； 对于：已知10个数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22， 则，故第60百分位数为，故错误； 对于：因为回归方程为，若样本点的中心为，所以，解得，故正确； 对于：决定系数越大，则两个变量的相关性越强，故正确． 故选：． 10．双曲线的左、右焦点分别为点，，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则　　 ．双曲线的离心率为 ．双曲线的共轭双曲线方程为 ．当点位于双曲线右支时， ．点到两渐近线的距离之积为 【答案】． 【解析】如图，因为，所以， ， 则，所以， 又，在中， ，化简得， 所以，，，双曲线方程为， 对于，双曲线的离心率为，正确； 对于，双曲线的共轭双曲线方程为，错误； 对于，，因为， 则，即，正确； 对于，渐近线方程为，设，， 点到两渐近线的距离之积为，正确． 故选：． 11．已知数列满足，，若，，，则的值可能为 　　 ． ．2 ． ． 【答案】． 【解析】若，可得，则数列：1，2，，1，2，，，是周期为3的数列，故错误； 若，可得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，且，即有，故正确； 若，可得，由，，可得，， 即有，即有，即有，故正确； 若，可得，即，可得数列是首项为3，公比为的等比数列， 可得，即有，两式相减可得， 当为偶数时，，即偶数项是首项为2，公差为6的等差数列，可得，故正确． 故选：． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中常数项为 ． 【答案】6． 【解析】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有9项，即， 令，得展开式中所有项的系数和为，所以， 因为的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为：6． 13．已知各项均不为0的数列的前项和为，且，． （1）的通项公式为 ． （2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， ， 当时，可得， 两式相减得， 因为，故， 所以，，，，及，，，，均为公差为4的等差数列， 当时，由及，解得， 所以，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，可得， 因为对于任意，恒成立，所以恒成立， 设，则， ，2时，时，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为． 故答案为：（1）；（2）． 14．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】由，得， 设切点坐标为，则过切点的切线方程为， 联立，得，即． ，则，得； 由，得， 令，得， 可得当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ． ，解得， 又，实数的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，的面积，，． （1）求的值； （2）证明为等腰三角形； （3）求的周长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）由三角形的面积公式可得，则， 由正弦定理可得：， ，， 又，则， ，即， ． （2）， ， ，， ，， ， 由余弦定理可得：，则， 即，解得， ， 为等腰三角形 （3）由（2）知 的周长为． 故答案为：． 16．（本小题满分15分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． （1）证明：为平行四边形； （2）是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． （3）证明：点和形成的多面体的体积为定值． 【答案】（1）见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）见解析． 【解析】（1），截面， 当在点处时，在平面内的射影为， 当在点时，在平面内的射影为， 过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为， 当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为， 过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为， 当在上移动时，截面绕转动， 当在点时，在面射影为， 由面面平等的性质可知截面总为平行四边形； （2）不存在 理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ， ， 过于，由题意得平面， 是平面的一个法向量， 为平面的一个法向量，为和底面的夹角， ， 存在，使得和底面的夹角大于； 否存在，使得和底面的夹角为． （3）设截面与交于点，与交于， 四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥， 两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的调均为正方体的棱长， 三棱锥，三棱锥的体积为定值， 点和形成的多面体为定值． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）当时，求函数在，处的切线方程； （2）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析． 【解析】（1）当时，， ， ，， 函数在，处的切线方程为，即； （2）若在，上恒成立，则在，上恒成立， 设，，， ， ， ①当时，，当时，，在上单调递减， ，即在，不恒成立， ②当时，， 当时，，在，上单调递增， 又，此时， 综上所述，所求的取值范围是，； （3）证明：由（2）知，当时，在，上恒成立， 取，得，即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， ， ， ． 18．（本小题满分17分）两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当的垂心恰是的焦点时，． （1）求； （2）若，弦中点为，点关于直线的对称点在抛物线上． ①证明动弦恒过定点 ②求的面积． 【答案】（1）；（2）①直线过定点；②． 【解析】（1）当的垂心恰是的焦点时，，， 不妨假设，，因为， 再由，可得，解得； （2）①联立，可得，同理可得，所以， 因为， 所以的轨迹方程为， 当时，不妨设，，此时，，直线过点， 当时，直线的斜率为， 的方程为，整理得，直线过点， 综上，直线过定点； ②由，可得，即，所以或， 当时，的中点为，直线的斜率为， 此时直线的方程为，联立，可得或， 当坐标为时，直线为，故舍去，此时， 当时，同理可得， 综上所述，的面积为． 19．（本小题满分17分）一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次． （1）已知质点每次向右移动的概率为． ①当，时，求质点最终回到原点的概率； ②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续，直到移动了次．分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小． （2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为，共移动了3次，若最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分．若最终落在了原点右侧，则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数． ①请用含，的式子表示该游戏得分的数学期望； ②若，则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？ 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②时，该游戏得分的期望值最大． 【解析】（1）①质点最终回到原点的情况为：向右走3次，向左走3次， 此时； ②设和时质点最终落在原点右侧的概率分别为，， 当时，第一次必然向右，后两次至少有一次向右， 此时； 当时，共有两种情况， 第一种情况为前2次均向右，后三次至少有一次向右； 第二种情况为第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右， 此时， 因为， 所以； （2）①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左， 此时概率， 设为最终得分， 此时的所有可能取值为0，1，3， 所以，， 则； ②若， 此时， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，该游戏得分的期望值最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$