第7讲 基本不等式（知识清单+2易错+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第7讲 基本不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略应用基本不等式的前提而致错 易错点二 忽略等号成立的条件而致错 题型方法 题型一 基本不等式的理解 题型二 利用基本不等式比较大小 题型三 利用基本不等式求最值之无条件求最值 题型四 利用基本不等式求最值之有条件求最值 题型五 利用基本不等式证明不等式 题型六 利用基本不等式求解实际应用题 题型七 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 知识清单 知识点01基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点02最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 易错分析 【易错点一】忽略应用基本不等式的前提而致错 【例1】（24-25高一上·全国）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，即最小值为1. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 【易错点二】忽略等号成立的条件而致错 【例2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，不等式，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知实数，，，下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作差法可判断A不正确，举反例可判断B和D不正确，根据基本不等式可判断C正确. 【详解】对于A，，当时，，此时不成立，故A不正确； 对于B，当，时，此时不成立，故B不正确； 对于C，因为，，所以由基本不等式可得，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，当，时，此时不成立，故D不正确； 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式依次判断选项即可. 【详解】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·北京延庆·期中）已知，则的最大值是 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应的值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为：； 题型方法 【题型一】基本不等式的理解 【例1】（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 解题技巧 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则 （用表示），由可以得出的关于的不等式为 ． 【答案】 （也可以写作） 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 【题型二】利用基本不等式比较大小 【例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·全国）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 【题型三】利用基本不等式求最值之无条件求最值 【例3】（24-25高一下·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 解题技巧 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 【变式2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式知，， 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【题型四】利用基本不等式求最值之有条件求最值 【例4】（24-25高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 解题技巧 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由条件结合基本不等式求的最值； （2）由条件可得，由此可得，展开结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为，，且， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 即的最大值为； （2）因为正数，满足， 所以， 故 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【题型五】利用基本不等式证明不等式 【例5】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·山东青岛·阶段练习）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 可化成 ，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：∵，∴， ∴ 当且仅当 ，即 时，等号成立. ∴． 故选：B． 【变式2】（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④. 【详解】因为，，， 对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确； 对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误； 对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确； 对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 【变式3】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的基本性质，转化求解证明即可； （2）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 【题型六】利用基本不等式求解实际应用题 【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 解题技巧 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【分析】先设鱼池的一边长为，则另一边唱为，则鱼池与路的占地面积，再根据均值不等式可得总面积最小值. 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 【题型七】利用基本不等式求解有解或恒成立问题 【例7】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】设，根据三角形相似表示出，再用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】如图，设，则， 因为，所以，解得， 所以的面积为， 因为，当且仅当，即时取等， 所以的面积的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 4．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】作差可得，利用基本不等式即可证明. 【详解】 . 因为， 所以. 因为， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一下·贵州遵义·期末）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可对A项判断求解；利用再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得，再结合单位“1”的应用可得，即可对D项判断求解. 【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误； B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确； C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确； D：由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4 【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或（舍） 故答案为：4. 9．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，，，再利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以， 同理可得，， 所以， 即，即. 故答案为：. 10．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 11．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 13．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由基本不等式可得； （2）变形后由基本不等式可得. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. （2）因为且a、b为正数，所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立，故的最小值为16. 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【详解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 15．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【答案】元 【分析】设每天获得的利润为元，则，令，利用基本不等式可得结果. 【详解】设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 基本不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略应用基本不等式的前提而致错 易错点二 忽略等号成立的条件而致错 题型方法 题型一 基本不等式的理解 题型二 利用基本不等式比较大小 题型三 利用基本不等式求最值之无条件求最值 题型四 利用基本不等式求最值之有条件求最值 题型五 利用基本不等式证明不等式 题型六 利用基本不等式求解实际应用题 题型七 利用基本不等式求解有解或恒成立问题 知识清单 知识点01基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点02最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 易错分析 【易错点一】忽略应用基本不等式的前提而致错 【例1】（24-25高一上·全国）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【易错点二】忽略等号成立的条件而致错 【例2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知实数，，，下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·北京延庆·期中）已知，则的最大值是 ，当且仅当 时，等号成立. 题型方法 【题型一】基本不等式的理解 【例1】（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题技巧 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则 （用表示），由可以得出的关于的不等式为 ． 【题型二】利用基本不等式比较大小 【例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【变式3】（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【题型三】利用基本不等式求最值之无条件求最值 【例3】（24-25高一下·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【变式2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 【题型四】利用基本不等式求最值之有条件求最值 【例4】（24-25高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 解题技巧 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2） 若正数，满足，求的最小值； 【题型五】利用基本不等式证明不等式 【例5】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·山东青岛·阶段练习）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 【变式3】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）（1）已知，证明： （3） 已知，证明： 【题型六】利用基本不等式求解实际应用题 【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 解题技巧 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【变式3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【题型七】利用基本不等式求解有解或恒成立问题 【例7】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 3．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 二、多选题 6．（24-25高一下·贵州遵义·期末）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 9．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 10．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 11．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 四、解答题 12．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 13．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 15． （24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$