重难点07 探究与表达规律-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点07 探究与表达规律 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、数列的规律 2 题型2、数表的规律 4 题型3、算式的规律 7 题型4、四则运算类的规律 10 题型5、图形的规律（一次型） 11 题型6、图形的规律（二次型） 13 题型7、图形的规律（指数型） 16 题型8、周期循环规律 18 基础通关 20 拓展提优 25 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量. 所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多. 对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律. 而数学规律，多数是函数的解析式. 函数的解析式里常常包含着数学运算. 因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子. 所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力. 一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律. 解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律. 有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有 时还需要先局部看，再整体找规律。 题型1、数列的规律 【解题技巧】把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 例1．（2025·西藏日喀则·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 例2．（24-25七年级上·北京·期中）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数（为正整数）应该是（    ） A． B． C．当为奇数时： ；当为偶数时： D． 例3．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的多项式：，，，，，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级上·四川南充·期中）观察下面三行数 ，4，，16，，64 0，6，，18，，66 ，2，，8，，32 (1)第一行数的第8个数是 ，第n个数是 ； (2)第二行数的第n个数是 ，第三行数的第n个数是 ； (3)取每行中的第9个数，计算这个三数的和． 变式1．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 变式2．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，81，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·云南临沧·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 变式5．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…． 取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（    ） A．147 B．126 C．107 D．92 题型2、数表的规律 【解题技巧】观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步。 例1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ）                   ……第一排               ……第二排            ……第三排             ……第四排 A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·福建宁德·期中）“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在学校举办的文化节上，设置了一个数字闯关游戏．工作人员用卡片摆出了如下三角形数阵：游戏规则是参与者需要找出指定位置的数字．现在问，按照这样的排列规律，第11行从左往右数第6个数是（   ） 第1行：1 第2行：2  3 第3行：4  5  6 第4行：7  8  9  10 …… A．61 B．62 C．63 D．64 例4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 变式1．（2025·江西萍乡·二模）将正偶数按如下规律排列，则数字100在（    ） A．第8排 B．第9排 C．第10排 D．第11排 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，那么的值是 ． 变式3．（24-25七年级上·山东滨州·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 变式4．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    变式5．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    题型3、算式的规律 【解题技巧】用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误。 例1．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）【观察思考】 ； ； ； ； …… 【尝试探索】 （1）将写成6个连续奇数的和：___________； 【规律表达】 （2）任意大于1的正整数的三次幂可以写成个连续奇数的和，则这个连续奇数中最大的数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【规律应用】 （3）若可以写成个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求的值． 例3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为 ． 变式2．（2025·福建厦门·模拟预测）观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式： ． 变式3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）探索规律：， ， 根据规律，回答下列问题． (1)_____； (2)_____； (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的个位数字． 变式4．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 变式5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列各式： ；；；；… 回答下面的问题：(1)猜想______； (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值； 题型4、四则运算类的规律 例1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 例2．（23-24七年级上·广西钦州·期末）已知，，，，观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 例3．（2025·山东济宁·二模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 变式3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； …… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 题型5、图形的规律（一次型） 【解题技巧】图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱。 例1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，第①个图案由根火柴棒摆成，第②个图案由根火柴棒摆成，第③个图案由根火柴棒摆成，，按照这种方式摆下去，摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·重庆·模拟预测）“”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为 （结果用含n的式子表示）． 例4．（2025九年级下·江西·学业考试）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用了（   ）个正方形. A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 变式2．（2025·黑龙江大庆·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要 根小木棒． 变式3．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 变式4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 题型6、图形的规律（二次型） 【解题技巧】1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 例1．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有9个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有25个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中的圆点个数是（   ） A．36 B．49 C．64 D．81 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·北京·期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去： 摆成第⑤个图案需要棋子的个数为 ； 摆成第n个图案需要棋子的个数为 ； 例4．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 变式2．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为 ． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 变式4．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 题型7、图形的规律（指数型） 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱。 例1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 例2．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 例3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 变式2．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 变式3．（2023·安徽安庆·二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：    (1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整： 图1 图2 图3 图4 ○的个数 3 9 21 ______ ▲的个数 1 4 10 ______ (2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）． 题型8、周期循环规律 【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层。 例1．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，若他能准确数到2025，则此时对应的手指是（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（    ） A．大拇指 B．食指 C．中指 D．小指 例2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为 ． 例3．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 例4．（2025·山东滨州·二模）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2025年是“乙巳”年，那么据此推算，2225年用天干地支纪年法对应的年份是（    ）年 A．乙巳 B．庚未 C．乙丑 D．丙戌 例5．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 变式1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）设一列数，，，…，，…中任意三个相邻的数之和都是，已知，，，那么的值是 ． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）1−9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求的个位数字是 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前个数中，奇数的个数为（　　） A． B． C． D． 变式4．（2025·河北沧州·二模）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 变式5．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）据相关资料记载，任取一个以内的正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后得到1． 那么数23，经过十次运算得到的结果是 ；若经过六次运算后，第一次得到1，则数的值是 ． 1．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 2．（2025·云南昆明·一模）观察下列各式：①，②，③，④…，则第n个式子为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成解答．若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则168的位置是 ． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（   ） A． B．90 C． D．91 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ． 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）观察下列等式． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)请写出第个等式：______；（（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 9．（2025·山东聊城·三模）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 10．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（   ）． A．39 B．44 C．49 D．54 12．（2025·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，能组成结构最简单的芳香烃，且能合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要 根小木棒．（用含n的代数式表示） 13．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（    ）    A．56 B．58 C．63 D．74 14．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）    A．40 B．49 C．50 D．52 15．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则的值为 ． 16．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 17．（24-25七年级下·福建三明·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 18．（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·江苏扬州·二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·重庆垫江·期末）如图所示是按照一定规律排列的一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形……按此规律，图形⑥中共有n个小三角形，这里的n的值是（　　） A．31 B．32 C．33 D．34 2．（24-25七年级上·重庆·期中）将一些五角星按照如图所示的规律进行排列，按照这个规律，第7个图形中有（   ）五角星 A．31 B．43 C．57 D．61 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）计算的结果的末位数字是 ． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在2024年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在A，B，C三个盘子里分别放了一些小球，，，记为．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．若，则 ， ． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 7．（2024·山西朔州·模拟预测）观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有15根小棍，第3个图形有27根小棍…，则第10个图形中有 根小棍． 8．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明研究如下的数学问题：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减最小的数，得到差，重复以上过程……最终得到了一个常数，请写出小明得到的常数是 ；小颖深受启发，改为探究任意三位数除以它的各位数字之和的商的情况，发现最小的商数是m，则m= ． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，某班20名男生按学号顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中同学开始，沿顺时针方向，按依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下19人，第一轮结束；从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下18人，第二轮结束；如此下去．若第四轮结束时，学号为11的同学退出游戏，则同学的学号是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，则最后留下的同学编号较小的是（    ） A．3 B．252 C．243 D．498 12．（2025·山东日照·三模）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1～80的80盏灯，分别对应着编号为1～80的80个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”，现有80个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第80个人把所有编号是80的整数倍的开关按一次，问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 探究与表达规律 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、数列的规律 2 题型2、数表的规律 8 题型3、算式的规律 15 题型4、四则运算类的规律 24 题型5、图形的规律（一次型） 30 题型6、图形的规律（二次型） 35 题型7、图形的规律（指数型） 41 题型8、周期循环规律 46 基础通关 53 拓展提优 66 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量. 所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多. 对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律. 而数学规律，多数是函数的解析式. 函数的解析式里常常包含着数学运算. 因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子. 所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力. 一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律. 解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律. 有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有 时还需要先局部看，再整体找规律。 题型1、数列的规律 【解题技巧】把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 例1．（2025·西藏日喀则·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分母是连续的奇数．据此求解即可． 【详解】解：∵、、、、、 ∴按此规律排列的第个数是， 故答案为：． 例2．（24-25七年级上·北京·期中）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数（为正整数）应该是（    ） A． B． C．当为奇数时： ；当为偶数时： D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知数列可得第奇数个数为负数，第偶数个数为正数，第个数可表示为，据此即可求解，由已知数列找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数列可知，第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， ∵，，，，， ∴第个数可表示为， 即当为奇数时： ；当为偶数时：， 故选：． 例3．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 例4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的多项式：，，，，，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是寻找多项式的规律的知识，解题关键是通过归纳总结从特殊到一般找到规律． 从两个方面（系数、指数）总结规律，即可求解． 【详解】解：通过观察即可发现： 的系数规律为：， 的指数的规律为：， 的系数规律为：， 的指数的规律为：， 综合后，第个多项式为：． 故选：． 例5．（24-25七年级上·四川南充·期中）观察下面三行数 ，4，，16，，64 0，6，，18，，66 ，2，，8，，32 (1)第一行数的第8个数是 ，第n个数是 ； (2)第二行数的第n个数是 ，第三行数的第n个数是 ； (3)取每行中的第9个数，计算这个三数的和． 【答案】(1)256， (2)， (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据第个数归纳类推出一般规律，再求出当时的数，由此即可得； （2）观察发现，第二行中的每一个数正好等于第一行中对应位置上的每一个数加上2；第三行中的每一个数正好等于第一行中对应位置上的每一个数除以2，由此即可得； （3）分别求出当时的数，再相加求和即可得． 【详解】（1）解：在第一行中，第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 归纳类推得：第个数为， 则第一行数的第8个数是， 故答案为：256，． （2）解：在第二行中，第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 则由（1）可知，第二行数的第个数是； 在第三行中，第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 则由（1）可知，第三行数的第个数是； 故答案为：，． （3）解：由上可知，第一行中的第9个数为， 第二行中的第9个数为， 第三行中的第9个数为， 则， 答：取每行中的第9个数，这个三数的和为． 变式1．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 【详解】解：，，，，…， 这组数为：，，，…， 这一组数的第个数是，第个数是， 故答案为：，． 变式2．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，81，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…， ∴偶数位置上的数都是1，奇数位置上的数分别是，9，，81，…， ∴第k个奇数为，∴第15个数是第8个奇数，为．故选C． 变式3．（2025·云南临沧·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 变式4．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， …… 依此类推，第n个多项式为． 故选：D． 变式5．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…． 取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（    ） A．147 B．126 C．107 D．92 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化之类的问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律． 观察第二行可知第个数为：，第一行的第个数为第2行第个数的2倍减1，从而得到答案． 【详解】解：设第一行第个数为，第二行第个数为， 观察第二行可知第个数为：， ∴第二行可知第个数为：， ∵第一行的第个数为第2行第个数的2倍减1，即， ∴第一行的第8个数为：， ∵， ∴取每行数的第8个数，计算这两个数的和是， 故选：C． 题型2、数表的规律 【解题技巧】观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步。 例1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ）                   ……第一排               ……第二排            ……第三排             ……第四排 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由图可知，每排的数字个数就是排数，且奇数排从左到右，数字由小到大，偶数排从右到左，数字由小到大，前排数字的总数为，据此解答即可求解，找出数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，每排的数字个数就是排数，且奇数排从左到右，数字由小到大，偶数排从右到左，数字由小到大，前排数字的总数为， 当时，总数为；时，总数为， ∵， ∴在第排， ∵第排为偶数排，起始数=前5排总个数， ∴该排数为， ∴是第排的第个数， ∴表示的有序数对是， 故选：． 例2．（24-25七年级下·福建宁德·期中）“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 例3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在学校举办的文化节上，设置了一个数字闯关游戏．工作人员用卡片摆出了如下三角形数阵：游戏规则是参与者需要找出指定位置的数字．现在问，按照这样的排列规律，第11行从左往右数第6个数是（   ） 第1行：1 第2行：2  3 第3行：4  5  6 第4行：7  8  9  10 …… A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，观察已有的三角形数阵，得出第1行有1个数，第2有2数，第3有3数，以此类推，得出第1行到第10行，一共有个数，结合三角形数阵的数从开始，且每个数是连续递增1的，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即第1行到第10行，一共有个数， 且观察三角形数阵的数从开始，且每个数是连续递增1的， 即， ∴第11行从左往右数第6个数是61， 故选：A 例4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 【答案】 31 【分析】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键． 先找出第一列每一行的规律，再找出第一行每一列规律，观察然后再找出第行，第列是第 1 行，第列与第行，第 1 列两数和的一半，然后求第6行，第6列的数字即可． 【详解】解：第一列各行数为， 第一行各数为， 第 1 行，第列的数字为，第行，第 1 列的数字为， 第行，第列的数字为． ∴第6行，第6列的数字为， 故答案为：． 变式1．（2025·江西萍乡·二模）将正偶数按如下规律排列，则数字100在（    ） A．第8排 B．第9排 C．第10排 D．第11排 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：，根据是第50个数，结合，，即可得到答案． 【详解】解：由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：， ∵， ∴是第50个数， ∵，， ∴100在第10排， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据得到， 计算，，代入计算即可． 本题考查了图形的规律计算，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 故，， 故， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·山东滨州·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 变式4．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    【答案】 【详解】解：根据题目中给出数的特点，第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为， ∴第6行第1个数为，第6行第2个数为 ， ∴第六行第三个数表示的是．故答案为：． 变式5．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 题型3、算式的规律 【解题技巧】用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误。 例1．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律． 先求出规律，再计算即可． 【详解】∵； ； ； …… ； ， 当时， ∴． 故选：A． 例2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）【观察思考】 ； ； ； ； …… 【尝试探索】 （1）将写成6个连续奇数的和：___________； 【规律表达】 （2）任意大于1的正整数的三次幂可以写成个连续奇数的和，则这个连续奇数中最大的数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【规律应用】 （3）若可以写成个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的规律， 根据题目给出的规律得到相应的表达式是解题的关键； （1）根据题目给出的规律，可以发现每个正整数的三次幂可表示为个连续奇数的和，推导这些奇数的起始数，起始数是； （2）推导出最大数的表达式，最大数是； （3）根据最大数表示，根据，先大约猜出在45附近取值，即可得到结果； 【详解】解：（1）∵起始数是， ∴当时，起始数为：31， ∴． 故答案为：； （2）由最大数是化简为； 故答案为：； （3）∵， ∴． 例3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查找规律，有理数的混合运算，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键． （1）观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子； （2）直接用算式的规律计算出算式的结果即可． 【详解】（1）解： ， 所以用含有字母n的式子表示规律：， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；；；…… 观察上述等式，可得规律为， ∴，故选：A． 例5．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 【答案】(1) (2)2500 (3)1500 (4)14，91 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）把变形为，然后利用（2）中规律求解即可； （4）根据图①、②、③中正方形个数发现规律为：在的大正方形网格中包含个正方形，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意推导一般性规律即可． 【详解】解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为：， 故答案为：． 变式2．（2025·福建厦门·模拟预测）观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，两个两位数相乘，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等，据此求解即可． 【详解】解：①，，即； ②，即； ③，即； ……， 以此类推，可知，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等， ∴满足题意得式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）探索规律：， ， 根据规律，回答下列问题． (1)_____； (2)_____； (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的个位数字． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，乘方的末位数字规律，尾数特征，解题的关键是从简单情形入手，发现规律，解决问题． （1）根据题目中给出的规律进行计算即可； （2）根据题干给出的规律进行计算即可； （3）令，，则，根据，得出，即可得出答案； （4）先求出，的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是3……，得出的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环，求出的末位数字是7，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为： （3）解：令， 则， ∴， ∴， ∴； （4）解：解：∵， ∴ ， ∴ 的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是3……， ∴的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环， ， ∴的末位数字是7，的末位数字是3 变式4．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 变式5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列各式： ；；；；… 回答下面的问题：(1)猜想______； (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值； 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：，， ，，， 由上述规律可得：，故答案为：； （2）解：根据（1）中的规律可得： ，故答案为：． 题型4、四则运算类的规律 例1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，数字规律． （1）直接根据题干计算即可； （2）计算的值，进而判断即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知， ， ， ； （3）解：， ． 例2．（23-24七年级上·广西钦州·期末）已知，，，，观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 【答案】41 【分析】本题考查了数字变化规律，观察分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，依次减个数相乘是解题的关键． 根据已知的三个等式得．对于来讲，等于一个分式，其中分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，依次减个数相乘． 【详解】解：， ， 故答案为：41． 例3．（2025·山东济宁·二模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2026次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了规律－数字变化类．根据规律分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数都为5，从而求得第2026次操作后所有数之和，即可解答． 【详解】解：∵依次排列的3个数：5，12，10，产生一个新数串：5，7，12，，10 ∴ 即第一次操作增加， ∵数串：5，7，12，，10操作后产生一个新数串：5，2，7，5，12，，，12，10 ∴， 即第二次操作增加， 依次类推，每次操作加5， 则第2026次操作后所有数之和为． 故答案是：． 例4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类规律、有理数的混合运算等知识点，找到数字的变化规律是解题的关键． 现把分子进行拆项，再进行整体拆项再求和即可解答． 【详解】解：①： ， ， ……， ∴； ② ． 故答案为：，． 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现所得新数组的和依次增加是解题的关键．根据所给操作方式，依次求出每次操作后所得数组的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； ， 所以第次操作后，所得新数组的和为． 当时， ， 即第次操作后，所得新数组的和为． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； …… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 【答案】D 【分析】本题考了有理数的混合运算、数字类规律探索、有理数的大小比较，由题意得出规律第个数为，再求出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数，比较即可得解． 【详解】解：第1个数：； 第2个数： ； 第3个数： ； …， ∴第个数：， ∴第10个数为、第11个数为、第12个数为、第13个数分别为； ∵， ∴最大的数是第13个数， 故选：D． 题型5、图形的规律（一次型） 【解题技巧】图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱。 例1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，第①个图案由根火柴棒摆成，第②个图案由根火柴棒摆成，第③个图案由根火柴棒摆成，，按照这种方式摆下去，摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，代数式求值，熟练找到题中图形变化的规律是解题的关键．依次求出前几个图形中火柴棒的根数，根据发现需要的火柴棒的根数依次增加的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 摆第①个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第②个图案需用的火柴棒的根数为：； 摆第③个图案需用的火柴棒的根数为：； ， 所以摆第个图案需用的火柴棒的根数为根； 所以摆第⑥个图案需用火柴棒的根数为． 故选：B． 例2．（2025·重庆·模拟预测）“”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】第①个图案中有（个）， 第②个图案中有（个）， 第③个图案中有（个）， 第④个图案中有（个）， ∴第个图案中有个， ∴第⑧个图案中“”的个数为． 故选：A． 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为 （结果用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探究．先本每个图形的火柴棒的数量研究其规律，再总结出第n个图案用根火柴棒，即可作答． 【详解】解：∵第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒…… ∴第1个图案：， 第2个图案， 第3个图案， …… ∴第n个图案用根火柴棒． 故答案为：． 例4．（2025九年级下·江西·学业考试）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故选：B． 变式1．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用了（   ）个正方形. A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，寻找规律列出代数式是解题的关键． 根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有4个正方形； 第2个图案中有个正方形； 第3个图案中有个正方形； 第4个图案中有个正方形； …… 第个图案中有个正方形； 故第2025个图案中有个正方形， 故选：D． 变式2．（2025·黑龙江大庆·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要 根小木棒． 【答案】81 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故答案为：81． 变式3．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律即可求解． 先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 变式4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知第n个图形比第个多3个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：由图形可得， 第①个图形：个三角形， 第②个图形：个三角形， 第③个图形：个三角形， ……， 以此类推可得第个图形有个三角形， ∴第⑨个图形有个三角形， 故选：B． 题型6、图形的规律（二次型） 【解题技巧】1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 例1．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有9个圆点，第③个图中有16个圆点，第④个图中有25个圆点……按照这一规律，则第⑦个图中的圆点个数是（   ） A．36 B．49 C．64 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可得第个图中有个圆点，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， 第④个图中有个圆点， ……， 以此类推，可得第个图中有个圆点， ∴第⑦个图中的圆点个数是， 故选：C． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化规律的探究，解题关键是找到各图形中“”的个数的变化规律．由已知图形得出“”的个数是从1到序数连续整数的和，据此可得答案． 【详解】解：第一个图形有1个“”， 第二个图形有个“”， 第三个图形有个“”， ， 第个图形有个“”， 故选：B． 例3．（24-25七年级上·北京·期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去： 摆成第⑤个图案需要棋子的个数为 ； 摆成第n个图案需要棋子的个数为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第个图案需要黑色棋子个数为是解题的关键． 根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为：，即可求解． 【详解】解：由图知，第①个图案中棋子的个数为， 第②个图案中棋子的个数为， 第③个图案中棋子的个数为， 第④个图案中棋子的个数为， ， ∴第⑤个图案中棋子的个数为； ∴第个图案需要棋子个数为． 故答案为：，． 例4．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 【答案】C 【分析】本题考查图形的变换规律；根据图形得出第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 根据图形的排列规律得到：除去上面的2个圆，其余下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是个； 所以第8个图形中圆的个数个． 故选：C． 变式2．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，仔细观察图形并找到图形变化的规律是解题的关键． 仔细观察图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 故答案为：45． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 【答案】132 【分析】此题考查的是探索规律题，找出变化规律并归纳公式是解决此题的关键． 据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论． 【详解】解：第1个图形一共有个花盆； 第2个图形一共有个花盆； 第3个图形一共有个花盆； ∴第n个图形一共有个花盆； ∴第10个图形中花盆的个数为， 故答案为：． 变式4．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑧个图形中棋子的颗数也就容易计算了． 【详解】解：∵第①个图形中棋子的个数为： 第②个图形中棋子的个数为： 第③个图形中棋子的个数为： … ∴第个图形中棋子的个数为： 则第⑧个图形中棋子的颗数为： 故选：D． 题型7、图形的规律（指数型） 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱。 例1．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，n是大于2的正整数，据此规律可得，再根据半圆周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ……， 以此类推可得，，n是大于2的正整数， ∴， ∴以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为， 故选：B． 例2．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为 ． 【答案】729 【分析】本题考查了图形类规律探究，先根据给出的图②和图③找出出现“1”的规律，然后根据规律即可得解． 【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0， 前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个）， 同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个）， 前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个）， 前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍，即前64行中“1”的个数为（个）， 故答案为：729． 例3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 【答案】 【详解】解：第1个图中三角形的个数为； 第2个图中三角形的个数为；第3个图中三角形的个数为； 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是3的几次方， 按照这个规律，第个图形中共有三角形的个数为．故答案为：． 变式2．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 变式3．（2023·安徽安庆·二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：    (1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整： 图1 图2 图3 图4 ○的个数 3 9 21 ______ ▲的个数 1 4 10 ______ (2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)45，22 (2)图n中，○的个数，▲的个数． 【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果； （2）根据（1）即可得到规律． 【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数， 图2，○的个数，▲的个数， 图3，○的个数，▲的个数， 图4，○的个数，▲的个数， 故答案为：45，22； （2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数． 【点睛】本题主要考查探求规律的问题，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键． 题型8、周期循环规律 【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层。 例1．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，若他能准确数到2025，则此时对应的手指是（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）（    ） A．大拇指 B．食指 C．中指 D．小指 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据所给图形，发现各数与手指之间的对应关系即可解决问题．能根据所给规则发现从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 从数字1开始，它们依次与：大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指对应， 除第一轮是五个手指一轮外，后面都是四个手指一轮， 因为， 所以数到2025刚好是506轮，为偶数轮， 则2025对应的是大拇指． 故选：A． 例2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为 ． 【答案】 【分析】先计算、、、、、、、，找到规律，通过规律得结论． 本题考查了新定义运算，掌握新定义运算的规定，找到的值的规律是解决本题的关键． 【详解】解：，，，， ，，，， 通过上面的计算不难发现：的值以为周期循环，即，，，为整数． ，， ． 故答案为：． 例3．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 例4．（2025·山东滨州·二模）天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2025年是“乙巳”年，那么据此推算，2225年用天干地支纪年法对应的年份是（    ）年 A．乙巳 B．庚未 C．乙丑 D．丙戌 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， ， 则，则2225年的天干为乙， 余8 ，则2225年的地支为丑， 则2225年是乙丑年， 故选：C． 例5．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 变式1．（24-25六年级下·山东淄博·期中）设一列数，，，…，，…中任意三个相邻的数之和都是，已知，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索，解题的关键是得出循环周期． 根据已知条件得出循环周期，从而可得，，解方程可得，从而可得，即可得的值． 【详解】解：∵数列，，，…，中任意三个相邻的数之和都是， ∴， ∴， 同理，， 即数列，，，…，每三个数一循环， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）1−9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，找出其中的规律是解本题的关键． 根据 （n是正整数）的个位数字按3，9，7，1，…的规律变化，依此类推，结果个位数字是以3，9，7，1，…循环的，由2025除以4余1，得到结果个位上数字为3． 【详解】解：通过观察可以发现，（n为正整数）的个位数字的规律是：3，9，7，1，…每4次一循环，依次为3，9，7，1， ∵ ∴的个位数字是3， 故答案为：3． 变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前个数中，奇数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可知每个数为一组，每一组前个数为奇数，第个数为偶数，据此解答即可求解，由数列发现变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可以发现每个数为一组，每一组前个数为奇数，第个数为偶数， ∵， ∴前个数共有组， ∴奇数的个数为， 故选：． 变式4．（2025·河北沧州·二模）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年为庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 变式5．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）据相关资料记载，任取一个以内的正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后得到1． 那么数23，经过十次运算得到的结果是 ；若经过六次运算后，第一次得到1，则数的值是 ． 【答案】 5 64或10 【分析】本题考查了新定义和数的规律的知识．根据题干的方法，利用有理数的运算法则，计算出正确结果即可；根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【详解】解：数23经过第1次运算得到数， 经过第2次运算得到数， 经过第3次运算得到数， 经过第4次运算得到数， 经过第5次运算得到数， 经过第6次运算得到数， 经过第7次运算得到数， 经过第8次运算得到数， 经过第9次运算得到数， 经过第次运算得到数； 利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2； 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4； 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8； 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：5；10或64． 1．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 【答案】 28 【详解】解：（1）观察可知：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，且：， ∴第个数是，第个数（为正整数）是；故答案为：，； （2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，且：， ∴第个数是； 第个数（为正整数）是；故答案为：28，． 2．（2025·云南昆明·一模）观察下列各式：①，②，③，④…，则第n个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知每个多项式分为两项，第一项的系数为序号的平方，字母为a，字母的指数为1，第二项的系数，偶数项为正1，奇数项系数为负1，字母为b，字母的指数为3开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④…， 以此类推，可知第n个式子为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成解答．若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则168的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据数表可知第行的最后一个数为，每一行有个数，进而求出168的位置即可． 【详解】解：观察数表可知，每一行的最后一个数为：， 当时，， 当时，， ∵， ∴在第18行，第15个数， ∴168的位置是； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（   ） A． B．90 C． D．91 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先找到规律前n行共有个数，进而得到第10行从左边数第9个数是第90个数，再找到规律当k为奇数时，第k个数是，当k为偶数时，第k个数为，据此可得答案． 【详解】解：第一行有1个数， 前两行有个数， 前三行有个数， 前四行有个数， ……， 以此类推，前n行共有个数， ∴前9行一共有个数， ∴第10行从左边数第9个数是第90个数， 观察可知，当k为奇数时，第k个数是，当k为偶数时，第k个数为， ∴第10行从左边数第9个数是， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 【答案】C 【详解】解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始， 第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始， 故选：C． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ． 【答案】651 【分析】解答此题的关键是根据图找出拐弯外数的数与次数的规律，然后再根据规律解答． 第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…可以得到n个拐弯处的数．当n为奇数时，；当n为偶数时，．第50次为偶数，代入即可计算出此处拐弯处的数． 【详解】解：由分析可知，第50次拐弯处的数为： ． 故答案为：651． 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）观察下列等式． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)请写出第个等式：______；（（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第5个等式：； （2）解：∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：， … ∴； （3）解：原式 ． 9．（2025·山东聊城·三模）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】143 【分析】本题考查了数字类的变化规律，找出每一次操作比前一次操作所增加的数之和是解题的关键．根据题意可知，每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5，据此即可求解． 【详解】解：第一次操作增加的数为7和，增加的数之和为， 第二次操作比第一次操作增加的数为5，2，，9，增加的数之和为， …… 依次操作下去，每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5， 操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是． 故答案为：143． 10．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（   ）． A．39 B．44 C．49 D．54 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中所用木棍的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案用的木棍根数为：； 第②个图案用的木棍根数为：； 第③个图案用的木棍根数为：； …， 所以第n个图案用的木棍根数为根． 当时，（根）， 即第⑦个图案用的木棍根数为39根． 故选：A． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，能组成结构最简单的芳香烃，且能合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要 根小木棒．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了图形规律的探索与列代数式；规律是：个数每增加一个，小木棒增加7根，由此即可得第n个图形需要的小木棒数． 【详解】解：第1个图形需要小木棒数为：， 第2个图形需要小木棒数为：， 第3个图形需要小木棒数为：， …… 第n个图形需要小木棒数为：，即； 故答案为：． 13．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（    ）    A．56 B．58 C．63 D．74 【答案】D 【分析】此题考查图形的规律探究，由题意可知：第一个图形有个小圆，第二个图形有个小圆，第三个图形有个小圆，第四个图形有个小圆由此得出，第个图形的小圆数量个，由此得出答案即可． 【详解】解：第一个图形的小圆数量； 第二个图形的小圆数量； 第三个图形的小圆数量； 第个图形的小圆数量个， 则第8个图形的小圆数量个 故选：D． 14．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）    A．40 B．49 C．50 D．52 【答案】B 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题． 【详解】观察图形可知， 第1个图形共有圆点个； 第2个图形共有圆点个； 第3个图形共有圆点个； 第4个图形共有圆点个； …； 第n个图形共有圆点个； ∴第8个图案中共有圆点的个数是． 故选：B． 15．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了图形变换规律，根据所给图形得到第个图案中点的个数和三角形的个数，再组合题意即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知： 第个图案中点的个数为：， 第个图案中点的个数为：， 第个图案中点的个数为：， ， ∴第个图案中点的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， 第个图案中三角形的个数为：， ， ∴第个图案中三角形的个数为：， ∵第个图案中，三角形的个数是点个数的3倍， ∴， 解得：或， ∵为正整数， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， 第2025次输出的结果是4， 故选：B 17．（24-25七年级下·福建三明·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 【答案】C 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用25分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2025年为第25年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2025年的天干从0开始数，第5个是乙，2025年的地支与2001年的地支一样，都是数字是9， 2025年对应的天干为乙，地支为巳， 故2025年为乙巳年， 故选：C． 18．（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了探数字的变化规律，根据运算规律可知个位数分别为：，，，，，，，每个数一组进行循环，因为，所以个位数之和应是，所以它们的和的个位数是． 【详解】解：，，，，，，， 可知个位数分别为：，，，，，，， 每个数一组进行循环， ， ， ， 的和的个位数字是． 故选：D． 19．（2023·江苏扬州·二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和求得到分别是多少，即可找出规律，求得答案. 【详解】解：任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，， ，，，，，. 每6个数为一循环，且6个数的和为0， . 故选：B. 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力.涉及到有理数的加法法则，解题的关键在于分析题意，找到规律并进行推导. 1．（24-25八年级下·重庆垫江·期末）如图所示是按照一定规律排列的一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形……按此规律，图形⑥中共有n个小三角形，这里的n的值是（　　） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键． 设图形中三角形的个数是为正整数），列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律第个图形三角形个数为，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设图形中三角形的个数是为正整数）， ， ， ， ， ． ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）将一些五角星按照如图所示的规律进行排列，按照这个规律，第7个图形中有（   ）五角星 A．31 B．43 C．57 D．61 【答案】B 【详解】解：由所给图形可知：第1个图形中五角星的个数为：； 第2个图形中五角星的个数为：；第3个图形中五角星的个数为：； 所以第n个图形中五角星的个数： 当时，（个）， 即第7个图形中五角星的个数为43个故选：B． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）计算的结果的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查乘方有关的规律，先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出的末位数字． 【详解】解：， ∵末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是， ∴的末位数字是，，，四个数字循环， ∵， ∴末位数字是， 即的结果的末位数字是， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在2024年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在A，B，C三个盘子里分别放了一些小球，，，记为．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据题意先列出前10个数列，得出从开始每3次为一个周期循环的规律，据此可得答案． 【详解】解： ， ，，， ，，， ，，， ……， 从开始每3次为一个周期循环， ， ， 故答案为：，． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个．故选：D 7．（2024·山西朔州·模拟预测）观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有15根小棍，第3个图形有27根小棍…，则第10个图形中有 根小棍． 【答案】195 【分析】本题考查了图形规律探索：先观察第1、2、3这三个图形，得出第个图形的小棍的数量是，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：结合图形，得出 第1个图形的小棍的数量是； 第2个图形的小棍的数量是， 第3个图形的小棍的数量是， 以此类推： 得出第个图形的小棍的数量是， ， ， 当时，则， 故答案为：195． 8．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明研究如下的数学问题：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减最小的数，得到差，重复以上过程……最终得到了一个常数，请写出小明得到的常数是 ；小颖深受启发，改为探究任意三位数除以它的各位数字之和的商的情况，发现最小的商数是m，则m= ． 【答案】 495 11 【分析】此题考查数字的规律运算，正确理解题意通过计算发现规律并运用解题是关键. 【详解】解：（1）任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，最多五步必得495，如123；； 任意三位数除以它的各位数字之和的商的情况，要有最小的商数， ∴这三位数最小，它们的各位数字之和最大， ∴百位为1，则各位数字之和最大为：，即（商为整数，舍去） 则当各位数字之和最大为：，即，或（商为整数，舍去） 故答案为：495   11. 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，某班20名男生按学号顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中同学开始，沿顺时针方向，按依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下19人，第一轮结束；从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下18人，第二轮结束；如此下去．若第四轮结束时，学号为11的同学退出游戏，则同学的学号是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了数字类规律题和一元一次方程的应用，设第一轮第一位报数同学的学号是a，共20人，依次进行运算即可得到答案． 【详解】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a，共20人， 则第一轮报号20的同学学号为， ∴第二轮第一个报号的同学学号仍为a，共19人， 则第二轮报号20的同学学号为， ∴第三轮第一个报号的同学学号为，共18人， 则第三轮报号20的同学学号为， ∴第四轮第一个报号的同学学号为，共17人， 则第四轮报号20的同学学号为， ∵在第四轮中，恰好学号11的同学退出游戏， ∴， ∴， 故选：C． 11．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，则最后留下的同学编号较小的是（    ） A．3 B．252 C．243 D．498 【答案】C 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先分析得到经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；由，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意第一轮剩下： ，，，，，， 第二轮剩下： ，，，， ∴经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为； ∵，即， ∴当圆圈只剩两个人时，， ∴这两个同学的编号为． 故选C． 12．（2025·山东日照·三模）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1～80的80盏灯，分别对应着编号为1～80的80个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”，现有80个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第80个人把所有编号是80的整数倍的开关按一次，问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】8 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类．分析各号开关被按的次数，可得出n号开关被按的次数等于n的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则n一定是平方数．结合，，可得出80以内共有8个平方数，即最终状态为“亮”的灯共有8盏． 【详解】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…， ∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数， ∴约数个数是奇数，则n一定是平方数． ∵，， ∴80以内共有8个平方数， ∴最终状态为“亮”的灯共有8盏． 故答案为：8． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$