专题01 等式的性质与方程的解集五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题01 等式的性质与方程的解集 题型一：等式的性质与应用 题型二：恒等式的化简 题型三：因式分解 题型四：一元一次方程的解集 题型五：因式分解法解一元二次方程的解集 题型一：等式的性质与应用 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：C. 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 3．约分： ． 【答案】 【分析】根据给定条件，约去公因式即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 4．若，则= ． 【答案】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积，由等积式化为比例式即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 5．.( ) 【答案】错误 【分析】利用等式的性质即可判断. 【详解】若，则； 若，当时，当时不一定相等， 故答案为：错误. 题型二：恒等式的化简 6．（多选）下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用平方差公式和十字相乘法、完全平方公式即可逐一判断. 【详解】对于A，利用平方差公式易得，故A正确； 对于B，运用十字相乘法可得，故B错误； 对于C，因，故C错误； 对于D，运用十字相乘法可得，故D正确. 故选：BC. 7．计算时用到的乘法公式为： .（用表示） 【答案】 【分析】根据完全平方公式分析判断. 【详解】计算时用到的乘法公式为. 故答案为：. 8．阅读理解题： 拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：， 根据上述论法和解法， (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合题设中的公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，得到 . （2）解：由题意，可得 . （3）解：由题意，可得 . 9．已知，求的值． 【答案】36 【分析】根据已知条件化简得出，再化简求解. 【详解】由知， 故两边同除以得． 原式． 10．已知实数和满足，且 ，求的值． 【答案】 【分析】根据题给条件可得的值，再结合题给条件，即可求立方差的值. 【详解】由，平方得：，所以. 结合，则，. 则． 题型三：因式分解 11．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义来逐一进行判断. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，分解不彻底，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：C. 12．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】各选项因式分解得到结果，即可判断. 【详解】对于A：原式，故A错误； 对于B：原式，故B错误； 对于C：原式，故C错误； 对于D：原式，故D正确. 故选：D 13．将下列多项式分解后，有相同因式的多项式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】令多项式中，则多项式的值为0，逐项检验可得. 【详解】若含有因式，则令多项式中，则多项式的值为0，检验得①③⑤⑥成立. 故选：C. 14．把分解因式所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由十字相乘法求解可得. 【详解】 原式. 故选：C. 15．若多项式有一个因式是，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘法以及多项式相等的条件，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，解得. 故选：A. 16．将因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】根据因式分解结合立方差及平方差公式计算求解. 【详解】． 故答案为：. 17．分解因式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据十字相乘法，对一元二次式进行因式分解. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 18．把下列各式因式分解. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用十字相乘法分解因式. （3）利用十字相乘法及公式法分解因式即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式. 19．分解因式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用十字相乘法或者提取公因式法进行因式分解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） 20．已知有因式，把它分解因式. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分组分解法及十字相乘法分解因式即得. 【详解】由有因式， 得 . 题型四：一元一次方程的解集 21．若直线的图象经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数解析式，即可得出答案. 【详解】由直线的图象经过点，得， 所以，方程的解为. 故选：C 22．如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是 . 【答案】2 【分析】根据函数图象的交点与方程的解之间的关系即可得结果. 【详解】因为一次函数和正比例函数的图象交于点， 所以关于的一元一次方程的解是. 故答案为：2． 23．若关于的方程无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据一次方程的根的特征列式求解即可. 【详解】关于的方程无解，即方程无解， 所以，所以. 故答案为： 24．已知一元一次方程的解是，则 【答案】 【分析】根据方程解的定义及一元一次方程的定义求解即可. 【详解】将代入方程中，解得， 因为根据定义，即， 所以. 故答案为：. 25．当 时，与的值相等 【答案】 【分析】根据题意解方程即可. 【详解】由题知，，解得. 故答案为：. 26．求关于的方程的解集，其中是常数． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意分和两种情况求解即可. 【详解】解：∵，即． ①当时，无解； ②当时，． 综上，当时，解集为；当时，解集为． 27．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）（2）直接求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以方程的解为. （2）由，得， 解得或， 所以方程的解为或. 题型五：因式分解法解一元二次方程的解集 28．方程的根是 . 【答案】，3 【分析】根据因式分解可求得结果. 【详解】对方程变形可得， 解得， 故答案为：，3. 29．关于的方程的一个根为，则另一个根是 . 【答案】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理即可求解. 【详解】设方程的另一个根为n，则有， 解得. 故答案为：. 30．已知，则 . 【答案】 【分析】对目标式子整理化简，结合已知条件整体化简求值即可. 【详解】原式可化为， 又，即，所以. 故答案为： 31．解方程: (1)； (2). 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可. 【详解】（1）因为，则，解得，. （2）因为，则，可得， 所以原方程的解为， . 32．用配方法解方程： 【答案】， 【分析】移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方再根据完全平方公式整理，然后求解即可. 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等式的性质与方程的解集 题型一：等式的性质与应用 题型二：恒等式的化简 题型三：因式分解 题型四：一元一次方程的解集 题型五：因式分解法解一元二次方程的解集 题型一：等式的性质与应用 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．约分： ． 4．若，则= ． 5．.( ) 题型二：恒等式的化简 6．（多选）下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．计算时用到的乘法公式为： .（用表示） 8．阅读理解题： 拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：， 根据上述论法和解法， (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 9．已知，求的值． 10．已知实数和满足，且 ，求的值． 题型三：因式分解 11．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 13．将下列多项式分解后，有相同因式的多项式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．把分解因式所得结果是（   ） A． B． C． D． 15．若多项式有一个因式是，则（    ） A．3 B． C．5 D． 16．将因式分解的结果是 ． 17．分解因式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 18．把下列各式因式分解. (1)； (2)； (3)； 19．分解因式： (1)； (2)； (3). 20．已知有因式，把它分解因式. 题型四：一元一次方程的解集 21．若直线的图象经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 22．如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是 . 23．若关于的方程无解，则实数的值为 . 24．已知一元一次方程的解是，则 25．当 时，与的值相等 26．求关于的方程的解集，其中是常数． 27．解下列方程． (1)； (2)． 题型五：因式分解法解一元二次方程的解集 28．方程的根是 . 29．关于的方程的一个根为，则另一个根是 . 30．已知，则 . 31．解方程: (1)； (2). 32．用配方法解方程： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$