第11讲 双曲线的几何性质（知识清单+2易错+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第11讲 双曲线的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视焦点的位置讨论而致错 易错点二 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 题型方法 题型一 双曲线性质的应用 题型二 渐近线的方程及应用 题型三 离心率的值 题型四 离心率的取值范围 题型五 直线与双曲线位置关系的判断 题型六 弦长问题 题型七 直线与双曲线位置关系的应用 知识清单 知识点01双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 几何性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 中心 O(0，0) 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，长度为2a， 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，长度为2b 渐近线 直线y=±x 直线y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞) 1. 双曲线的通径：过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 2. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b. 3. 双曲线-=1(a>0，b>0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c；到右焦点距离的最小值为c-a. 4. 焦半径：双曲线上一点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线的焦半径，记r1=PF1，r2=PF2. (1)对于-=1(a>0，b>0)，若点P在右支上，则r1=ex0+a，r2=ex0-a；若点P在左支上，则r1=-ex0-a，r2=-ex0+a. (2)对于-=1(a>0，b>0)，若点P在上支上，则r1=ey0+a，r2=ey0-a；若点P在下支上，则r1=-ey0-a，r2=-ey0+a. 知识点02两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点03双曲线的几何性质及其应用  1. 由双曲线的方程研究其几何性质的步骤 (1)将双曲线的方程化为标准方程； (2)根据标准方程确定焦点的位置，求出a，b的值； (3)由c2=a2+b2求出c的值，进而写出双曲线的几何性质 2. 根据双曲线的几何性质求其标准方程 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法. 当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0). (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y=±x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By=0，那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0，A>0，B>0). ②与双曲线-=1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，λ≠1，a>0，b>0). ③与双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为-=λ(λ>0，a>0，b>0)或-=λ(λ>0，a>0，b>0)，要注意由离心率不能确定焦点位置. ④与椭圆=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2). 知识点04双曲线的渐近线与离心率  　　双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质，需注意以下几点（以双曲线-=1(a>0，b>0)为例）： (1)渐近线的斜率与离心率的关系： =，e=. (2)已知渐近线方程为y=mx(m>0)求离心率时，若焦点的位置不确定，则双曲线的离心率有两种可能. (3)求双曲线离心率的方法 ①公式法：直接求出a，c或找出a，b，c之间任意两个的关系，代入公式e==计算 ②构造法：根据已知条件，结合c2=a2+b2，构造关于a，c的方程(不等式)，两边同时除以a的最高次幂，转化为关于e的关系式，再结合e∈(1，+∞)得出结果. 求解范围时，注意利用图形中的不等关系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等). ③特例法：通过特殊值或特殊位置求解. ④在焦点三角形F1PF2(P是双曲线上一点)中，设∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β， 则e===  易错分析 【易错点一】忽视焦点的位置讨论而致错 【例1】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 【易错点二】直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 【例2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【变式3】（21-22高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 题型方法 【题型一】双曲线性质的应用 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【题型二】渐近线的方程及应用 【例2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A．2 B． C． D．1 解题技巧 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【题型三】离心率的值 【例3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线（）的左焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 【变式3】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知双曲线过两点，是双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，且是线段的中点． (1)求双曲线的离心率； (2)求直线的斜率． 【题型四】离心率的取值范围 【例4】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求双曲线离心率范围的方法 (1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解． (2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【变式3】（20-21高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中． （1）求的值； （2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【题型五】直线与双曲线位置关系的判断 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·期中）写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程： . ①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点. 【变式3】（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，双曲线过点，直线与的右支交于 两点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求的取值范围. 【题型六】弦长问题 【例6】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 【变式2】（20-21高三上·江苏宿迁·期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 【变式3】（2021高二·江苏·专题练习）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求    【题型七】直线与双曲线位置关系的应用 【例7】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（   ） A．实轴长为2 B．焦距为4 C．渐近线方程为 D．离心率为 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为． B．若，且为线段的中点，则的离心率为 C．若，且为线段的中点，则的离心率为 D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 . 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为 . 11．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; (2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 14．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 15．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 双曲线的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视焦点的位置讨论而致错 易错点二 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 题型方法 题型一 双曲线性质的应用 题型二 渐近线的方程及应用 题型三 离心率的值 题型四 离心率的取值范围 题型五 直线与双曲线位置关系的判断 题型六 弦长问题 题型七 直线与双曲线位置关系的应用 知识清单 知识点01双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 几何性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 中心 O(0，0) 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，长度为2a， 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，长度为2b 渐近线 直线y=±x 直线y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞) 1. 双曲线的通径：过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 2. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b. 3. 双曲线-=1(a>0，b>0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c；到右焦点距离的最小值为c-a. 4. 焦半径：双曲线上一点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线的焦半径，记r1=PF1，r2=PF2. (1)对于-=1(a>0，b>0)，若点P在右支上，则r1=ex0+a，r2=ex0-a；若点P在左支上，则r1=-ex0-a，r2=-ex0+a. (2)对于-=1(a>0，b>0)，若点P在上支上，则r1=ey0+a，r2=ey0-a；若点P在下支上，则r1=-ey0-a，r2=-ey0+a. 知识点02两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 知识点03双曲线的几何性质及其应用  1. 由双曲线的方程研究其几何性质的步骤 (1)将双曲线的方程化为标准方程； (2)根据标准方程确定焦点的位置，求出a，b的值； (3)由c2=a2+b2求出c的值，进而写出双曲线的几何性质 2. 根据双曲线的几何性质求其标准方程 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法. 当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0). (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y=±x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By=0，那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0，A>0，B>0). ②与双曲线-=1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0，λ≠1，a>0，b>0). ③与双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为-=λ(λ>0，a>0，b>0)或-=λ(λ>0，a>0，b>0)，要注意由离心率不能确定焦点位置. ④与椭圆=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2). 知识点04双曲线的渐近线与离心率  　　双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质，需注意以下几点（以双曲线-=1(a>0，b>0)为例）： (1)渐近线的斜率与离心率的关系： =，e=. (2)已知渐近线方程为y=mx(m>0)求离心率时，若焦点的位置不确定，则双曲线的离心率有两种可能. (3)求双曲线离心率的方法 ①公式法：直接求出a，c或找出a，b，c之间任意两个的关系，代入公式e==计算 ②构造法：根据已知条件，结合c2=a2+b2，构造关于a，c的方程(不等式)，两边同时除以a的最高次幂，转化为关于e的关系式，再结合e∈(1，+∞)得出结果. 求解范围时，注意利用图形中的不等关系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等). ③特例法：通过特殊值或特殊位置求解. ④在焦点三角形F1PF2(P是双曲线上一点)中，设∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β， 则e===  易错分析 【易错点一】忽视焦点的位置讨论而致错 【例1】（22-23高二上·江苏盐城·阶段练习）若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设渐近线方程，再根据垂径定理可得，进而根据渐近线斜率与双曲线离心率的关系求解即可. 【详解】设渐近线方程，则圆：圆心到的距离，即，解得.又双曲线基本量关系可得，结合渐近线方程可得当双曲线焦点在轴时，离心率为；当双曲线焦点在轴时，离心率为； 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据双曲线焦点位置分类讨论，设出双曲线的方程，根据题意建立关于的等式，解之即可得到答案． 【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故选：B． 【变式2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率，确定、关系，分双曲线焦点在轴和轴两种情况求解即可. 【详解】根据已知条件设双曲线的方程为或， 因为，所以，即， ，， 当双曲线交点在轴时，双曲线方程为， 渐近线方程为：， 当双曲线交点在轴时，双曲线方程为， 渐近线方程为：. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 【答案】或 【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦点在x轴上还是y轴上，所以需要分类讨论. 【详解】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为. 当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为. 故答案为：或 【易错点二】直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 【例2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线与另一条渐近线平行即可求解. 【详解】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可. 【详解】直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程， （2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可 【详解】（1）由题意得，解得 所以双曲线方程为. （2）由，得， 由题意得，解得. 当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点， 所以或. 题型方法 【题型一】双曲线性质的应用 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， 所以渐近线方程为：，因此， 则实轴与虚轴相等， 又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为， 则，即， 因此该双曲线的方程为. 故选：B. 解题技巧 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【详解】（1）当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 【题型二】渐近线的方程及应用 【例2】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算. 【详解】根据题意，抛物线，焦点， 双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 故选：D. 解题技巧 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，找到的关系，即可求得渐近线方程. 【详解】因为椭圆，双曲线，所以， ，因为，所以，即， 所以，所以，即， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据有公共渐近线，设出双曲线方程，代入，求出，求出双曲线方程. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得，故方程为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断焦点在轴，再根据双曲线的性质即可求解； （2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为, ，解得，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 综上所述，双曲线的标准方程为或． 【题型三】离心率的值 【例3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在双曲线上，故，即可结合离心率公式求解. 【详解】如图：设,， 由于在双曲线上，故 故，化简可得， 由于，故，故， 故选：A 解题技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线（）的左焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性知交点在轴上，分别在中利用已知的边角表示出未知的边角，再利用双曲线的定义建立的等式即可求出离心率． 【详解】如图，设双曲线右焦点为E，连接，设， 由对称性知交点D在轴上，且， ， 在中，， ， 即 所以， 故选：D 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 【答案】 【分析】根据等比中项的定义得到，变形即可求出离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，由题意得，即， 所以，两边同除以， 得，解得，又，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知双曲线过两点，是双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，且是线段的中点． (1)求双曲线的离心率； (2)求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点代入双曲线方程，解方程组即可； （2）法一：设，则，代入双曲线方程构成方程组，解之可得，即可求解； 法二：易知当直线的斜率为时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理和中点坐标建立关于的方程，判断方程无解即可. 【详解】（1）因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线的方程为，双曲线的离心率； （2）由（1）知， 方法一：设，由是线段的中点得， 所以，得， 解得，进而，所以， 即直线的斜率为． 方法二：当直线的斜率为时， 直线交双曲线于，满足是线段的中点； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， 由，得， ， 因为是线段的中点，所以， 得， 所以，整理得，方程无解； 综上，直线的斜率为． 【题型四】离心率的取值范围 【例4】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线为， 因为直线与双曲线有公共点，故有，即， 所以，所以.所以， 所以的离心率的范围为. 故选：C. 解题技巧 求双曲线离心率范围的方法 (1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解． (2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出渐近线方程，数形结合得到，从而得到，根据得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线无公共点，所以直线的斜率3要满足， 又因为，所以. 综上，， 则离心率. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点M、N、G， 过的直线与双曲线的右支交于A、B两点， 由切线长定理可得，，， 所以，则，所以点G的横坐标为． 故点的横坐标也为a，同理可知点的横坐标为a，故轴， 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切． 在中，， 即，所以，， 所以，所以，则， 所以， 即，所以，可得，可得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 【变式3】（20-21高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中． （1）求的值； （2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）根据两曲线的方程分别计算和，即可求出的值； （2）根据双曲线渐近线的斜率小于，得到，再由椭圆与双曲线的性质，即可计算出离心率的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 所以； （2）因为双曲线的渐近线方程为， 若双曲线渐近线的斜率小于，则，所以， 因此， ， 又，分别为椭圆与双曲线的离心率，所以，， 因此，. 【题型五】直线与双曲线位置关系的判断 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得曲线，即，可得； 当时得到即； 当时得到； 由以上可得曲线的如图中所示， 易知直线与双曲线的一条渐近线平行； 把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时； 继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点． 当直线与椭圆的上半部分相切时， 联立直线与椭圆的方程代入整理得 即或（舍），由图示可得； 综上可知. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·期中）写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程： . ①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点. 【答案】（或），其中（答案不唯一） 【分析】根据焦距设双曲线方程，联立双曲线与直线方程得到一元二次方程，再利用根的分布得到不等式组，解之即可. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 因为焦距为，所以，则， 要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的右支有2个公共点， 联立方程，消去，得， 则即，解得； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为， 因为焦距为，所以，则， 要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的下支有2个公共点， 联立方程，消去，得， 则即，解得； 综上，满足题意的双曲线C的方程为：（或），其中. 故答案为：（或），其中.（答案不唯一） 【变式3】（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，双曲线过点，直线与的右支交于 两点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列方程求，可得双曲线方程； （2）联立方程组，结合条件列不等式可得结论. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 因为双曲线 的离心率为， 所以，所以， 所以双曲线方程可化为，因为双曲线过点， 所以， 所以，， 故双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，化简可得， 所以， 由已知，，且，， 所以，，， 所以或， 所以的取值范围为. 【题型六】弦长问题 【例6】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 【答案】25 【分析】 设，，求出双曲线的焦点坐标，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解. 【详解】设，，双曲线的左焦点为， 则直线的方程为，由得，， ，，则． 故答案为：25. 【变式2】（20-21高三上·江苏宿迁·期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 【答案】 【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可. 【详解】由双曲线标准方程可知：，所以有， 因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点， 所以直线方程方程为，与双曲线联立得： ，设，， 因此有：， 所以. 故答案为： 【变式3】（2021高二·江苏·专题练习）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求    【答案】 【分析】由双曲线方程求出右焦点，进而得到直线方程，直曲联立，结合距离公式计算即可. 【详解】双曲线方程可化为， 所以，故， 所以直线的方程为，设，， 由得，， 所以，， 所以. 【题型七】直线与双曲线位置关系的应用 【例7】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，求解即可 【详解】由题意可知双曲线方程为且， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 故选：B 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，画出图像，利用的几何意义，转化求解即可. 【详解】当时，，双曲线第一象限部分， 当时，，椭圆第四象限部分， 当时，，双曲线第三象限部分， 当时，，不存在； 其图像如下： 又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍， 两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为， 由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大， 设切线为， 联立，可得， ，解得，（舍去）， 所以最大值为， 则的取值范围是. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 【变式3】．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线的方程. 【详解】（1）椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. （3）设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据直线垂直建立方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（   ） A．实轴长为2 B．焦距为4 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ABC 【分析】将点和代入双曲线方程求出，再结合双曲线的实轴、焦距、渐近线以及离心率的定义判断即可. 【详解】因为双曲线过点和， 则，则， 对于A、实轴长为，故A正确； 对于B、焦距为，故B正确； 对于C、渐近线方程为，故C正确； 对于D、离心率为，故D错误. 故选：ABC. 7．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 【答案】BCD 【分析】设点，由斜率公式及点差法可以判断A，B两项，由可以判断C项，在D项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断． 【详解】解：依题意，得，得，则， 设点， 对于A项，， 因为，所以， 则，故A项错误； 对于B项，由，相减得，， 得，即，故B项正确； 对于C项，， ， 则， 因为， 所以， 得，在三角形中，则，故C项正确； 对于D项，如图，设三角形的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，，而，得， 而，得， 又因为，得切点T与点B重合， 得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1， 得三点共线，故D项正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项D中，在双曲线中，焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点）． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为． B．若，且为线段的中点，则的离心率为 C．若，且为线段的中点，则的离心率为 D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使 【答案】AC 【分析】对于A，由题意可得，从而可求出离心率，对于B，由题意不妨设直线的方程为，与渐近线方程联立可求出点，从而可求出点的坐标，代入另一条渐近线方程化简可求出离心率，对于C，由选项B可知点的坐标，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率，对于D，分别设的横坐标为，由离心率可得双曲线方程，设直线为，分别与双曲线方程和渐近线方程联立，结合根与系数的关系进行分析判断. 【详解】对于A，由题意得，则，所以离心率，故A正确； 对于B，因为，所以直线的斜率与其中一条渐近线的斜率乘积为， 由对称性不妨设的斜率为正，则直线的方程为， 由，得，即， 因为为线段的中点，所以， 因为点在渐近线上，所以，化简得， 所以，所以离心率，所以B错误； 对于C，由选项B可知，因为为线段的中点，所以， 因为点在双曲线上，所以， 化简得，所以，得， 所以离心率为，所以C正确； 对于D，分别设的横坐标为， 因为的离心率为2，所以，所以， 所以双曲线的方程为， 由题意可知直线的斜率存在，则设直线为， 由，得， 所以， 由，得，所以， 所以，所以有相同的中点， 所以，即对所有的直线都有，所以D错误. 故选：AC． 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 . 【答案】2（注：区间内任何一个值） 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率， 若满足直线与C无公共点，则需， 故答案为：2 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】 由双曲线方程可得焦点坐标和渐近线方程，进而为等腰直角三角形，进而可得面积. 【详解】由双曲线， 则，渐近线方程为， 所以， 又， 所以是以为底的等腰直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; (2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，双曲线E的方程为 (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程得出a，可得双曲线E的标准方程;再得出其焦点坐标，可得p的值，进而得出抛物线C的标准方程； （2）设直线l的方程为，，，与双曲线E联立，运用弦长公式得出m的值，进而得出直线l的方程. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则， 双曲线E的方程为， 又因为双曲线E的右焦点坐标为， 而抛物线的焦点为， 于是，解得， 所以抛物线C的标准方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点， 所以，即，则， 联立， 消去x整理得， ，且，， 则， 解得，则负值舍去， 故直线l的方程为 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 14．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线的方程； （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，的斜率为，联立直线方程和双曲线方程后可得的坐标，根据结合在双曲线上可得，从而可用表示的面积，利用换元法结合导数可求面积的最小值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，因为，，所以， 将点代入方程，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点， 当的斜率为0时， 因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点； 设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为， 联立， 整理可得， 故， 故即即故， 又，即， 则， 同理可得， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，平方可得， 因为，所以. ， 令，，则， 令，，则，， 当时，，当时，, 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 所以，当且仅当时取等号， 当时，由可得，无解， 同理可得时无解， 故时，，所以面积的最小值为. 15．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由已知可得且，可求的标准方程； （2）①设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论；②由①可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【详解】（1）因为实轴长是虚轴长的2倍，则，即. 又过点，所以，解得，. 所以的标准方程为. （2）①设，则，切线， 联立化简得. 由，解得， 所以直线：，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. ②由①可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$