第10讲 双曲线的标准方程（知识清单+2易错+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第10讲 双曲线的标准方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 易错点二 考虑不全面而致错 题型方法 题型一 双曲线定义的理解 题型二 双曲线方程的求解 题型三 双曲线定义及方程的应用 知识清单 知识点01双曲线的定义 　　平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 知识点02双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2=a2+b2 知识点03双曲线标准方程的求解  1. 求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：即确定焦点的位置，若焦点位置不明确，需要分情况讨论； (2)定量：即确定a2，b2的值，常由条件列方程或方程组求解. 2. 求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法：根据定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点坐标确定c的值和焦点位置，通过b2=c2-a2，求得b2，写出标准方程. (2)待定系数法：先设出标准方程，再根据条件求出待定系数，代入方程即可. 　　若焦点在x轴上，则其方程可设为-=1(a>0，b>0)；若焦点在y轴上，则其方程可设为-=1(a>0，b>0)；若焦点的位置不确定，则方程可设为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0). 知识点04双曲线的焦点三角形问题 1. 双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 解决与焦点三角形有关的问题可以根据定义，结合正、余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 2. 解决有关焦点三角形问题的常用结论 　　令PF1=r1，PF2=r2，∠F1PF2=θ，F1F2=2c，则 ①定义：|r1-r2|=2a. ②余弦公式：4c2=+-2r1r2cos θ. ③面积公式： =r1r2sin θ==c|yP|. ④△PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 知识点05直线与双曲线的位置关系  1. 直线与双曲线的位置关系的判定方法 　　一般地，设直线l：y=kx+m(k≠0)①，双曲线C： -=1(a>0，b>0)②. 把①代入②，消去y并整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即k=±时，直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0，即k≠±时，Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)，则 Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点. 2. 弦长公式 斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB=·|x1-x2|=S·|y1-y2|(k≠0). 3. 用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的关系问题，方法与椭圆一样，但结果需要检验. 易错分析 【易错点一】忽视双曲线方程中的限制条件而致错 【例1】已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系的判定方法，结合双曲线的定义即可判断答案. 【详解】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5. 而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A. 【举一反三】【变式1】与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】B 【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求动圆圆心为，圆的半径为，    由于动圆与圆、圆均外切，则， 所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 【变式2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 【变式3】已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 【易错点二】考虑不全面而致错 【例2】（24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 【答案】 【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距，再由双曲线的概念计算即可. 【详解】将点坐标代入椭圆方程得，即椭圆的焦距为， 因为表示双曲线，则或， 当时，双曲线的焦距为； 当时，双曲线的焦距为； 综上所述：. 故答案为： 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为焦距为6，求k的值； (2)椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 【答案】(1)6或 (2)1 【分析】（1）分焦点位置进行讨论即可. （2）根据椭圆和双曲线的方程判断焦点的位置，求出焦点坐标，从而求出参数. 【详解】（1）若焦点在x轴上，则方程可化为，所以，即； 若焦点在y轴上，则方程可化为，所以，即． 综上所述，k的值为6或． （2）由双曲线方程知焦点在x轴上且． 由椭圆方程，知，所以， 即，解得或(舍去)． 因此a的值为1． 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标. 【答案】(1)：（），是除去左右两个端点的双曲线 (2)时，，当时，. 【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可； （2）将直线与曲线联立消去，设，利用韦达定理得和，再设 ，由列方程解出的值即可. 【详解】（1）动点满足直线与的斜率积为 即：（），是除去左右两个端点的双曲线 （2）将直线与曲线联立得， 设，则， 设，由得， 即，又因为，解得， 所以当时，，当时，. 题型方法 【题型一】双曲线定义的理解 【例1】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（    ） A．－8 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】先由双曲线的方程求出，然后利用双曲线的定义可求得答案. 【详解】由，得，得， 因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上， 所以， 故选：A 解题技巧 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】B 【分析】确定圆心和半径，计算得到，则，根据双曲线定义得到答案. 【详解】，即圆，故，， 因为平行与，，所以，故， 故点的轨迹为双曲线. 故选：B 【变式2】（21-22高二·江苏·单元测试）已知，是双曲线的左，右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点作的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】点关于的角平分线PQ的对称点M在上，故，又OQ是的中位线，故，由此可以判断出点Q的轨迹． 【详解】如图，点关于的角平分线PQ的对称点M在上， 故， 又OQ是的中位线， 故， 所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆. 故选：A． 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 【题型二】双曲线方程的求解 【例2】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 解题技巧 求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解 【举一反三】【变式1】（21-22高二·江苏·单元测试）已知动点的坐标满足方程，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由动点的坐标满足方程及两点间的距离公式，得到其轨迹是以为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，进而得到对应的标准方程． 【详解】设，， 由于动点的坐标满足方程， 则，故点M到定点与到定点的距离差为8， 则动点的轨迹是以为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支， 由于，，则， 故M的轨迹的标准方程为：． 故选：D． 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由焦点坐标得，由定义得，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：，则， 则，所以双曲线的标准方程为 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）根据题意可得，， 解方程从而得到双曲线的方程； （3）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入即可得到双曲线的方程. 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 【题型三】双曲线定义及方程的应用 【例3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求的取值范围，进而判断双曲线焦点所在位置并求的值，即可得结果. 【详解】由题意可得：，解得， 当时，则， ∴表示焦点在x轴上的双曲线，且， 故，即，则的焦点坐标为. 故选：C. 解题技巧 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 【变式2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为8，点是双曲线上一点，且，则 . 【答案】或 【分析】直接利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由已知得， ，解得， 当点是双曲线左支上一点时，，则， 当点是双曲线右支上一点时，，则， 或 故答案为：或. 【变式3】（21-22高二·江苏·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点不在x轴上． (1)若，求的面积 (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解； 由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）解：设，， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得 ， 可得， 则的面积． （2）如图所示，，， 设内切圆与x轴的切点是点H，，与内切圆的切点分别为A，B． 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，， ，即． 设内切圆圆心的横坐标为x，则点H的横坐标为x， 故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 故内切圆圆心的横坐标为． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程和分析可得到答案. 【详解】根据双曲线标准方程特点分析可知，且，， 因为双曲线的一个焦点为，所以， 由知：，解得， 故选：D 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 5．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线的定义，求出，由椭圆，得，利用向量数量积的定义结合余弦定理求. 【详解】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，有，解得， 由椭圆方程，得， 所以. 故选：B. 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是两条都与轴平行的直线 B．若，则是两条互相垂直的直线 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其焦点在轴上 【答案】ABD 【分析】根据的取值计算得出曲线表达式可判断AB正确，再根据的范围判断出的符号并结合椭圆以及双曲线的性质可判断CD得出结论. 【详解】对于A，若，则，表示这两条直线，它都与轴平行，即A正确； 对于B，若，可得，表示这两条直线它们互相垂直，即B正确； 对于C，若，则， 方程表示椭圆，且焦点在轴上，即C错误； 对于D，若，则， 方程表示焦点在轴上的双曲线，即D正确. 故选：AB 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 【答案】13 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 9．（2023高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为 ． 【答案】 【分析】在焦点三角形中，由余弦定理与双曲线定义求得，然后代入三角形面积公式求得答案． 【详解】由，得． 由双曲线的定义和余弦定理，得， ， 所以，所以， 所以, 故答案为：. 10．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 四、解答题 12．（22-23高二·江苏）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)； (2)焦点为，经过点． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据给定的量，求出，再按焦点位置写出双曲线方程作答. （2）利用双曲线定义求出实轴长，再求出方程作答. 【详解】（1）由，得， 所以双曲线的标准方程为或. （2）依题意，双曲线半焦距，而双曲线过点， 因此双曲线实轴长， 即，虚半轴长有， 所以所求双曲线的标准方程是. 13．（21-22高二上·江苏泰州·阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出双曲线方程，再由，结合双曲线经过点，求出双曲线标准方程； （2）设双曲线的方程为，由点P，Q在双曲线上，求出双曲线标准方程. 【详解】（1）∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即.① ∵双曲线经过点，∴.② 由①②得，， 双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的方程为 ∵点P，Q在双曲线上， ∴，解得. ∴双曲线的标准方程为. 14．（2021高二·江苏·专题练习）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m） 【答案】. 【分析】设双曲线的标准方程为，结合图象可得，的横坐标为塔顶直径的一半，纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差可得的坐标，代入双曲线方程可得答案. 【详解】设双曲线的标准方程为，如图所示： 为喉部直径，故，故双曲线方程为， 而的横坐标为塔顶直径的一半即， 其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即， 故， 故，所以， 故双曲线方程为. 15．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程； （2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解. 【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切， 则， 所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线， 其标准方程 （2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l， 其方程，恰好经过， N在线段上，， ， 即， 所以的周长 16．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点,. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)设双曲线C的方程为,将,代入求解即可; (2)由题意易得直线l的斜率存在,设,,直线l的方程为,联立直线与双曲线方程,化简的式子,结合韦达定理即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线C的方程为, 将,代入上式得:, 解得, 双曲线C的方程为. （2）设,, 由题意易得直线l的斜率存在, 设直线l的方程为,代入整理得, , ,,且, 则 , 故为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 双曲线的标准方程 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 易错点二 考虑不全面而致错 题型方法 题型一 双曲线定义的理解 题型二 双曲线方程的求解 题型三 双曲线定义及方程的应用 知识清单 知识点01双曲线的定义 　　平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 知识点02双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2=a2+b2 知识点03双曲线标准方程的求解  1. 求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：即确定焦点的位置，若焦点位置不明确，需要分情况讨论； (2)定量：即确定a2，b2的值，常由条件列方程或方程组求解. 2. 求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法：根据定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点坐标确定c的值和焦点位置，通过b2=c2-a2，求得b2，写出标准方程. (2)待定系数法：先设出标准方程，再根据条件求出待定系数，代入方程即可. 　　若焦点在x轴上，则其方程可设为-=1(a>0，b>0)；若焦点在y轴上，则其方程可设为-=1(a>0，b>0)；若焦点的位置不确定，则方程可设为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0). 知识点04双曲线的焦点三角形问题 1. 双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 解决与焦点三角形有关的问题可以根据定义，结合正、余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 2. 解决有关焦点三角形问题的常用结论 　　令PF1=r1，PF2=r2，∠F1PF2=θ，F1F2=2c，则 ①定义：|r1-r2|=2a. ②余弦公式：4c2=+-2r1r2cos θ. ③面积公式： =r1r2sin θ==c|yP|. ④△PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 知识点05直线与双曲线的位置关系  1. 直线与双曲线的位置关系的判定方法 　　一般地，设直线l：y=kx+m(k≠0)①，双曲线C： -=1(a>0，b>0)②. 把①代入②，消去y并整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即k=±时，直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0，即k≠±时，Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)，则 Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点. 2. 弦长公式 斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB=·|x1-x2|=S·|y1-y2|(k≠0). 3. 用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的关系问题，方法与椭圆一样，但结果需要检验. 易错分析 【易错点一】忽视双曲线方程中的限制条件而致错 【例1】已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【易错点二】考虑不全面而致错 【例2】（24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 【变式2】（2023高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为焦距为6，求k的值； (2)椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标. 题型方法 【题型一】双曲线定义的理解 【例1】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（    ） A．－8 B．8 C．10 D． 解题技巧 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支 【变式2】（21-22高二·江苏·单元测试）已知，是双曲线的左，右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点作的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【题型二】双曲线方程的求解 【例2】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解 【举一反三】【变式1】（21-22高二·江苏·单元测试）已知动点的坐标满足方程，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【题型三】双曲线定义及方程的应用 【例3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【变式2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为8，点是双曲线上一点，且，则 . 【变式3】（21-22高二·江苏·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点不在x轴上． (1)若，求的面积 (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是两条都与轴平行的直线 B．若，则是两条互相垂直的直线 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其焦点在轴上 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 9．（2023高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为 ． 10．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 四、解答题 12．（22-23高二·江苏）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)； (2)焦点为，经过点． 13．（21-22高二上·江苏泰州·阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 14．（2021高二·江苏·专题练习）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m） 15．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 16．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点,. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$