1.1三角形中的线段和角（课件+课后巩固+分类测试卷）2025—2026学年苏科版数学八年级上册

1.1 三角形中的线段和角 第1课时 三角形的边和角 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明“三角形的任意两边之和大于第三边.” 探索并证明“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.” 利用三角形三边关系、边角关系，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力. 情境引入 为什么有很多建筑物的结构用三角形？ 三角形具备哪些独特性质呢？ 操作观察 1. 在方格纸中画出可以和给定三角形重合的三角形. 如何确定三角形的形状和大小？ 操作观察 2. 你能画出以下列长度的线段为边的三角形吗？试一试. (1) 4，4，4；(2) 3，5，7；(3) 3，4，5. (1) (2) (3) 上面画出的三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形？ 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 三角形的三边具有什么性质？三角形的边与角之间有什么关系呢？ 新知探究 能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 2 3 6 (1) (2) 3 4 7 不能 不能 三角形两边之和大于第三边. 新知探究 如何证明三角形两边之和大于第三边？ 证明：∵BA＋AC是连接B，C两点的折线长度， BC是连接B，C两点的线段长度， ∴ BA＋AC＞BC (两点之间的所有连线中，线段最短). 同理，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC. B C A 新知归纳 三角形的任意两边之和大于第三边. B C A 符号语言： 在△ABC中， BA＋AC＞BC，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC. 新知探究 讨论：三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？ B C A 已知：如图，△ABC， 求证：AB－AC＜BC. 证明：∵在△ABC中，AC＋BC＞AB (三角形任意两边之和大于第三边)， ∴ AC＋BC－AC＞AB－AC (不等式的基本性质). ∴ BC＞AB－AC， 即AB－AC＜BC. 新知应用 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 1，4，7；(2) 3，5，8；(3) 5，6，9. 解：(1)因为1＋4＝5＜7，所以不能构成三角形； (2)因为3＋5＝8，所以不能构成三角形； (3)因为5＋6＝11＞9，所以能构成三角形. 方法总结 判断三条线段能否组成三角形的方法： 1. 判断三条线段长度的大小关系； 2. 求两条较短线段的长度的和. 若大于最长线段的长度，则可以组成三角形； 若小于或等于最长线段的长度，则不可以组成三角形. 新知应用 2. 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边，得2＋7＞x且2＋x＞7， 解得 5＜x＜9。 因为它是奇数，所以x只能取7. 三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和. 典例分析 例1 如图，在△ABC中，点D在边BC上. 求证：AC＋CB＞AD＋DB. 在△ACD中，AC＋CD＞AD (三角形两边之和大于第三边). ∴AC＋CD＋DB＞AD＋DB (不等式的性质). 即AC＋CB＞AD＋DB. B C A D 证明： 新知巩固 如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB. 求证：AP＋BP＜AC＋BC. B C A P 证明：延长AP交BC于点D. 在△ACD中，AC＋CD＞AD， 在△BDP中，BD＋DP＞BP， 两式相加得: AC＋CD＋BD＋DP＞AD＋BP， 即AC＋BC ＞AP＋BP. D 新知探究 B C A 我们可以通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小. 把AC沿∠A的平分线AD翻折，如图， ∵ AB＞AC，所以点C落在边AB上的点C′处. ∴∠AC′D＝∠C. ∵ ∠AC′D＝∠B＋∠BDC′， ∴∠AC′D＞∠B， ∴∠C＞∠B. 在△ABC中，已知AB＞AC，∠B和∠C哪个更大？ D C′ 新知巩固 反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？ B C A 已知：△ABC，∠C＞∠B， 求证：AB＞AC. 证明：假设AB≤AC，则∠C≤∠B. 与∠C＞∠B矛盾，假设不成立. 所以AB＞AC. 新知归纳 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大. 典例分析 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (1) 比较∠B，∠C的大小，并说明理由； 解：(1) ∠B＞∠C. ∵AC＞AB (已知) ∴∠B＞∠C (在同一三角形中，较大的 边所对的角也比较大). B C A H 典例分析 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (2) 若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. B C A H 解：(2) ∠BAH＜∠CAH. ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°. ∴∠BAH＋∠B＝90°， ∠CAH＋∠C＝90°. ∵∠B＞∠C， ∴∠BAH＜∠CAH. 新知巩固 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 证明：∵∠C＞∠A ∴ AB＞BC (在同一三角形中，较大的角所对的 边也比较大) C A B 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在BC上，比较AC和AD的大小，并说明理由. B C A D 证明：∵∠ADC＞∠C ∴ AC＞AD (在同一三角形中，较大的角所对的 边也比较大) 课堂小结 三角形的边和角 三角形三边关系 三角形边角关系 三角形任意两边之和＞第三边 三角形任意两边之差＜第三边 大边对大角 大角对大边 感谢聆听！ $$三角形中的线段和角 A卷 基础过关卷 （限时50分钟，每题10分，满分100分） 1．已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？ 2．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 3．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？ 4．如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求： （1）△ABE的面积； （2）AD的长度． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上． （1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D； （2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积． 6．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|． 7．已知a，b，c是一个三角形的三边长， （1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c　 　0，b﹣a﹣c　 　0，c+b﹣a　 　0． （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|． 8．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线． （1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长． （2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数． 9．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长； （2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． 10．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H． （1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？ （2）试说明CD是△ABC的高． B卷 能力提升卷 （限时60分钟，每题10分，满分100分） 11．如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为16cm，求AC的长． 12．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求： （1）AD的长； （2）△ABE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 13．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC． 14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 15．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长； （2）当AD为∠BAC的角平分线时． ①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数； ②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝　 　°． 16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D． （1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系； （2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系． 17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由． 18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明： （1）OB+OC＜AB+AC； （2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）． 19．如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC） （1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC； （2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围． 20．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状． C卷 培优压轴卷 （限时70分钟，每题10分，满分100分） 21．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒． （1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？ （2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比． 23．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上． （1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB； （2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积． 24．如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a． （1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为　 　；（用含m、a的代数式表示） （2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为　 　．（用含a、b的代数式表示） 25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒． （1）当t＝　 　时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？ （2）当t＝　 　时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？ 26．已知△ABC（如图），按下列要求画图： （1）△ABC的中线AD； （2）△ABD的角平分线DM； （3）△ACD的高线CN； （4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝　 　． 27．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B． （1）求证：ED∥BC； （2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6． ①求△ABC的面积； ②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积． 28．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积． 【经验发展】面积比和线段比的联系： 如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝　 　（用含a的代数式表示）． 【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积． 【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 　 　． 29．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； （2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝　 　； （3）当t为何值时，△BPC的面积为18． 30．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E． （1）求∠ACB的度数； （2）试说明∠CEF＝∠CFE； （3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝　 　（仅填结果）． 学科网（北京）股份有限公司 答案与解析 A卷 基础过关卷 （限时50分钟，每题10分，满分100分） 1．已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？ 【分析】根据三角形三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c| ＝a+b﹣c+a+c﹣b ＝2a． 2．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|． 【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣a﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c． 3．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？ 【分析】利用角平分线和中线的定义解答即可． 【解答】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线； BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线． 4．如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求： （1）△ABE的面积； （2）AD的长度． 【分析】（1）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等； （2）利用“面积法”来求线段AD的长度． 【解答】解：（1 ）如图在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴S△ABC＝AB•AC＝6， 又∵AE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△ABC＝3； （2）AD是△ABC的高， ∴S△ABC＝BC•AD， 又∵S△ABC＝6，BC＝5cm， ∴AD＝2.4cm． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上． （1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D； （2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积． 【分析】（1）把AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，然后平移AE使A点或E点与C点重合，从而得到D点和D′点； （2）利用三角形面积公式直角计算△ABD的面积，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABD′的面积． 【解答】解：（1）如图，点D和点D′为所作； （2）S△ABD＝×2×3＝3， S△ABD′＝5×3﹣×3×1﹣×5×1﹣×2×4＝7， 综上所述，△ABD的面积为3或7． 6．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|． 【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a， ∴5﹣3＜a＜3+5， 解得：2＜a＜8， 故|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|． ＝a﹣2﹣（a﹣1）+8﹣a ＝7﹣a． 7．已知a，b，c是一个三角形的三边长， （1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c　＜　0，b﹣a﹣c　＜　0，c+b﹣a　＞　0． （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|． 【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可； （2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； （2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a ＝a﹣b+c． 8．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线． （1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长． （2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据题意求得BC＝8，然后根据三角形面积公式即可求得AD的长； （2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝42°，∠ADC＝90°，则∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC计算即可． 【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF＝4， ∴BC＝8， ∵S△ABC＝20， ∴＝20，即＝20， ∴AD＝5； （2）∵∠C＝70°，∠B＝26°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°， ∴∠CAE＝∠CAB＝42°， ∵∠ADC＝90°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝20° ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝42°﹣20°＝22°． 9．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长； （2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长； （2）利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE． 【解答】解：（1）∵AD为边BC上的中线， ∴S△ADC＝S△ABC＝15， ∵AE为边BC上的高， ∴， ∴CD＝5． （2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝78°， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝39°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝39°+36°＝75°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝15° 10．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H． （1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？ （2）试说明CD是△ABC的高． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论； （2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可． 【解答】解：（1）∠2＝∠DCB， 理由如下：∵∠1＝∠ACB， ∴DE∥BC， ∴∠2＝∠DCB； （2）∵∠2＝∠3，∠2＝∠DCB， ∴∠3＝∠DCB， ∴HF∥CD， ∵FH⊥AB， ∴CD⊥AB，即CD是△ABC的高． B卷 能力提升卷 （限时60分钟，每题10分，满分100分） 11．如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为16cm，求AC的长． 【分析】先根据△ABD周长为16cm，AB＝6cm，AD＝5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为24cm，即可求出AC长． 【解答】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为16cm， ∴BD＝16﹣AB﹣AD＝16﹣6﹣5＝5（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴BC＝10cm， ∵△ABC的周长为24cm， ∴AC＝24﹣AB﹣BC＝24﹣6﹣10＝8（cm）． 故AC长为8cm． 12．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求： （1）AD的长； （2）△ABE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度； （2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等； （3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm； （2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm， ∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE＝EC， ∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC， ∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）． ∴△ABE的面积是12cm2． 方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8， 所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）． ∴△ABE的面积是12cm2． （3）∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE， ∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm． 13．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC． 【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论． 【解答】证明：延长BP交AC于点D， 在△ABD中，PB+PD＜AB+AD① 在△PCD中，PC＜PD+CD② ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即：AB+AC＞PB+PC． 14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA． 【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60° ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 又∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°， ∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°， ∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°， ∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°． 故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°． 15．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长； （2）当AD为∠BAC的角平分线时． ①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数； ②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝　10　°． 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题； （2）①先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD计算即可； ②先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD计算即可． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为24， ∴×BC×AE＝24， ∴×BC×4＝24， ∴BC＝12， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BC＝6； （2）①∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80° ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°； ②由①可得：∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）＝10°， 故答案为：10． 16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D． （1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系； （2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系． 【分析】（1）根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD，再根据不等式的性质即可求解； （2）根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再根据不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， ∴AB+BC+CA＞2BD； （2）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC， ∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC． 17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由． 【分析】结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【解答】解：AB+AC＞BD+DE+EC成立，理由如下： 延长DE交AB于点F、延长DE交AC于G， 在△AFG中：AF+AG＞FG①， 在△BFD中：FB+FD＞BD②， 在△EGC中：EG+GC＞EC③， ∵FD+ED+EG＝FG， ∴①+②+③得： AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC， 即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC， AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC， ∴AB+AC＞BD+ED+EC． 18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明： （1）OB+OC＜AB+AC； （2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）． 【分析】（1）延长BO交AC于D，在△ABD与△COD中根据三角形的三边关系即可得出结论； （2）在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得． 【解答】（1）证明：延长BO交AC于D， ∵△ABD中，AB+AD＞BD，即AB+AD＞OB+OD， △COD中，OD+CD＞OC， ∴AB+AD+CD＞OB+OD+CD＞OB+OC，AB+AC＞OB+OC； （2）证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB， 同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC． ∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+AC， ∴OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）． 19．如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC） （1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC； （2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围． 【分析】（1）延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC＝BE，再根据三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，利用等量代换可得AB﹣AC＜2AD＜AB+AC； （2）把AB＝8cm，AC＝5cm代入（1）的结论里，再解不等式即可． 【解答】（1）证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连接BE． 在△ACD和△EBD中：， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC＝BE（全等三角形的对应边相等）， 在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE， 即AB﹣AC＜2AD＜AB+AC； （2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm， ∴8﹣5＜2AD＜8+5， ∴＜AD＜． 20．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． 故周长x的范围为12＜x＜20． （2）因为周长为小于18的偶数， 所以x＝16或x＝14． 当x为16时，c＝6； 当x为14时，c＝4． 当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形． 综上，△ABC是等腰三角形． C卷 培优压轴卷 （限时70分钟，每题10分，满分100分） 21．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm； （2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm． 【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， 即BE＝AE+AC， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． （2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程 ①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2． 解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm． 故AE长为1cm或3cm． 22．（2020春•如东县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒． （1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？ （2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比． 【分析】（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，列出方程可求解； （2）求得PA＝8，即可求得PB＝12，根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）∵当点P是AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； ∴3t＝16+， 解得t＝； （2）∵3×8＝24， ∴AC+AP＝24， ∴AP＝8，BP＝12， ∵△APC和△BPC同高， ∴S△APC：S△BPD＝2：3． 23．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上． （1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB； （2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平行线的判定得DE∥BC，则∠ADE＝∠B，而∠DEF＝∠B，所以∠ADE＝∠DEF，于是可判断EF∥AB； （2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，而S 四边形BDEF＝6，则S△DEF+S△BDC＝6，可计算出S△DEF＝2，则S△ABC＝8S△DEF＝1． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ACB， ∴DE∥BC． ∴∠ADE＝∠B． 又∵∠DEF＝∠B， ∴∠ADE＝∠DEF， ∴EF∥AB． （2）解：∵点 F 是 DC 的中点， ∴设 S△DEF＝S△CEF＝x， ∵点 E 是 AC 的中点， ∴S△ADE＝S△CDE＝2x， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴S△BDC＝4x，S△BDF＝2x， ∴S 四边形BDEF＝3x． ∵S 四边形BDEF＝6， ∴3x＝6， ∴x＝2， ∴S△ABC＝8x＝16． 24．如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a． （1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为　m﹣a　；（用含m、a的代数式表示） （2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为　b﹣a　．（用含a、b的代数式表示） 【分析】（1）过点P作MN⊥AB，交AB于M、交CD于N，则四边形ADNM是矩形，得出AD＝BC＝MN，AB＝CD，求出S△ABP+S△CPD＝AB•PM+CD•PN＝S长方形ABCD＝m，即可得出结果； （2）设长方形ABCD的面积为m，则S△ABD＝m，过点P作MN⊥AD，交AD于M、交BC于N，则四边形ABNM是矩形，得出AD＝BC，AB＝MN＝CD，求出S△BPC+S△APD＝S长方形ABCD＝m，得出S△APD＝m﹣S△BPC＝m﹣b，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点P作MN⊥AB，交AB于M、交CD于N，如图1所示： 则四边形ADNM是矩形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝MN，AB＝CD， ∵S△ABP+S△CPD＝AB•PM+CD•PN＝AB（PM+PN）＝AB•MN＝AB•BC＝S长方形ABCD＝m， ∴S△CPD＝m﹣S△ABP＝m﹣a， 故答案为：m﹣a； （2）设长方形ABCD的面积为m，则S△ABD＝m， 过点P作MN⊥AD，交AD于M、交BC于N，如图2所示： 则四边形ABNM是矩形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝MN＝CD， ∵S△BPC+S△APD＝AD•PM+BC•PN＝AD（PM+PN）＝AD•MN＝AD•AB＝S长方形ABCD＝m， ∴S△APD＝m﹣S△BPC＝m﹣b， ∴S△BPD＝S△ABD﹣S△ABP﹣S△APD＝m﹣（m﹣b）﹣a＝b﹣a， 故答案为：b﹣a． 25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒． （1）当t＝　4　时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？ （2）当t＝　　时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？ 【分析】（1）由点P的运动的路程＝△ABC的周长的一半，列出方程可求解； （2）由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，列出方程可求解； （3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）由题意得，3t＝（6+8+10）， 解得，t＝4， 故答案为：4； （2）∵三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分， ∴3t＝8+5， 解得t＝， 故答案为：； （3）如图，当点P在AC上时， ∵S△BCP＝×6×3t＝18， ∴t＝2， 当点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于D， ∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， ∴CD＝＝， ∵S△BCP＝×（18﹣3t）×＝18， ∴t＝， 综上所述：当t＝2或时，△BCP的面积为18cm2． 26．已知△ABC（如图），按下列要求画图： （1）△ABC的中线AD； （2）△ABD的角平分线DM； （3）△ACD的高线CN； （4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝　7　． 【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可； （2）作∠ADB的平分线交AB于M点； （3）过C点作CN⊥AD于N点； （4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC． 【解答】解：（1）如图，AD为所作； （2）如图，DM为所作； （3）如图，CN为所作； （4）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵C△ADC﹣C△ADB＝3， ∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3， ∴AC﹣AB＝3， ∵AB＝4， ∴AC＝AB+3＝4+3＝7． 故答案为：7． 27．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B． （1）求证：ED∥BC； （2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6． ①求△ABC的面积； ②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积． 【分析】（1）根据同角的补角得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论； （2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可． （3）连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到，进一步得到． 【解答】解：（1）如图，∵∠BDC+∠EFC＝180°，∠EFD+∠EFC＝180°， ∴∠BDC＝∠EFD， ∴AB∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF， 又∵∠B＝∠DEF， ∴∠B＝∠ADE， ∴ED∥BC； （2）设△CEF的面积为a， ∵F是CD的中点， ∴S△DEF＝a， ∴S△CDE＝2a， 同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a， ∴S四边形ADFE＝3a， ∵四边形ADFE的面积为6． ∴3a＝6，即a＝2， ∴S△ABC＝8a＝16； （3）如图，连接DG， ∵CG＝2BG， ∴S△DCG＝2S△DBG， ∴， ∵F是CD的中点， ∴． 28．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积． 【经验发展】面积比和线段比的联系： 如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝　a　（用含a的代数式表示）． 【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积． 【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 　　． 【分析】【经验发展】根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可； 【结论应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可； 【迁移应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可． 【解答】解：【经验发展】∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM， ∴S＝a， 故答案为a； 【结论应用】连接BD， ∵△CDE的面积为1，， ∴S△BDC＝3S△DEC＝3， ∵， ∴S△ABC＝4S△BDC＝12； 【迁移应用】连接BD， 设S△ADM＝a， ∵M是AB的三等分点（AM＝AB）， ∴S△ABD＝3a，S△BDM＝2a， ∵N是BC的中点， ∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN， ∴S△ADC＝S△ADB＝3a， ∴S△ACM＝4a， ∵AM＝AB， ∴S△CBM＝2S△ACM＝8a， ∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a， ∴S△BDN＝3a， ∴S四边形BMDN＝5a， ∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝， 故答案为． 29．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； （2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝　1：4　； （3）当t为何值时，△BPC的面积为18． 【分析】（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出P的路径长即可求解； （2）△APC和△BPC分别以AP、BP为底时，高相同，根据AP和BP的比即可求出面积比； （3）分两种情况讨论，当P在AC上时，利用面积求出CP的长度即可求出t，当P在AB上时，利用面积比可求出AP的长，即可求出t． 【解答】解：（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分， 此时CA+AP＝12+7.5＝19.5， ∴t＝19.5÷3＝6.5． 故答案为：6.5； （2）∵5×3＝15， ∴AP＝15﹣12＝3，BP＝15﹣3＝12， ∴S△APC：S△BPC＝AP：BP＝1：4． 故答案为：1：4； （3）①当P在线段AC上时， S△BPC＝＝18， 解得t＝； ②当P在线段AB上时， ＝36， ∴S△APC：S△BPC＝36：18＝2：1， ∵△APC和△BPC高相同， ∴S△APC：S△BPC＝AP：BP＝2：1， ∴AP＝， ∴t＝． ∴当t＝或时，△BPC的面积为18． 30．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E． （1）求∠ACB的度数； （2）试说明∠CEF＝∠CFE； （3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝　5　（仅填结果）． 【分析】（1）先利用垂直的定义等得到∠ADC＝90°，则∠A+∠ACD＝90°，然后利用等量代换得到∠ACB＝90°； （2）利用三角形外角性质得到∠CEF＝∠A+∠ABE，∠CFE＝∠BCF+∠CBF，然后利用等量代换得到∠CEF＝∠CFE； （3）根据三角形面积公式S△BCE＝S△ABC＝20，S△BCD＝S△ABC＝15，然后计算S△BCE﹣SDABC即可． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， 即∠ACB＝90°； （2）∵BE平分∠ABC交CD， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∠CFE＝∠BCF+∠CBF， ∠A＝∠BCF，∠CBF＝∠ABE， ∴∠CEF＝∠CFE； （3）∵AC＝3CE， 即CE＝AC， ∴S△BCE＝S△ABC＝×60＝20， ∵AB＝4BD， 即BD＝AB， ∴S△BCD＝S△ABC＝×60＝15， ∴S△BCE﹣S△DBC＝20﹣15＝5， 即S△CEF﹣S△BDF＝5． 故答案为：5． $$ 三角形中的线段和角 第2课时 1.如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2.下列说法错误的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条高一定交于同一点 D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点 3.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是（　　） A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度 4.如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若△ABC的面积为8，则四边形AFEC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ） A． B． C． D． 6.如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝　 　cm． 7.如图，在中，分别是的中点，点在上，且，若，则为　 　. 8.△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 　 　． 9.如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则_________． 10.如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为　　． 11.如图， （1）在图①中画出△ABC的中线AD； （2）在图②中画出△ABC的角平分线AE； （3）在图③中画出△ABC的高AF． 12.如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm． 求证：（1）AD的长； （2）△ACE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 13.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明． 15.如图，在中，，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________； （2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．（请说明理由） 三角形中的线段和角 第2课时（解析版） 1.如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B， 故选：B． 2.下列说法错误的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条高一定交于同一点 D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点 【详解】A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确； B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确； C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确； D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误． 故选：D． 3.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是（　　） A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度 【详解】点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段， 故选：C． 4.如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若△ABC的面积为8，则四边形AFEC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】连接DE， ∵D为△ABC的边AC的中点， ∴S△ABD＝S△BCD4， ∵E是BC的中点，F是BD的中点， ∴S△ADF， S△BDE＝S△DCE， S△DEF， ∴四边形AFEC的面积＝2+1+2＝5， 故选：C． 5.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴，故A正确． 故选：A． 6.如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝　 　cm． 【详解】∵AD是△ABC的中线，又△ABD的周长比△ACD的周长多4cm ∴AB﹣AC＝4cm， ∵AB＝16cm， ∴AC＝12cm 故答案为12 7.如图，在中，分别是的中点，点在上，且，若，则为　 　. 【详解】解：如图，∵EF=2BF，S△BCF=2cm2， ∴S△BEC=3S△BCF=3×2=6cm2， ∵D是BD的中点， ∴S△BDE=S△CDE=S△BEC=3cm2， ∵E是AD的中点， ∴S△ABD=S△ACD=2S△BDE=6cm2， ∴△ABC的面积为12cm2， 8.△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 　 　． 【详解】根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD＝DC＝x， 若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，解得x＝4cm， 则x+y＝9，即4+y＝9，解得y＝5cm； 若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，解得x＝3cm， 则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm； 所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm． 故答案为：8cm或6cm． 9.如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则_________． 【详解】如图，过点E作于点F，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵的面积等于的一半，即， ∴． ∵， ∴，即 解得：， ∴． 故答案为：． 10.如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为　　． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， ， ，解得：． 故本题答案为：3． 11.如图， （1）在图①中画出△ABC的中线AD； （2）在图②中画出△ABC的角平分线AE； （3）在图③中画出△ABC的高AF． 【详解】（1）如图①所示：AD即为所求； （2）如图②所示：AE即为所求； （3）如图③所示：AF即为所求． 12.如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm． 求证：（1）AD的长； （2）△ACE的面积； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 【详解】∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴AB•ACBC•AD， ∴AD4.8（cm）， 即AD的长度为4.8cm； （2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm， ∴S△ABCAB•AC6×8＝24（cm2）． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE＝EC， ∴BE•ADEC•AD，即S△ABE＝S△AEC， ∴S△AECS△ABC＝12（cm2）． ∴△AEC的面积是12cm2． （3）∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE， ∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm）， 即△ACE和△ABE的周长的差是2cm． 13.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【详解】（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°， （3）∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°， ∵BE，CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明． 【详解】（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝30°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠E＝25°； （2）． 设∠B＝n°，∠ACB＝m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∵∠B＝n°，∠ACB＝m°， ∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°， ∴∠BAD（180﹣n﹣m）°， ∴∠3＝∠B+∠1＝n°（180﹣n﹣m）°＝90°n°m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴∠E＝90°﹣（90°n°m°）（m﹣n）°（∠ACB﹣∠B）． 15.如图，在中，，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________； （2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．（请说明理由） 【详解】解：（1），理由如下： 连接，则，即， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）当点在延长线上时， ； 理由：连接，则 ,即, ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$1.1 三角形中的线段和角 第2课时 三角形的中线、角平分线、高 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义. 会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线. 理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征. 情境引入 小熊和小猫想均分一块蛋糕，如何切呢？ 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ D 当D为BC的中点时，位置特殊. 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ D 当AD平分∠BAC时，位置特殊. 操作观察 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？ D 当AD垂直BC时，位置特殊. 概念引入 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线. B A C D 如图，点D在BC上，BD＝CD，线段AD是△ABC的中线. 概念引入 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. B A C E 如图，点E在BC上，∠BAE＝∠CAE，线段AE是△ABC的角平分线. 概念引入 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为H，线段AH是△ABC的边BC上的高. B A C H 新知巩固 B C A D E F 1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE，AD相交于点F. 指出图中三角形的角平分线和中线. 解：AD是△ABC的角平分线， AF是△ABE的角平分线， BE是△ABC的中线， DE是△ADC的中线. 新知巩固 B C A D E 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E.指出图中DE，AC分别是哪些三角形的高. 解：∵∠C＝90°， ∴ AC是△ABC，△ACD，△ABD的高， ∵ DE⊥AB， ∴ DE是△ABD，△ADE，△BDE的高. 3. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. 填空： (1) BD＝_______＝ _______； (2) ∠BAE＝________＝ ________； (3) ∠AFB＝________＝_____°. 新知巩固 B C A D E F CD BC ∠CAE ∠BAC ∠AFC 90 尝试交流 如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高. F E B A C D 解：如图， AD是△ABC的中线， AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的高. 三角形的中线、角平分线、高各有几条？ 新知探究 取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现？ B A C B A C B A C E 新知探究 中线和高也交于一点吗？请你试一试. A B C A B C A B C 新知探究 中线和高也交于一点吗？请你试一试. B A C A B C A B C 新知归纳 符号语言 基本特征 图示 角平分线 中线 高 ∵ AD是△ABC 的角平分线， ∴ ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC. ∵ AE是△ABC中BC边上的中线， ∴ BE＝EC＝BC. ∵AF是△ABC中BC边上的高， ∴ AF ⊥BC. 在三角形内部且相交于一点. 在三角形内部且相交于一点. 所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部. 典例分析 例1 如图，AD是△ABC的中线. 求证：△ABD和△ADC的面积相等. B A C D 证明：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H. AH是△ADC的高，也是△ABD的高. ∵ AD是△ABC的中线， ∴ BD＝DC. 又∵S△ABD＝BD·AH，S△ABD＝BD·AH， ∴S△ABD＝S△ADC. H 你会均分小熊的蛋糕了吗？ 典例分析 例2 如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC＝∠B. 求证：∠ADE＝∠DAE. B A E D C 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠ADE＝∠B＋∠BAD， ∠DAE＝∠EAC＋∠CAD， ∠EAC＝∠B， ∴∠ADE＝∠DAE. 新知巩固 1. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°. 求证：ED∥BC. B C A D E 2 1 证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠1， ∵∠1＝25°， ∴∠ABC＝2×25°＝50°. ∵∠2＝50°， ∴∠ABC＝∠2. ∴ED∥BC. 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm. (1) △ABC中AC边上的高是_____，BC边上的高是_____； (2) 在图中画出AB边上的高CD，并求CD的长； A C B 4cm 3cm D 解：(2) 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB， 所以△ABC的面积＝×AB×CD＝ ×AB×CD， 因为AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm， 所以CD＝＝＝cm。 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm. A C B D (3) 能否在BC边上取一点E，使△ACE与△ABE的面积相等？ E 解：(3) 取BC的中点E，则CE＝BE＝ BC。 因为△ACE的面积＝×CE×AC＝×BC×AC， △ABE的面积＝ ×BE×AC＝×BC×AC， 所以△ACE与△ABE的面积相等。 课堂小结 三角形中的三条重要线段 中线 角平分线 等分三角形的面积 高 有多条高时，考虑等面积法求线段. 感谢聆听！ $$ 三角形中的线段和角 第1课时 1.已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 3.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．15米 C．20米 D．25米 4.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5.若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 6.若等腰三角形三边的长分别为4x﹣2，x+1，15﹣6x，则x的值为　 　． 7.已知三角形两边长分别是3cm和7cm，则第三边长a的取值范围是　 　． 8.若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______． 9.等腰三角形的周长为20，一边长为8，则它的腰长为 10.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　 　． 11.已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 12.已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）若x是大于14的偶数． ①求c的长； ②判断△ABC的形状． 13.（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，试判断△ABC的形状． 14.如图，P是△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP． （1）AB+AC＞BP+PC是否成立？若成立，请说明理由； （2）试比较PA+PB+PC与AB+AC+BC的大小关系，并说明理由． 15.已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O． 试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）． 三角形中的线段和角 第1课时（解析版） 1.已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【详解】∵a，b，c是△ABC的三条边，（a﹣b）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0， ∴a＝b且b＝c， 即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：C． 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，3，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 【详解】根据三角形的三边关系，得 A、1+3＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项不合题意； C、2+5＝7，不能组成三角形，故此选项不合题意； D、6+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米，OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．15米 C．20米 D．25米 【详解】根据三角形的三边关系定理得： 20﹣10＜AB＜15+20， 即：10＜AB＜35， ∴AB的值在10和35之间， A、B间的距离不可能是5米． 故选：A． 4.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 故选：B． 5.若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 【详解】当2cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（10﹣2）÷2＝4（cm），能够组成三角形； 当2cm是等腰三角形的腰时，则其底边是10﹣2×2＝6（cm），不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为2cm． 故选：A． 6.若等腰三角形三边的长分别为4x﹣2，x+1，15﹣6x，则x的值为　 　． 【详解】∵等腰三角形三边的长分别是4x﹣2，x+1，15﹣6x， ∴①如果4x﹣2＝x+1，则x＝1， 三边为：2，2，9； 2+2＜9，不能组成三角形，舍去； ②如果4x﹣2＝15﹣6x，则x＝1.7， 三边为：4.8，2.7，4.8，符合题意； ③如果15﹣6x＝x+1，则x＝2， 三边为：6，3，3； 3+3＝6，不能组成三角形，舍去； 故答案为：1.7． 7.已知三角形两边长分别是3cm和7cm，则第三边长a的取值范围是　 　． 【详解】根据三角形的三边关系，得 第三边的取值范围是：7﹣3＜a＜7+3， 即4cm＜a＜10cm． 故答案为：4cm＜a＜10cm． 8. 若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______． 【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：． 即：， ∵周长是偶数， ∴第三边的长为奇数，即：或或． ∴第三边长为7或9或11． 9.等腰三角形的周长为20，一边长为8，则它的腰长为 【详解】解：分两种情况考虑： （1）当8是腰长时，则底边长是20-8-8=4，此时8，8，4能组成三角形； （2）当8是底边长时，腰长是（20-8）×＝6，此时8，6，6能组成三角形. 综上，腰长是8或6． 10.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　 　． 【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣1＝0， 解得a＝7，b＝1， ∵7﹣1＝6，7+1＝8， ∴6＜c＜8， 又∵c为奇数， ∴c＝7． 故答案为：7． 11.已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 【详解】∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2， ∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形． 12.已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）若x是大于14的偶数． ①求c的长； ②判断△ABC的形状． 【详解】（1）由三角形的三边关系可得：6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10， ∵x＝a+b+c， ∴12＜x＜20； （2）①∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6， ∴2＜c＜10， ∵x是大于14的偶数，且12＜x＜20， ∴14＜x＜20， ∴4＜c＜10， ∴c＝6或8； ②当c＝6时，三角形的三边长为4，6，6，则三角形为等腰三角形； 当c＝8时，三角形的三边长为4，6，8，三角形为钝角三角形， 综上所述：三角形为等腰三角形或钝角三角形． 13.（1）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，试判断△ABC的形状． 【详解】（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． （2）∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0， ∴a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0， ∴a＝b或b＝c或a＝c， ∴△ABC是等腰三角形或等边三角形． 14.如图，P是△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP． （1）AB+AC＞BP+PC是否成立？若成立，请说明理由； （2）试比较PA+PB+PC与AB+AC+BC的大小关系，并说明理由． 【详解】（1）成立． 理由：延长BP交AC于点D， 在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①， 在△PCD中，PC＜PD+CD②， ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即：AB+AC＞PB+PC． （2）结论：PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 根据第一问的结论有 PB+PC＜AB+AC， PA+PB＜CA+CB， PA+PC＜BA+BC， ∴2PA+2PB+2PC＜2AB+2AC+2BC， ∴PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 15.已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O． 试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）． 【详解】在△AOB中，AO+BO＞AB①， 在△BOC中，CO+BO＞BC②， 在△COD中，CO+DO＞CD③， 在△AOD中，AO+DO＞DA④， ①+②+③+④得：2（AO+CO+BO+DO）＞AB+BC+CD+DA， ∴2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA， ∴AC+BD（AB+BC+CD+DA）． 学科网（北京）股份有限公司 $$