专题2.3相似三角形的性质（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题2.3相似三角形的性质 教学目标 1.理解相似三角形的性质。 2.能灵活运用相似三角形的性质解决相关问题。 教学重难点 教学重点：性质定理的理解与掌握；性质定理的应用；性质定理的探究过程 教学难点：相似比相关概念的区分；知识的综合运用 知识点 相似三角形的性质定理 1.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2.相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3.相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【即学即练】1．（2025·安徽合肥·一模）如图，，若，，则与的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的对应边比等于相似比．根据相似三角形的对应边之比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴与的相似比为：． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 3．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，对应高的比为， ∴对应面积的比为， 故选：B． 4．（2025·安徽滁州·三模）已知，和的周长分别为和，且，，求和的长． 【答案】， 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的性质． 先根据相似三角形的性质列出比例式，转化为待求线段的方程求解． 【详解】解：， ， ， ，． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，求的值． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定综合 【分析】得到，得到，则，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 题型01 相似三角形的性质定理证明 【例1】求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的高．求证：． 证明：，，； 又、分别是、的高， ，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 【变式1-1】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是边、的中线． 求证：． 证明：， ，； 又、分别是边、的中线，，， ，，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用． 【变式1-2】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、 的角平分线．求证：． 证明：， ，，； 又、分别是、的角平分线， ，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 题型02 利用相似三角形的性质求线段的比 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交AD于点F，，，求BF：BE． A B C D E F 【解析】 解：是的角平分线，，又， ，，又， ，，，，， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 【变式2-2】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【答案】． 【解析】解：，，， ，， ，，，， 是中线，,． 题型03 利用相似三角形的性质求周长 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为（   ） A．1 B．45 C．5 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，相似比为，且的周长为15， ∴的周长为， 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，相似比为，且的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及比例的性质，熟记相关结论即可． （1）设，则，，，即可求解； （2）由题意得，即可求解； 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解： ∵，相似比为， ， 的周长为， ， 解得：， ∴的周长为 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质， （1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， 这个矩形的周长； 题型04 利用相似三角形的性质求图形的面积 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，的面积是1，那么的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积是1， ∵． ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：20． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D，E分别在上，，，，求．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟记结论即可． 先证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵，· ∴ ∵， ∴ ∵ ∵． 【变式4-3】如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质． （1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形全等； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 又， ， ； （2）， ， ， ， ， 答：水果园的面积为． 【变式4-4】（2025·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 / 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似三角形的对应边的比相等求解． （1）作于，求得的面积等于，证明，求得，即可求得； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，求得，设，求得，，再求得，到的距离等于，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）作于， ∵两点均在反比例函数的图象上， ∴的面积等于的面积， ∵的面积为，的面积为4， ∴的面积等于，则的面积等于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，垂足为． ∵的面积为，的面积为4， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，到的距离等于， ∴． 故答案为：8． 【变式4-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 【答案】 9 12 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据“对补四边形”定义可知，进而证明，利用其性质即可求解； （2）根据相似三角形面积比与相似比的关系求的面积，再根据“对补四边形”的面积为即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为：9； （2）∵，且相似比为， ∴， 则， ∴“对补四边形”的面积为， 故答案为：12． 题型05 利用相似三角形的性质求图形的面积比 【例5】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，点在边上，，连接交于点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 由，设，，则， 再证明，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：由，设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∵ ∴ 则 所以． 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图在△中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角的判定与性质，由可得，，得到，即可求出，，再求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∵由等底等高可得，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-3】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，求的值． 【答案】 【分析】得到，得到，则，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式5-4】（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． 【答案】 / / 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，根据题意得点D为的中点，推出是的中位线，，由等面积法求出即可； （2）延长交于点G，证明是的斜边上的中线得,证明得,利用相似三角形的性质求出，再证明，从而,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：（1）连接， 在中，，， ， 点F落在上，与关于对称， ，， 点D为的中点， E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交于点G， 与关于对称， ,， ∴垂直平分， ∴， ∵平分, ∴是的斜边上的中线， ∴, 由折叠的性质可知，， ∴， 由三角形外角的性质，得， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴. ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵E是的中点， ∴, . 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型06 利用相似三角形的性质解决内接矩形问题 【例6】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，． (1) ；（用含的式子表示） (2)这个矩形的最大面积是 【答案】(1) (2)2400 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法． （1）证，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形的面积，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∴． ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）解：设矩形的面积为S，则， 即， 当时，S有最大值为2400 ， ∴这个矩形的最大面积是． 故答案为：2400． 【变式6-1】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【答案】(1)60 (2)20 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60； （2）解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合正方形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． （2）结合矩形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设这个零件的边长为r， ∵四边形为正方形，且的高，边， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 这个零件的边长为； （2）解：依题意，设这个零件的边， ∵四边形是矩形，且的高，边， ∴， ∴， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， 解得． ∴这个零件的长、宽分别是． 【变式6-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． (1)请利用图1解决“勾股容方”问题； (2)事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质； （1）设，则，，证明，再利用相似三角形求解即可； （2）如图2，过C作于点P，交于点Q，设，求解，，证明，再利用相似三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即内接正方形的边长为； （2）解：如图2，过C作于点P，交于点Q，设， ∵的两条直角边，的长分别为5步和12步， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理得， ∴，即， 解得， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长为步； ∵， ∴“斜”不能压“正”． 【变式6-4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)①；②当时，取最大值，最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用， （1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式； ②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴, ， ， 设正方形的边长为， ， 解得：， 答：这个正方形的边长是； （2）①在矩形中，，， ∴， ∴， ， ， ∴，即；     ②由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 题型07 相似三角形综合运用 【例7】（2025·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边一边的中点．若等边的面积为16，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点A作轴，垂足为C，点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，计算，，根据图象的分布确定k值即可； 【详解】解：过点A作轴，垂足为C，点M作轴，垂足为D，连接， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，得 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是内一点，点，，，分别是线段，，，的中点，则 ．    【答案】/0.125 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，，，，由相似三角形的性质可得，，从而得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是内一点， ∴， ∵点，，，分别是线段，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1） ． （2）设的面积为，的面积为， ． 【答案】 【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到． 【详解】解：在上取一点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴①， 由翻折可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴②， 由①②得； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比． 【变式7-3】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在中，点P是边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形的顶点F，E分别在上．七年级为矩形部分，八九年级为和两部分． (1)若，求； (2)已知．设，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式． (3)在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少． 【答案】(1) (2) (3)当时，y有最大值，最大值为 【分析】（1）先证明，结合，可得 ，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，同理 ，进而得到，即可求解； （3）根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理 ， ∴， ∴即y与x的函数关系式为； 解：∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·安徽宿州·一模）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 可证明∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在正方形中，E是对角线上一点，且，连接并延长，交于点M，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积相关知识．解题关键是利用正方形性质判定三角形相似，结合线段比例关系求出各部分面积，进而得出面积比值． 利用正方形对边平行性质，判定与相似．由得出线段比例关系，结合相似三角形性质得到，根据同高三角形面积比等于底之比，设，求出、，依据相似三角形面积比等于相似比平方求出．通过求出四边形面积，进而得出的值． 【详解】∵四边形是正方形， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴， 那么． 设，则，． ∵正方形中是对角线， ∴． ∵与分别以、为底时，高相同， ∴． 设，则，． ∵且， ∴， ∴． ，而， ∴． 则． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设正方形的边长为x，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程求解即可； 【详解】设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 【答案】或2 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的值为或2， 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 【答案】这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的性质．由矩形的性质可得，设，则，再由结合矩形的面积公式即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ． 设，则， ， 解得， 矩形的面积 ， 时，有最大值24， 即的长为，的长为，矩形面积最大． 答：这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，．    (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据平行线的性质得出，进而根据角平分线的定义得出，根据等角对等边，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， , ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ，， ， ∴． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，线段垂直平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再证明垂直平分，得到，进而推出，结合即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进而证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ∵，， ∴垂直平分， ∴ ， 又， ； （2）解：， ， 又， ， ， ，即的面积为． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据平行四边形的性质求出，，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ， ， 即：， 由（1）可得：， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）先证明，进而得到，再证明，推出，结合，即可得证； （2）三线合一，求出，，根据，得到，进而求出，的长，根据以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 【答案】(1)48 (2) (3)长和宽分别为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则，证明，得到，求出结果即可； （2）根据矩形性质证明，得到，即可得到与之间的关系式； （3）设矩形的零件的面积为S，利用即可得出当时，S的最大值为2400，再代入求出y值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ∴， ， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是， 故答案为：48； （2）解：四边形为矩形， ， ， ∴， ， 整理得：； （3）解：设矩形的零件的面积为S， ， 当时，S的最大值为2400， ， 矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽分别为，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，二次函数的最值问题，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3相似三角形的性质 教学目标 1.理解相似三角形的性质。 2.能灵活运用相似三角形的性质解决相关问题。 教学重难点 教学重点：性质定理的理解与掌握；性质定理的应用；性质定理的探究过程 教学难点：相似比相关概念的区分；知识的综合运用 知识点 相似三角形的性质定理 1.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2.相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3.相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【即学即练】1．（2025·安徽合肥·一模）如图，，若，，则与的相似比为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽滁州·三模）已知，和的周长分别为和，且，，求和的长． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，求的值． 题型01 相似三角形的性质定理证明 【例1】求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【变式1-1】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【变式1-2】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 题型02 利用相似三角形的性质求线段的比 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 【变式2-1】如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交AD于点F，，，求BF：BE． A B C D E F 【变式2-2】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 题型03 利用相似三角形的性质求周长 【例3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为（   ） A．1 B．45 C．5 D．30 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，相似比为，且的周长为，求的周长． 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 题型04 利用相似三角形的性质求图形的面积 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，的面积是1，那么的面积是 ． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D，E分别在上，，，，求．    【变式4-3】如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【变式4-4】（2025·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【变式4-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 题型05 利用相似三角形的性质求图形的面积比 【例5】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，点在边上，，连接交于点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　）    A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图在△中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，求的值． 【变式5-4】（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． 题型06 利用相似三角形的性质解决内接矩形问题 【例6】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，． (1) ；（用含的式子表示） (2)这个矩形的最大面积是 【变式6-1】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 【变式6-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． (1)请利用图1解决“勾股容方”问题； (2)事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 【变式6-4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 题型07 相似三角形综合运用 【例7】（2025·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边一边的中点．若等边的面积为16，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是内一点，点，，，分别是线段，，，的中点，则 ．    【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1） ． （2）设的面积为，的面积为， ． 【变式7-3】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在中，点P是边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形的顶点F，E分别在上．七年级为矩形部分，八九年级为和两部分． (1)若，求； (2)已知．设，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式． (3)在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少． 一、单选题 1．（2025·安徽宿州·一模）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在正方形中，E是对角线上一点，且，连接并延长，交于点M，则的值为（） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，．    (1)求证：； (2)求的值． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的面积． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 13．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$