专题1.3 直线与平面的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

专题1.3 直线与平面的位置关系 教学目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①直线与平面平行的判定定理和性质定理；②直线与平面平行的判定定理和性质定理③直线与平面所成角 教学难点：直线与平面所成角 知识点01 直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即学即练】如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 知识点02 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线垂直于平面，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练】如图，在三棱锥中，．求证：平面；    知识点03直线与平面所成角 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【即学即练】如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 知识点04三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 题型01 判断线面平行，垂直关系 【典例1】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确说法的序号是 . 【变式2】已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【变式3】已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4】已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 构造长方体，在长方体中构造线面，判断平行垂直关系 题型02 证明线面平行 【典例1】如图，在正方体中，点G，E，F分别为棱的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面DBFE． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式2】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【变式3】如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【变式4】在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 题型03 补全线面平行的条件 【典例1】如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为 ，是上一点，且平面，则的长为 ． 【变式2】如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【变式3】如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【变式4】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 题型04 线面平行的性质及其应用 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【变式2】如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【变式3】如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【变式4】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 题型05 证明线面垂直 【典例1】如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值； (3)求证：平面． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若，求证：平面； 【变式2】如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式3】如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）.证明：平面. 【变式4】在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 题型06 补选线面垂直的条件 【典例1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【变式1】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    题型07 线面垂直的性质定理 【典例1】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式1】设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式2】在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 【变式3】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【变式4】如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 题型08 直线与平面所成角定值问题 【典例1】已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 【变式1】如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 【变式2】如图所示，是的直径，所在的平面，是上一点，若，，则直线与平面所成角的正切值为 . 【变式3】已知顶点为的圆锥，为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则与该圆锥底面所成角的正切值为 . 【变式4】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 题型09 直线与平面所成角最值范围问题 【典例1】如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为 . 【变式1】已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 . 【变式2】已知正三棱锥的六条棱长均为6，设是及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则直线与平面所成角正切值的最小值为 ． 【变式3】如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .    【变式4】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练．易知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，，，则的最大值是 （仰角为直线与平面所成角）．    题型10 根据线面角求参数 【典例1】如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【变式2】如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 【变式4】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 1．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 3．如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是 （填序号）． 4．在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为 5．在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 6．在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 7．在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则 . 8．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 9．已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 10．设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 11．已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 12．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 13．在直三棱柱中，已知为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，，，证明：平面． 14．如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 直线与平面的位置关系 教学目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①直线与平面平行的判定定理和性质定理；②直线与平面平行的判定定理和性质定理③直线与平面所成角 教学难点：直线与平面所成角 知识点01 直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即学即练】如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【答案】平面、平面与EF平行，理由见解析 【分析】根据三角形重心的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可. 【详解】设是的中点，因为E、F分别是、的重心． 所以为E、F分别在、上， 由三角形重心的性质可知：， 于是有， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因此在四面体中，平面、平面与EF平行. 知识点02 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线垂直于平面，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即学即练】如图，在三棱锥中，．求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理求出，在根据勾股定理证明，再通过线面垂直的判断定理说明线面垂直即可. 【详解】在中，， 由余弦定理，即，解得， 所以在中，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 知识点03直线与平面所成角 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【即学即练】如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 【答案】/ 【分析】找出线面所求角再利用直角三角形正弦值即可求得结果. 【详解】连结与交于，连结， ∵，，又,且平面， ∴平面， ∴是与平面所成的角， 在中，，∴．即, 即与平面所成的角为. 故答案为： 知识点04三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 题型01 判断线面平行，垂直关系 【典例1】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【详解】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 【变式1】已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确说法的序号是 . 【答案】①④ 【分析】利用直线的平行移动，不改变该直线与另外直线或平面所成的角的大小，再结合空间线面关系的相关判定和性质定理来论证. 【详解】①可由直线平行移动，它与另外直线或平面所成的角是不变的性质可推证是正确的； ②根据两个平面平行的定义，可知分别在两平面内的直线一定是无公共点，这样就可知m与n平行或异面，所以②错误； ③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α或n与α相交，故③错误； ④可先由m∥n，m⊥α⇒n⊥α，再由α∥β可得n⊥β，故④正确. 故正确的序号是：①④． 【变式2】已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 【变式3】已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断. 【详解】解：由得： 存在，满足， 若，则直线垂直平面中任意一条直线， ，，，， ，，，是否相交不确定，不一定成立， “，”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【变式4】已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误. 【详解】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 构造长方体，在长方体中构造线面，判断平行垂直关系 题型02 证明线面平行 【典例1】如图，在正方体中，点G，E，F分别为棱的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面DBFE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明，可证D，B，F，E四点共面； （2）连接分别交DE，DB于点H，O，连接HO，通过证明可证. 【详解】（1）连接，如图所示，因为点E，F分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中，， 所以，所以D，B，F，E四点共面． （2）连接分别交DE，DB于点H，O，连接HO，如图所示． 在正方体中，， 所以，所以， 同理可得， 在中，，所以， 又平面不在平面DBFE内，所以平面DBFE． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，，D是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，可通过构造线线平行，利用直线与平面平行的判定定理来证明； （2）求异面直线所成角，可通过平移其中一条直线，使其与另一条直线相交，得到异面直线所成角的平面角，再利用解三角形的知识求解. 【详解】（1） 连接 ，设 与 的交点为 在直三棱柱中，侧面 为矩形，故 是 的中点。 又 是的中点，因此是的中位线，即 因为平面，平面，所以平面 （2）由（1）知 ，故直线 与所成的角等于 与 所成的角（或其补角） 只需在平面图形中求的余弦值. 直三棱柱底面 中，，为中点，故 （直角三角形斜边中线性质） 是 的中位线，，故 侧面 为矩形，是中点 在 中，故 则 在中，由余弦定理： 故直线 与直线所成角的余弦值为. 【变式2】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）取中点，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 【变式3】如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平行的传递性即可求证； （2）连，交与点，则点是的中点，可证，由直线与平面平行的判定定理证明平面； 【详解】（1）因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2）    连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 【变式4】在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 题型03 补全线面平行的条件 【典例1】如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】连接，．记，先证明为平行四边形，Q为的中点，继而可作出，结合线面平行的判定即可得出结论. 【详解】如图，连接，．记，而，， E为边的中点，则， 故为平行四边形，且Q为的中点， 连接，在平面内作，交延长线于M， 则有，所以． 此时平面，平面， 则直线平面， 即直线上存在点M，使得直线平面，. 【变式1】如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为 ，是上一点，且平面，则的长为 ． 【答案】 【分析】第一空：延长交于，连接，与的交点即为，通过三角形知识求解即可； 第二空：作，交于，连接，通过边长关系求解即可. 【详解】 第一空：如图，延长交于，连接，交于，由，， 可得，所以； 第二空：是上一点，且平面，作，交于，连接，则， 四边形为平行四边形，，则. 故答案为：；. 【变式2】如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】当时，连接，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】当时，连接，因为，所以， 因为E，F分别为的中点，所以，从而， 又平面平面，所以平面． 故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）. 【变式3】如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【答案】存在，为的中点，证明见解析 【分析】当为的中点时，取得中点，连接，，，先利用中位线及平行四边形的性质得出，再根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【变式4】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理确定的值，使平面. 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    题型04 线面平行的性质及其应用 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段成比例可证明四边形为平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）先证明平面,即可利用线面平行的性质求解. 【详解】（1）在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 （2）由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 【变式2】如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 【变式3】如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可. 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 【变式4】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见详解 (2)是的中点，证明见详解 【分析】（1）取中点，连接，证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）证明，结合线面平行的性质定理即可得证. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 题型05 证明线面垂直 【典例1】如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值； (3)求证：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）推导出，利用勾股定理可求得的长； （2）分别取、、的中点、、，连接、、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线、所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理求解即可； （3）利用勾股定理证明出，同理得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. （2）分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由侧面PAD⊥底面ABCD结合，可得平面，据此可完成证明； （2）取PD中点为G，连接FG，GA，通过证明可完成证明； （3）由（2）通过证明平面可完成证明. 【详解】（1）因底面是矩形，则， 又侧面底面，侧面底面，底面， 则平面， 因为平面，所以； （2）取PD中点为G，连接FG，GA，因是的中点， 则.又是的中点，, 则，从而四边形是平行四边形. 则，又平面，平面，则平面； （3）因，又G为PD中点，则. 由（1）可得平面，又平面，则. 又平面，，则平面. 由（2）可得，则平面. 【变式2】如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明. 【详解】（1）分别是的中点，是矩形， ，且， 四边形是平行四边形，则. 又平面平面， 平面. （2）如图，连接. 正方形ABCD的边长为， ， 则. 又平面平面ABCD，. 由底面ABCD为正方形可得， 又平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面. 【变式3】如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而，则平面，又平面， 于是，由点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合） 得，又平面， 所以平面. 【变式4】在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点G，连接，得出，由线面垂直的性质及判定得出平面，即可证明. 【详解】取的中点G，连接， F是的中点，，且， ，． 又，四边形是平行四边形，， 在中，，，则， 平面，，平面， 又平面，， ，平面，平面， 又因为，所以平面． 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 题型06 补选线面垂直的条件 【典例1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 【变式1】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 【变式2】如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，由圆柱的结构特征和线面垂直的判定可知平面，则点轨迹是平面与上底面的交线，结合勾股定理可求得长，即为所求轨迹长度. 【详解】连接，作，交于点， 是的中点，， 平面，平面，， ，平面， 平面，又平面， ，又，，平面， 平面， 设平面与上底面交于，，点的轨迹为； ，，是母线中点， ， ， . 故选：C. 【变式3】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 【变式4】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    【答案】 【分析】取的中点，证得，，得到平面，得到，进而证得平面，得到点在线段上运动，结合，即可求解. 【详解】解：取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为正方形，所以，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以点在线段上运动， 在等腰直角中，由，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得线段的长的最大值为. 故答案为：.      题型07 线面垂直的性质定理 【典例1】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【变式1】设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线线位置、线面位置关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或相交，或是异面直线，B错误； 对于C；由，，得或或与相交，C错误； 对于D，若，，则，D正确. 故选：D 【变式2】在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的性质可得出结论. 【详解】如下图所示： 在长方体中，平面， 因为平面，所以，， 故答案为：平行. 【变式3】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【变式4】如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明； 【详解】证明：如图，连接，． ∵平面，平面， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴．同理可得， 又∵，平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵，，平面， ∴平面． ∴． 直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 题型08 直线与平面所成角定值问题 【典例1】已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可证为直线与平面所成角，根据解直角三角形可求其正切值. 【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 故答案为：. 【变式1】如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】首先做辅助线找出直线与平面所成的角，然后根据直角三角形的边角条件求出其正弦值. 【详解】过点作于，连接. 因为正三棱柱，所以. 因为，所以平面. 又平面，所以. 又，所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 设，则，根据勾股定理. 所以，解得. 在直角三角形中，，所以. 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：. 【变式2】如图所示，是的直径，所在的平面，是上一点，若，，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】由线面角的定义可知直线与平面所成角为，设，求出的长，即可求出的正切值，即为所求. 【详解】因为平面，所以直线与平面所成角为， 不妨设，因为是上一点，，则，且， 因为平面，所以，故. 因此，直线与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 【变式3】已知顶点为的圆锥，为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则与该圆锥底面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】根据给定信息作出几何图形，利用几何法求出线面角的正切值. 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接， 由是边长为2的正三角形，得，则， 由，圆锥底面，圆锥底面， 则是与该圆锥底面所成的角， 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 故答案为： 【变式4】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】过作，交于，连接，是直线与平面所成的角，求出，进而得到答案. 【详解】 过作，交于，连接， 平面， 是直线与平面所成的角， 由题意，得， ，， ， ， 直线DE与平面ABCD所成角的大小为是. 故答案为：. 题型09 直线与平面所成角最值范围问题 【典例1】如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得. 【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 . 【答案】 【分析】根据面面平行，结合线线垂直可证明平面,即可根据线面角的定义求解为与平面所成的角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】设过的一个平面,（不与平面重合）与正方体相交于, 取的中点，过作,过作，连接, 故平面平面， 过作于，由于平面，平面，故, 平面，故平面, 所以为与平面所成的角，故也为为与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则， , 要使最小，则需要最大即可， 由于, 故当时，此时取最大值， 此时的最小值为， 故答案为：    【变式2】已知正三棱锥的六条棱长均为6，设是及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则直线与平面所成角正切值的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到点的范围，根据几何关系得到与平面所成角最小即为与所成角最大的位置，转化为求到的最大距离问题，找到最大距离位置后，计算得到答案为. 【详解】由题意是一个棱长为的正四面体，则， 则正四面体的高； 如图所示：在三角形内， 其中，，分别是，，的中垂线在内的部分， ，则点应当在梯形内部（包含边界）， 同理可得出满足和的点的范围也是梯形， 综合所有条件，点应当在正六边形的内部（包含边界）； 可设与平面所成角为，由图可得： ，要让最小，只需要让最大， 由几何关系可知点在正六边形的顶点时，，此时取得最小值. 故答案为： 【变式3】如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .    【答案】 【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解． 【详解】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，易知四边形是菱形， 设在平面的射影为， 由正三棱锥可知，点是△的外心， ，则， 由，得， 所以，再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆， 同理，在平面（即平面上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时， 取得最小值，记相交于Q,易知， 则， 此时取得最大值为． 故答案为：．   【点睛】 关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键是确定在平面上的轨迹为圆. 【变式4】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练．易知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，，，则的最大值是 （仰角为直线与平面所成角）．    【答案】/ 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】   过点P做直线BC的垂线，垂直为D，如图，则由仰角的定义得， 由题意，设则， 点D与B不重合时，在中，， 点D与B重合时，上式也成立， 在中，， 当时，取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：． 题型10 根据线面角求参数 【典例1】如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    【变式2】如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）先判断出当平面时，四棱锥的体积取最大值；然后结合线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理证得平面. （2）判断出与平面所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得. 【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点， ，，，则平面， 平面，， ，，平面， 平面，则， 故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，，因此，平面. （2）因为平面，与平面所成角为， 因为平面，， 所以，，解得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，解得或. 因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 【变式3】如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的特征及条件先证得平面，由即可得结论； （2）作，先证为直线与平面所成角，设边长，结合条件解直角三角形得出含参表示的边长，作商即可解得. 【详解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，平面，∴平面， ∵三棱台中， ∴平面， 又平面，，故是直角三角形． （2） 在平面内作，垂足为，连接． 由（1）知，平面，又平面，， ，平面，平面， 是在平面上的射影，即为直线与平面所成角． 设，则，， ∵三棱台中，， ，． 在中，，， 在中，， 解得． ∴ 当时，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式4】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）首先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，构造线面角，再设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案. 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． （2）∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 1．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 【答案】 【分析】当时，根据线面垂直的判定定理得平面，则. 【详解】连接， 由直四棱柱可得平面， 因为平面，故， 当时，因为，故平面， 而平面，故. 故答案为：. 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 3．如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据空间中线与线、线与面垂直的判定定理和性质定理，分别证明各结论正误. 【详解】 矩形，平面，， 在矩形矩形中，, 所以,且面，面, 所以面,因为面，所以，所以①正确. 同理可证平面，则，所以②正确. 由题意可知， 当时，在中有， 即，化简得,所以③错误. 矩形，平面，，所以④正确. 故答案为：①②④． 4．在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为 【答案】 【分析】根据题意可知为与平面所成的角，在中求解即可. 【详解】∵⊥平面， ∴为与平面所成的角， ， 因为为锐角， ∴. 故答案为： 5．在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据由线面垂直可得线线垂直结合直三棱柱的性质可得类似于的结论即可. 【详解】如图所示，连接， 由，可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由直三棱柱可知，只要证即可． 因为，，故只要证即可． （或者能推出的条件，如等） 答案：（答案不唯一） 6．在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】利用线面垂直，构造线面角，再根据几何关系，即可求解. 【详解】如图，连接．平面，所以直线与平面所成的角为． 设，易得， ， 所以． 故答案为： 7．在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则 . 【答案】 【分析】由题可知和外接圆的半径，比较可得球心在外心处，根据球的性质可知平面，再利用等体积法可求点到平面的距离，即可求. 【详解】设外接圆圆心为，半径为，中点为，连接， 因为，，，， 所以，， 是直角三角形，则为外接圆圆心，半径， 所以三棱锥的外接球体积取得最小值时，球心在外心处，外接球半径为， 根据球的性质，截面圆心与球心的连线垂直于截面，即平面， ，则， 又，所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以. 故答案为：. 8．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【分析】证明为的角平分线且为直线与平面所成的角，根据三余弦定理求出即可求解. 【详解】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角， 因为平面平面， 所以由三余弦定理得， 故直线与平面所成角为． 故答案为：. 9．已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 10．设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：如果，，那么与平行、相交或异面，故A错误； 对于B：如果，，那么或，故B错误； 对于C：如果，，那么或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 对于D：如果，，根据线面垂直的性质可得，故D正确． 故选：D． 11．已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据面面相交的性质，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; （2）由题意可得，又由（1）知， 所以直线和必相交，不妨设， 则， 又平面， 所以平面， 同理平面． 因为平面平面， 所以， 所以、、三条直线交于一点． 12．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【详解】（1） 连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 13．在直三棱柱中，已知为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，，，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取中点，连接，，根据两平面平行的判定定理证明平面平面，再由两平面平行的性质定理即可证明平面； （2）由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）如图，因为，，， 所以，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以四边形为正方形，所以， 又，平面，平面，所以平面． 14．如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即得. （3）由（2）求得，再在上取点，利用线面平行的判定推理得解. 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$