精品解析：山东省济宁市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2024-2025学年度第二学期质量检测 高一数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 2. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数性质直接计算得解. 【详解】若数据的平均数为2， 则数据的平均数为. 故选：C 3. 用斜二测画法画出平面四边形的直观图为菱形，如图所示，其中，，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法可作出原图形，得到原图形是长为2宽为4的矩形，接着求面积即可. 【详解】根据斜二测画法原图如下： ，所以四边形的面积为8. 故选：D. 4. 为了得到的图象，可将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移前后解析式的变化规律可解. 【详解】将向左平移个单位长度得到， 故选：A. 5. 已知平面，和直线，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面关系的判定定理和性质定理逐一分析即可得解. 【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C 6. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量定义直接计算即可. 【详解】由题可得在上的投影向量为. 故选：B 7. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为，已知，，，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的垂线，设，解得，利用，然后解方程即可. 【详解】过作的垂线，设， ， ，， ， ， 解得. 故选：A. 8. 已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依次求得、和即可由计算得解. 【详解】由题可得，，， 所以， ， ， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的数量积易知A错误；利用数量积的定义式可判断B；由可得，根据模长公式即可判断C；根据数量积的定义式，只要即可判断D. 【详解】对于A，，一个与共线，另一个与共线，易知不一定相等，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即，故C正确； 对于D，，又， 可得，所以不一定相等，故D错误； 故选：BC. 10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为80 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为78 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用面积之和为1可求出a的值； 选项B：中位数是将数据分为两半的点，找到累积频率达到0.5的位置； 选项C：以各组中点值乘以频率求和即可； 选项D：用，验证 【详解】，解得：，A正确； 中位数是累积频率达到0.5的点.从累积频率看：中位数位于和分界线，所以中位数为80，B正确 ，C错误 ， ，D正确 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体内切球的体积为 B. 与所成角 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 底面半径为，高为的圆柱，能整体放入该正方体中 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：可知内切球半径，即可得球的体积；对于B：做辅助线，分析可知与所成角为（或其补角），进而可得结果；对于C：做辅助线，截面为，进而可得面积；对于D：以为圆柱的轴，结合圆柱、正方体的结构特征分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为正方体的棱长为2， 可知正方体内切球半径，所以内切球的体积为，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 且，则，可知与所成角为（或其补角）， 又因为，，则， 所以与所成角为，故B错误； 对于选项C：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知为平行四边形，可得， 同理可得，则， 可知平面截正方体的截面为， 且， 所以截面面积为，故C正确； 对于选项D：以为圆柱的轴， 设，，，，且， 因为，则， 根据对称性可得，则， 所以圆柱能整体放入该正方体中，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 某校数学兴趣社团有男生50人，女生30人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据抽样比计算求解即可. 【详解】由题可得分层抽样的抽样比为， 所以抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为. 故答案为：15 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的外接圆的半径为1，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，即再平方处理即可得到的最大值，利用正弦定理得解. 【详解】根据题意， 又，所以， 而， 即， 当时，， 解得， 又外接圆的半径为1，所以， 所以的最大值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的分类，列出方程组可解； （2），则，根据复数是方程的根，必也是方程的根，然后利用韦达定理可解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数， 所以， 复数为纯虚数，实数的值为. 【小问2详解】 ，则， 又复数是关于的方程的一个根， 所以也是方程的根， 则， 所以. 16. 某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型（A型号与B型号）在复杂城市环境中的配送效率.记录了在10次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为： A型号 10 11 12 13 14 11 10 11 15 13 B型号 11 13 10 11 12 10 14 12 12 15 已知该公司要求配送时间不超过15分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高. （1）分别计算、两种型号车的配送时间的平均数和方差； （2）根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求. 【答案】（1）型号车的配送时间的平均数为，方差为，型号车的配送时间的平均数为，方差为， （2）型号更符合公司的要求 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式，，分别代入数据即可求解； （2）首先比较平均配送时间是否小于15，然后比较方差，方差小的更稳定，也就配送效率更高，综合以上分析即可求解. 【小问1详解】 型号车的配送时间的平均数 ， 型号车的配送时间的方差 ， 型号车的配送时间的平均数 ， 型号车的配送时间的方差 ， 所以型号车的配送时间的平均数为，方差为， 型号车配送时间的平均数为，方差为， 【小问2详解】 由（1），则都满足该公司要求配送时间不超过15分钟， 又，所以型号配送时间更稳定，效率更高， 所以型号更符合公司的要求. 17. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，结合向量共线的坐标表示运算求解； （2）根据数量积的坐标表示可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为，，则， 若，则，解得. 【小问2详解】 因为，， 则，整理可得， 且，则，可得， 即，所以. 18. 设的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）若点在直线上，当为锐角三角形时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换运算求解即可； （2）设，由锐角三角形可得，利用正弦定理可得，结合函数单调性求取值范围即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 且， 则， 可得， 因为，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 设，则， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得， 则， ， 可得， 构建， 可知在内单调递减，且， 当趋近于时，趋近于， 可得，所以的取值范围为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，. （1）若为的重心，点在棱上，且，求证：平面； （2）若三棱锥外接球的表面积为. （i）求二面角的余弦值； （ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，求证且即可由线面平行判定定理得证； （2）（i）先求出外接球的半径，进而得到球心即为中点，接着过作交于点，连接求得为二面角的平面角，计算即可得解； （ii）过作平面交平面于点，连接得到即为直线与平面所成角，设，依次求出和，计算即可求解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 因为为的重心，所以在且， 因为点在棱上，且， 所以，又在平面外，平面， 所以平面； 【小问2详解】 （i）因为三棱锥外接球的表面积为，所以三棱锥外接球的半径为， 在中，所以球心即为中点， 所以. 因为，所以与全等，， 过作交于点，连接，则， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以二面角的余弦值； （ii）由题可得，又由（i）可得， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作平面交平面于点，则，连接， 则即为直线与平面所成角， 设， 在中， 所以， 所以，则， 在中， 所以， 因为， 所以， 所以，即直线与平面所成角的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期质量检测 高一数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 用斜二测画法画出平面四边形的直观图为菱形，如图所示，其中，，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 为了得到的图象，可将的图象（ ） A 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知平面，和直线，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为，已知，，，则山高（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为80 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为78 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体内切球的体积为 B. 与所成角为 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 底面半径为，高为的圆柱，能整体放入该正方体中 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则________. 13. 某校数学兴趣社团有男生50人，女生30人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为________. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的外接圆的半径为1，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 16. 某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型（A型号与B型号）在复杂城市环境中的配送效率.记录了在10次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为： A型号 10 11 12 13 14 11 10 11 15 13 B型号 11 13 10 11 12 10 14 12 12 15 已知该公司要求配送时间不超过15分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高. （1）分别计算、两种型号车的配送时间的平均数和方差； （2）根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求. 17. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18. 设内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的大小； （2）若点在直线上，当为锐角三角形时，求取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，，，，. （1）若为的重心，点在棱上，且，求证：平面； （2）若三棱锥外接球的表面积为. （i）求二面角的余弦值； （ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$