4.3 相似多边形（分层作业）数学北师大版九年级上册

4.3 相似多边形 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 5．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 9．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 ． 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 13．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 15．（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 1．（20-21九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形 中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长x的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 4．（2023·江苏苏州·一模）如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则 ． 6．（24-25九年级上·广东佛山·期中）四边形是一张矩形纸片，将其技如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为 ． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是 ．    1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 相似多边形 1．（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 6．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似比、相似多边形的性质及计算，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质求解即可得出答案． 【详解】两个相似五边形的相似比为， 它们的面积比为， 故选：C． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【详解】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质．①正确，证明即可；②正确，设，则，利用相似多边形的性质求出，可得结论． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点F是线段的黄金分割点，故①正确； ②∵， ∴可以假设，则， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴矩形与矩形全等， ∴矩形与矩形相似，故②说法正确， 故选：A． 9．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，相似比为k， ∴，，， ∴， 综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确， 故选：D 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比． 根据相似多边形周长的比等于相似比计算即可得到答案． 【详解】解：设较大四边形的周长为， 由题意得：， 解得：， 较大四边形的周长为， 故答案为： ． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似比是，可得面积的比是，即可求解；掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：长为为，宽为的矩形的面积是， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， 相似比是， 因而面积的比是， 因而留下矩形的面积是． 故答案为：8． 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 13．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 15．（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 1．（20-21九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形 中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， ，即， 四边形ABFE是矩形， 是的平分线，且， ， 四边形ABFE是正方形， ， 又四边形ABCD是黄金矩形，且， ， 设，则， ， ， ， 则，， 即，选项A正确； ，， 即，选项B正确； ，， 即，选项C错误； ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长x的值为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：剩下的矩形与原矩形相似， ， 一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形， ， ， 解得：（负数不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，所得到的正六边形的面积是原正六边形面积的 倍． 【答案】3 【分析】如图，连接，求出，而，判定△是等边三角形，得到，，因此，由三角形外角的性质求出，得到，由勾股定理求出，由相似多边形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，由题意，得：， ∵正六边形的外角和为， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 两个正六边形相似， 所得到的正六边形的面积与原正六边形面积的比． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正多边形的外角，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及相似多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则 ． 【答案】 【分析】设，，求出小正方形的边长，可得结论． 【详解】解：如图， 设，， 则， ，， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（24-25九年级上·广东佛山·期中）四边形是一张矩形纸片，将其技如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】题考查相似多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质；先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为则，再根据相似多边形性质得出比例式，得出，进而即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的长为则， 四边形是矩形， 矩形与原矩形相似， 即 解得：（负值舍去），即 矩形的面积为 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是 ．    【答案】 【分析】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a，根据相似多边形的性质得到，然后整理求解即可． 【详解】设32开的纸的长为a，宽为b，则16开的纸的长为，宽为a， ∵这两种长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴16开的纸和32开的纸的相似比是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$