第3章勾股定理 单元试卷2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 单元试卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．1，，3 C．6，8，10 D．，， 2．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ） A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间 3．如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 4．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 5．如图，在中，，，，分别以A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为，，过，两点作直线交于点，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 6．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 8．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是 ． 10．在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 11．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    12．某时刻渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图所示，经测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则渔船B位于灯塔O南偏东 °方向． 13．如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝ ． 14．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 15．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 16．如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ． 三、解答题 17．如图，正方形网格中有，点，，都在格点上（小正方形的顶点叫作格点），每个小正方形的边长为1． （1）求出，，的长； （2）求的度数． 18．如图，已知在中，于点D，，，，    （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 19．如图，莲花湖景区内有一块四边形空地 ，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量 ， ， ， ， ． （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线 的长度； （2）请你用学过的知识计算出这块空地的面积； （3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 20．在中，且周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动，点Q从点C沿边向点B以每秒的速度移动，如果同时出发，则过时，求的长． 21．我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 22．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为2米，顶端距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端距墙顶的距离为2米，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，.求： （1） 墙的高度； （2） 竹竿的长度. 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代入计算即可得出答案． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，故不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，故不符合题意； C、， 能构成直角三角形，故符合题意； D、， 不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选C． 2．【答案】A 【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解． 【详解】由点P坐标为(－2，3)， 可知OP=, 又因为OA=OP, 所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间， 故选A． 3．【答案】A 【分析】由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选A． 4．【答案】B 【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， 设到的距离为， ， ， 故选B． 5．【答案】C 【分析】由线段垂直平分线段性质，推出，设，由，得，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选C． 6．【答案】A 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选A． 7．【答案】B 【分析】由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选B． 8．【答案】C 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选C． 9．【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离 【详解】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2=AB2 ∵AC=9，BC=12， ∴AB=在Rt△ABC中,∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2， ∵AC=9，AB=15， ∴BC==12， ∵S△ABC=AC⋅BC=AB⋅h， ∴h== 10．【答案】或 【分析】分两种情况当为斜边时，利用勾股定理求出，即可求出直角三角形的面积，当当为斜边时，可以直接求出直角三角形的面积． 【详解】解：当为斜边时， 则， ∴直角三角形的面积为， 当为斜边时， 则直角三角形的面积为. 11．【答案】56 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图，    在中，， 在中，， ∴ . 12．【答案】66 【分析】利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， 则渔船B位于灯塔O的南偏东方向. 13．【答案】5 【分析】连接，利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵圆形水杯的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵木棍长， ∴. 14．【答案】 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴. 15．【答案】 【分析】连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 16．【答案】 【分析】先求出这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高3，再画出图形，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高3， 如图，由题意得，，， 则甲壳虫的最短路程为. 17．【答案】（1）；； （2） 【分析】（1）直接利用网格的特点和勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得， ， ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 18．【答案】（1）， （2）见详解 【分析】（1）在中，利用勾股定理求的的长度，再在中求得的长度，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， 在中， ∴ （2）证明：∵，，， ∴，即 ∴是直角三角形， 19．【答案】 （1） 米； （2） 平方米； （3）7020元. 【分析】 （1）利用勾股定理求出 即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明 ，计算两个直角三角形面积即可解决问题； （3）根据总价 单价 面积. 【详解】 （1）解：在 中，由勾股定理得 （米）． （2）在 中， ∵ ， ∴ ， ∴ （平方米）． （3）购买草坪需要的总价为 （元）， 答：观赏草坪每平方米的价格是30元，购买草坪需要花7020元． 20．【答案】 【分析】首先根据的三边比例不妨设出，结合的周长可以得到，的长，判断的形状，根据点，的速度以及出发的时间求出，的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设为，则为，为，的周长为， ， 得， ， ， 是直角三角形， 过3秒时，， ， ． 21．【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【分析】过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 22．【答案】 （1） 【解】设墙的高度为米，则米，米. 在中，根据勾股定理，得. 在中，根据勾股定理，得. ，，即,解得. 答：墙的高度为4米. （2） 由（1）知，，米. 答：竹竿的长度为米. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$