21.3 实际问题与一元二次方程(2) 专项训练 2025-2026学年 人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程(2) 专项训练 提优目标：1.能够列一元二次方程解决有关图形问题. 2.能根据题目中的条件或隐含条件,检验一元二次方程的两个根是否符合实际情况. 基础巩固 1．如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m 【思路点拔】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x160（舍去），x2＝5． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 【思路点拔】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600， 整理得：x2﹣75x+350＝0， 解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽是5m． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原正方形空地一边减少了5m，另一边减少了6m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是 　10　m． 【思路点拔】本题可设原正方形的边长为x m，则剩余的空地长为（x﹣5）m，宽为（x﹣6）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长． 解：设原正方形的边长为x m，依题意得： （x﹣5）（x﹣6）＝20， 解得：x1＝10，x2＝1（不合题意，舍去）， 故原正方形的边长10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．正确记忆长方形的面积公式，求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 4．如图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米，求通道的宽是 　3　米． 【思路点拔】设通道的宽是x米，则停车位可合成长为（26﹣2x）米，宽为（14﹣2x）米的矩形，根据铺花砖的面积为160平方米（即停车位的面积为160平方米），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设通道的宽是x米，则停车位可合成长为（26﹣2x）米，宽为（14﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（26﹣2x）（14﹣2x）＝160， 整理得：x2﹣20x+51＝0， 解得：x1＝3，x2＝17（不符合题意，舍去）， ∴通道的宽是3米． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程 　（20﹣x）（12﹣x）20×12　． 【思路点拔】设道路的宽为x m，则余下的部分可合成长（20﹣x）m，宽（12﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为整个矩形面积的，即可得出关于x的一元二次方程． 解：设道路的宽为x m，则余下的部分可合成长（20﹣x）m，宽（12﹣x）m的矩形， 依题意得：（20﹣x）（12﹣x）20×12， 故选：（20﹣x）（12﹣x）20×12． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是找到等量关系，难度不大． 6．幼儿园打算建一个矩形活动区域ABCD（如图），活动区域一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的护栏围成．活动区域的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由． 【思路点拔】设AB的长度为x m，则BC的长度为m，由“幼儿园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成，活动区域的面积为40m2”，列出一元二次方程，解方程即可． 解：活动区域的面积能为40m2，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设AB的长度为x m，则BC的长度为m， 由题意得：x•40， 整理得：x2﹣18x+80＝0， 解得：x1＝10，x2＝8， ∴活动区域的面积能为40m2，AB的长为10m或8m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 思维拓展 7．空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　） A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 【思路点拔】设矩形EFCD的边EC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解． 解：如图所示，设矩形EFCD的边EC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米， 根据题意得：（40﹣2x）x＝194， 即：﹣2x2+40x＝194， 解得：x1＝10，x2＝10， 而40﹣2x≤18， ∴x≥11， ∴x＝10 所以只有一种围法， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 8．已知AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过点E作EF⊥CD，垂足为点F，如图．若正方形ACDB与四边形MNFC的面积相等，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 【思路点拔】先证正方形AENM与矩形BDFE的面积相等，再设AE＝x，则BE＝2﹣x，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 解：∵四边形ABCD与四边形AENM都是正方形， ∴AB＝AC＝BD＝2，∠M＝∠N＝∠C＝∠B＝∠D＝90°， ∵EF⊥CD， ∴四边形EFDB与四边形MNFC都为矩形， ∵正方形ACDB与四边形MNFC的面积相等， ∴正方形AENM与矩形BDFE面积相等， 设AE＝x，则BE＝2﹣x， 由题意得：x2＝2（2﹣x）， 整理得：x2+2x﹣4＝0， 解得：x11，x21（不合题意，舍去）， ∴AE的长为1， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的判定与性质、正方形的性质等知识，由正方形AENM与矩形BDFE面积相等，列出一元二次方程是解题的关键． 9．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2， 【思路点拔】画出方程x2+mx﹣n＝0的拼图过程，由面积之间的关系得m2＝4，4n+4＝14，即可得出结论． 解：如图， 由题意得：m2＝4，4n+4＝14， ∴m2，n， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 10．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是12cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 　3　cm． 【思路点拔】设正方形的边长为x cm，根据底面积是12cm2列方程求解即可． 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意得：•（10﹣2x）＝12， 整理得：x2﹣11x+24＝0， 解得x＝3或x＝8（舍去）， 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用﹣几何问题，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝　2　s时，PQ平分△ABC的面积． 【思路点拔】先表示出PC＝（8﹣t）cm，CQ＝2tcm，根据PQ平分△ABC的面积得到t的方程求解即可． 解：根据题意，AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∵BC＝6cm，AC＝8cm， ∴PC＝（8﹣t）cm，点Q到B点的时间为6÷2＝3s，点P到C点的时间为8÷1＝8s， ∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ∴0＜t≤3， ∵PQ平分△ABC的面积， ∴，即， ∴， 整理得t2﹣8t+12＝0， 解得t1＝2，t2＝6（舍去）， ∴当t＝2时，PQ平分△ABC的面积． 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围． 12．如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米． （1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB； （2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【思路点拔】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（34+2﹣3x）米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论； （2）不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃． 解：（1）∵花圃的宽AB为x米， ∴花圃的长AD为（34+2﹣3x）米． 依题意得：x（34+2﹣3x）＝96， 解得：x1＝4，x2＝8． 当x＝4时，34+2﹣3x＝24＞22，不合题意，舍去； 当x＝8时，34+2﹣3x＝12＜22，符合题意． 答：此时宽AB为8米； （2）不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下： 依题意得：x（34+2﹣3x）＝120， 整理得：x2﹣12x+40＝0， ∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为120平方米的花圃． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 13．用总长400cm的木板制作矩形置物架ABCD（如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG．已知DG＝40cm，设正方形的边长为AB＝x cm． （1）当x＝45时，EG的长为 　5　cm； （2）置物架ABCD的高AD的长为 　180﹣2x　cm（用含x的代数式表示）； （3）为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面积为3850cm2，求x的值． 【思路点拔】（1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可； （2）根据矩形和正方形的性质直接列式即可； （3）结合（2）列出方程，解方程即可． 解：（1）当x＝45时，则AB＝AE＝BF＝EF＝GH＝DC＝45cm，DG＝MN＝HC＝40cm， EG（cm）， 故答案为：5； （2）置物架ABCD的高AD的长为（cm）， 故答案为：180﹣2x； （3）根据题意，由（2）得，（180﹣2x）x＝3850， 解得，x1＝55，x2＝35， 当x1＝55时，AD的长为180﹣2×55＝70cm，EG的高度为70﹣55﹣40＝﹣25cm，小于26cm，舍去； 当x2＝35时，AD的长为180﹣2×35＝110cm，EG的高度为110﹣35﹣40＝35cm，不小于26cm，符合题意． ∴x＝35． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及正方形及矩形的性质，解题关键是准确把握题意，列出一元二次方程． 延伸探究 14．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【思路点拔】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出； （2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可． 解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意，得x（72﹣2x）＝640， 化简，得 x2﹣36x+320＝0， 解得 x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）， 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈； （2）答：不能， 理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650， 化简，得 x2﹣36x+325＝0， Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键． 15．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？ （2）若点P从点A移动到点C停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【思路点拔】（1）作PE⊥CD于E，表示出EQ的长度，利用PE2+EQ2＝PQ2列出方程求解即可； （2）设经过x s后△PBQ的面积为12cm2，分两种情况，利用三角形面积公式列方程即可解出答案． 解：（1）过点P作PE⊥CD于E，如图： 根据题意得EQ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm），PE＝AD＝6cm， 在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2， ∴36+36＝PQ2， ∴PQ＝6cm； ∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm； （2）连接BQ，设经过y s后△PBQ的面积为12cm2， ①当P在AB上，即0≤y时，则PB＝16﹣3y， ∴PB•BC＝12，即（16﹣3y）×6＝12， 解得y＝4； ②当P在BC上，即y时， BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y， ∴BP•CQ（3y﹣16）×2y＝12， 解得y1＝6，y2（舍去）； 综上所述，经过4s或6s，△PBQ的面积为12cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的应用，涉及矩形的性质、两点间的距离、三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程(2) 专项训练 提优目标：1.能够列一元二次方程解决有关图形问题. 2.能根据题目中的条件或隐含条件,检验一元二次方程的两个根是否符合实际情况. 基础巩固 1．如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m 2．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 3．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原正方形空地一边减少了5m，另一边减少了6m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是 m． 4．如图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米，求通道的宽是 米． 5．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，如果设道路的宽为x m，则根据题意可列出方程 ． 6．幼儿园打算建一个矩形活动区域ABCD（如图），活动区域一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的护栏围成．活动区域的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由． 思维拓展 7．空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　） A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 8．已知AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过点E作EF⊥CD，垂足为点F，如图．若正方形ACDB与四边形MNFC的面积相等，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 9．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2， 10．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是12cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t＝ s时，PQ平分△ABC的面积． 12．如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米． （1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB； （2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 13．用总长400cm的木板制作矩形置物架ABCD（如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG．已知DG＝40cm，设正方形的边长为AB＝x cm． （1）当x＝45时，EG的长为 cm； （2）置物架ABCD的高AD的长为 cm（用含x的代数式表示）； （3）为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面积为3850cm2，求x的值． 延伸探究 14．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 15．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？ （2）若点P从点A移动到点C停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$