21.2.1 配方法(2) 专项训练 2025—2026学年 人教版数学九年级上册

21.2.1 配方法(2) 提优目标：1.会用配方法解一元二次方程. 2.会用配方法判别二次三项式的值的范围及有关的数学问题. 基础巩固 1．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A．② B．③ C．④ D．⑤ 2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 4．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　． 5．若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则ab＝　 　． 6．用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）2x2+1＝3x； （3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 思维拓展 7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 8．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n时，下面正确的是（　　） A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方 C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数 9．若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　 　． 10．阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　 　．（根用i表示）． 11．用配方法证明： （1）不论x为任何实数，代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零； （2）不论x为任何实数，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零． 12．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0． 13．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0． 小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为： “①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3； ⑥x1＝4，x2＝﹣2．” （1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成． （2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根） 延伸探究 14．简读以下材料并解决问题： ①若a﹣b≥0，则a≥b；若a﹣b≤0，则a≤b． ②∵x2+6x+10＝（x+3）2+1∴x2+6x+10有最小值1 ③∵2x2﹣8x﹣1＝2（x﹣2）2﹣9∴2x2﹣8x﹣1有最小值﹣9 （1）已知P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6，比较P与Q的大小． （2）设x、y为实数，求式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D为AE的中点，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1 配方法(2) 提优目标：1.会用配方法解一元二次方程. 2.会用配方法判别二次三项式的值的范围及有关的数学问题. 基础巩固 1．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A．② B．③ C．④ D．⑤ 【思维点拔】根据等式的性质可判断第②步出现错误． 【解答】解：x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 【思维点拔】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【思维点拔】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x， 则x2+2x+1，即（x+1）2， ∴a＝1，b， ∴a+b． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　． 【思维点拔】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值． 【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0， ∴x2﹣4x＝﹣3， ∴x2﹣4x+4＝﹣3+4， ∴（x﹣2）2＝1， ∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 5．若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则ab＝　 　． 【思维点拔】将（x﹣2）2＝1展开后，利用待定系数法即可求出答案． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝1， ∴x2﹣4x+3＝0， ∴a＝4，b＝3， ∴ab＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 6．用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）2x2+1＝3x； （3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 【思维点拔】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （3）原方程可化为x2x＝﹣1， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝2，x2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 思维拓展 7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 【思维点拔】根据完全平方式的特征对x2+6x+c＝0配方可得（x+3）2﹣9+c＝0，通过变形可得c的值． 【解答】解：∵对x2+6x+c＝0配方可得到（x+3）2﹣9+c＝0， ∴（x+3）2﹣9+c＝0变形可得（x+3）2＝﹣c+9， ∴﹣c+9＝2c， ∴c＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键． 8．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n时，下面正确的是（　　） A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方 C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数 【思维点拔】把（x+m）2＝n化成一般式即可判断． 【解答】解：（x+m）2＝n化为x2+2m+m2﹣n＝0， ∴p＝2m， ∴mp， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 9．若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　 　． 【思维点拔】利用配方法、结合题目给出的方程的两根解出方程． 【解答】解：x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 10．阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　 　．（根用i表示）． 【思维点拔】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣2x＝﹣2， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1， 开方得：x﹣1＝±i， 解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 11．用配方法证明： （1）不论x为任何实数，代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零； （2）不论x为任何实数，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零． 【思维点拔】依据题意，利用完全平方公式把运算变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【解答】证明：（1）﹣x2+6x﹣10 ＝﹣（x2﹣6x）﹣10 ＝﹣（x2﹣6x+9）﹣1 ＝﹣（x﹣3）2﹣1， ∵（x﹣3）2≥0， ∴﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2﹣1＜0， ∴代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零． （2）2x2﹣6x+9 ＝2（x2﹣3x） ＝2（x）2， ∵2（x）2为非负数， ∴2（x）2为正数， ∴无论x取何值时，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 12．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0． 【思维点拔】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可． 【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3， ∴最小整数解为﹣2， 将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0， 配方，得（x﹣2）2＝5． 直接开平方，得x﹣2＝±． 解得x1＝2，x2＝2． 【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 13．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0． 小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为： “①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3； ⑥x1＝4，x2＝﹣2．” （1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成． （2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根） 【思维点拔】（1）根据移项要变号可知第⑤步错误； （2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下： ∵x2+2x﹣8＝0， ∴x2+2x＝8， ∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9， 则x+1＝±3， ∴x＝﹣1±3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）∵x2+2nx﹣8n2＝0， ∴x2+2nx＝8n2， ∴x2+2nx+n2＝8n2+n2， ∴（x+n）2＝9n2， ∴x+n＝±3n， ∴x1＝2n x2＝﹣4n． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中． 延伸探究 14．简读以下材料并解决问题： ①若a﹣b≥0，则a≥b；若a﹣b≤0，则a≤b． ②∵x2+6x+10＝（x+3）2+1∴x2+6x+10有最小值1 ③∵2x2﹣8x﹣1＝2（x﹣2）2﹣9∴2x2﹣8x﹣1有最小值﹣9 （1）已知P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6，比较P与Q的大小． （2）设x、y为实数，求式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值． 【思维点拔】（1）利用作差法比较大小． （2）利用配方法进行解答． 【解答】解：（1）∵P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6， ∴P﹣Q＝（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣6x﹣6）＝x2+2x+5＝（x+1）2+4＞0， ∴P＞Q； （2）∵4x2﹣2xy+y2﹣12x+13 ＝x2﹣2xy+y2+3x2﹣12x+12+1 ＝（x﹣y）2+3（x﹣2）2+1， ∴式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值是1． 【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式加减．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D为AE的中点，求的值． 【思维点拔】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案； （2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案； ②直接利用勾股定理得出等式求出答案． 【解答】解：（1）∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°， 又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°， 则90°+2∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝45°． （2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根． 理由如下： 由勾股定理得：， ∴ 解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，（x+b）2＝a2+b2， 得， ∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根； ②∵D为AE的中点， ∴， 由勾股定理得：， 则b2﹣ab＝0，故b﹣a＝0， 整理得：． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$