1.2.3直线与圆的位置关系（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

2.3 直线与圆的位置关系 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 标准方程 一般方程 方程 代数特征 参数要求 圆心 半径 明确圆心和半径 ; 圆的两种方程： 前情回顾 位置关系 标准方程判断 一般方程判断 点在圆上 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆外 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆内 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 ＝ > < ＝ > < 点与圆的位置关系： 章节导读 2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 2.3直线与圆的位置关系 2.4圆与圆的位置关系 圆的标准方程 点与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的弦长问题 圆的一般方程 点与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公共弦与公切线问题 学 习 目 标 1 2 3 数形结合理解直线与圆的位置关系及其判断方法. 能根据直线与圆相交的位置关系求弦长. 能灵活应用公式解决有关直线与圆相交弦的最值问题. 读教材 阅读课本P32-P34，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线与圆的位置关系”吧！ 1.直线与圆的位置关系有哪些？用什么方法判断呢？ 2.直线与圆相交时，说说可以怎么求弦长？ 如果把月亮视为圆，海平线看作直线，它们有哪些位置关系呢？ 新课引入 “海上生明月，天涯共此时”，这是唐代诗人张九龄的诗句。 相交 相切 相离 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 新知探究1 思考1：在直线方程的学习中，我们如何判断两条直线的位置关系？ 直线平行、垂直、重合 利用两条直线的斜率(图象)来 判断位置关系 思考2：类比直线方程，如何研究直线与圆的位置关系呢？ 利用两条直线方程组解的个数来 判断位置关系 直线与圆的位置关系 1.几何法：利用图象来判断位置关系 2.代数法：联立方程组 利用解的情况判断位置关系 新知探究1 探究1 已知直线和圆的方程，如何用d 与 r确定直线与圆的位置关系？ 直线 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 r d r d r d d < r d > r d = r 直线 直线 ，其中()为圆心坐标. 新知探究1 探究1 联立直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆有两个公共点 直线与圆有一个公共点 直线与圆没有公共点 新知1 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系: r r ∟ d ∟ d ∟ d r 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 d < r d > r d = r 典例分析 例1 直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ ） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 B ∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上， ∴直线不过圆心. 典例分析 例2 已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P (3,0)的直线，则（ ） A.l 与C 相交 B.l 与C 相切 C.l 与C 相离 D.以上三个选项均有可能 A 解：将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3,0)在圆内，即过点P的直线l必与圆C相交. 典例分析 例3 已知直线l:2x+y-3=0,圆M：(x-a)2+y2=5： (1)指出圆心M的位置特征； (2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离？ 解：(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点. (2)根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为： 当d < ，即－1<a<4时，直线l与圆M相交； 当d = ，即a=－1或a=4时，直线l与圆M相切； 当d > ，即a＜－1或a>4时，直线l与圆M相离. 课本第33页 典例分析 例4 直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 解：方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，则Δ＝4m(3m＋4). 典例分析 解：方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)， 半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离： 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 新知探究2 探究2 当直线和圆相交时，如何求弦长？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 且平分弦所对的两条弧。 几何法：(勾股定理) 代数法：(两点间距离公式) 新知2 相交－－弦长公式 2.相交－－弦长公式: 几何法：(勾股定理) 代数法：(两点间距离公式) 为直线斜率 典例分析 典例分析 典例分析 解：易知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2. 所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 典例分析 例3 已知直线m：3x+4y－2=0与圆P：x2+y2-2x-2y=0；(1)写出圆P 的 圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形？ (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线 m被圆P截的的弦长；若相切或相离，给出证明？ 解：(1)将圆的方程化为标准方程， 得(x－1)2+(y－1)2=2 ， 即圆P是以点(1,1)为圆心为半径的圆 (如图). 课本第34页 典例分析 例3 已知直线m：3x+4y－2=0与圆P：x2+y2-2x-2y=0； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线 m被圆P截的的弦长；若相切或相离，给出证明？ 解：(2)因为圆心P 到直线m的距离： 所以直线m与圆P相交.设交点为A，B， 圆P的半径为r， 易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长， 即： 课本第34页 底边AB上的高为圆心 P到直线m的距离 d.所以由勾股定理， 得： 故直线m被圆P截得的弦长为2 . 典例分析 例4 圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，求弦所在直线的方程？ 解：已知圆心O(0,0)，当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直， 方法总结 直线与圆的最长弦与最短弦： (1) 当l 过圆心时，被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为 (2) 当l 与直径垂直时，被圆截得的弦长最短，即为 已知直线l过圆内一点： 学习过程 01 03 02 目录 1 直线与圆的位置关系 2 相交－－弦长问题 3 题型训练 判断直线与圆的位置关系 题型1 题型探究 例1直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是（ ） A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 D 所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. 判断直线与圆的位置关系 题型1 题型探究 例2 直线与圆 当m为何值时，直线与圆： (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 解：化为标准方程圆的半径为. 圆心到直线的距离为， (1)若相交，则，即，所以或； (2)若相切，则，即，所以； (3)若相离，则，即，所以. 题型探究 直线与圆相交求弦长 题型2 解：设圆的半径为r，依题意，得 ∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 题型探究 例4 直线l 与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点， 若弦AB的中点为C(－2,3)，求直线l 的方程？ 直线与圆相交求弦长 题型2 解：由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)， 所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0. 题型探究 直线与圆相交求弦长 题型2 解:由题意知圆心C的坐标为(2,0)，半径为r＝2， 当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0， 题型探究 直线与圆相交求弦长 题型2 即4x＋3y－13＝0. 综上所述：直线l 的方程为：4x＋3y－13＝0或x ＝1. 题型探究 例6 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别 为AC和BD，求四边形ABCD的面积？ 直线与圆相交求弦长 题型2 设点F为其圆心，坐标为(1,3)， B D A C 课堂小结 1.直线与圆的位置关系: r r ∟ d ∟ d ∟ d r 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 d < r d > r d = r 课堂小结 2.相交－－弦长公式: 几何法：(勾股定理) 代数法：(两点间距离公式) 为直线斜率 感谢聆听！ 解:圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， 当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. d＝＝ . 当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 例1求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长？ 解：(F1)直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是 方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)， 所以弦长为＝2. 例1求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长？ 解:(F2)如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. 例2直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2， 求实数a的值？ 直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝＝， 又d＝， 所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2， 故所求直线的斜率为－， 所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 解:圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为： d＝＝，0<d<r， 例3直线l的方程为x－y－1＝0若圆C的圆心为点(3,0)， 直线l被该圆所截得的弦长为2 ，求圆C的标准方程？ 圆心(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝， 则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4，∴r＝2， 所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1， 例5直线l过点P(1,3)且与圆(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2， 求直线l的方程? 当直线l的斜率不存在时，即x＝1，代入圆的方程可得y2＝3，解得y＝±， 所以弦长|AB|＝2，符合条件. 例5直线l过点P(1,3)且与圆(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2， 求直线l的方程? 所以圆心到直线的距离d＝＝， 所以由题意，可知2＝2＝2， 解得k＝－， 所以这时直线方程为y－3＝－(x－1)， 解：化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直， 故|EF|＝，所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. $$