精品解析：广东省江门市 2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024—2025学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学 说明： 1．全卷共6页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关信息． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦擦干净后重新填涂所选选项信息点． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，再重新写上新的答案，不能使用涂改液修改．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束后，将测试试卷和答题卡一并交给监考老师． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 的计算结果是（　　） A. B. 3 C. D. 3. 已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、 3、 4 B. 3、 4、 5 C. 5、 12、 13 D. 6、 8、 10 4. 已知：在中，，则的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 12 6. 如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ） 嘉嘉：；淇淇： A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 两人的都正确 D. 两人的都不正确 7. 已知一次函数的图象向上平移个单位长度后，其图象经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 10. 某校为强化学生安全教育学习成果，考查学生面对突发事件的应急处突能力和自救互救能力，组织七年级，八年级学生进行了理论知识测试（分数为整数，满分为10分）.已知两个年级随机抽取参与测试的学生人数相同，根据成绩绘制了如图所示的统计表和统计图.下列判断正确的是（ ） 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 8 8 c 1.16 八年级 8 b 8 1.56 A. 两个年级被抽取参与测试的学生人数均为40人 B. 若该校八年级有900名学生，估计该校八年级学生成绩满分的人数约105人 C. ； D. 七年级测试成绩得9分的学生人数最多，说明七年级学生成绩较稳定 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：＝_______． 12. 计算：________． 13. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 14. DeepSeek训练模型时，记录温度与运行时间（小时）的关系如图所示，当运行到第10小时，的温度是________． 15. 中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形屋脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑．若米，米，为的中点，于点，则的长度为______米． 三、解答题（一）：本大题共3小题，共21分，其中16题6分，17题7分，18题8分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值． 对于该题，小明是这样解答的： ， ， ， ， ． 请你根据小明的解题过程，解决以下问题： （1） ； ． （2）化简：． （3）若，求的值． 18. 为提高学生的劳动技能，某学校开辟了一块空地并在空地上建有大棚．数学兴趣小组在空地上种下某速生植物的种子，种植后第5 天种子刚刚发芽(记长度为 0cm)，组员在每天同一时间对该植物的长度进行了测量并记录，第10 天该植物的长度为 20cm，经过研究发现该植物的长度 y(单位：cm)与种植时间x(单位：天)成一次函数关系． （1）请根据以上信息在所给的平面直角坐标系中画出函数图象． （2）求第20 天该植物的长度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 植树造林是生态文明建设的重要一环，2025年4月3日，习近平总书记在参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 所抽取学生植树棵数条形统计图 所抽取学生植树棵数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是______________棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有500名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 20. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 21. 如图，直线l：y＝x+与两坐标轴分别交于A、B两点，点M为线段AB的中点， （1）求A、B、M的坐标； （2）直线l关于y轴对称的直线为l'，写出直线l'的解析式； （3）若直线l'交x轴于点C，直线MC与y轴的交点为N，连接OM，求． 五、解答题（三）：本大题共2小题，共27分，其中22题13分．23题14分． 22. 综合与实践 【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业中的作用愈发关键．芒果作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与科学化管理，某农业科技研究小组针对2024年个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销售渠道拓展提供有力的数据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展． 【数据收集与整理】将收集的个芒果主产区的产量数据（产量：，单位：万吨）进行如下分组： 组别 /万吨 整理数据后得到部分信息如下： ①组的数据（单位：万吨）为51，56，56，54，55，58． ②2024年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示： 任务1：_____，_____． 【数据分析与运用】任务2：C组数据的众数是_____；收集的这个芒果主产区2024年芒果产量的中位数是_____． 任务3：2024年各组芒果的平均产量如下表： 组别 平均产量/万吨 35 43 55 68 74 求这个芒果主产区2024年芒果的平均产量． 任务4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）． ①如果收集的个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加0.5万吨； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组． 23. 综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期义务教育质量监测 八年级数学 说明： 1．全卷共6页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关信息． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦擦干净后重新填涂所选选项信息点． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域内作答；如需改动，先划掉原来的答案，再重新写上新的答案，不能使用涂改液修改．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束后，将测试试卷和答题卡一并交给监考老师． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，故B不合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C不合题意； D、|m|被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，故D不合题意． 故选：A． 2. 的计算结果是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解： ＝3． 故选：B． 3. 已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、 3、 4 B. 3、 4、 5 C. 5、 12、 13 D. 6、 8、 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较小两边的平方和等于较长边的平方的三角形能够成直角三角形逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴2、 3、 4不能构成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴3、 4、 5能构成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴5、 12、 13能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，∴6、 8、 10能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 已知：在中，，则的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 5. 已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解． 本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴ ． 故选：A． 6. 如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ） 嘉嘉：；淇淇： A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 两人的都正确 D. 两人的都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 7. 已知一次函数的图象向上平移个单位长度后，其图象经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，熟知平移的原则是解题的关键．根据函数图象平移的规律：“上加下减” “左加右减”的原则即可求得函数解析式，把点的坐标代入即可求出答案． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后的函数解析式为：， ∵过点， ∴， 解得：， 故选：A 8. 已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系：总费用成人票价学生票价是解题关键．根据总费用名成人的门票费用名学生的门票费用解答即可． 【详解】解：依题意，y与x之间的函数解析式为 故选：C． 9. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10. 某校为强化学生安全教育学习成果，考查学生面对突发事件的应急处突能力和自救互救能力，组织七年级，八年级学生进行了理论知识测试（分数为整数，满分为10分）.已知两个年级随机抽取参与测试的学生人数相同，根据成绩绘制了如图所示的统计表和统计图.下列判断正确的是（ ） 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 8 8 c 1.16 八年级 8 b 8 1.56 A. 两个年级被抽取参与测试的学生人数均为40人 B. 若该校八年级有900名学生，估计该校八年级学生成绩满分的人数约105人 C. ； D. 七年级测试成绩得9分的学生人数最多，说明七年级学生成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，中位数与众数的定义，有样本估计总体，方差判断稳定性，根据条形统计图与扇形统计图的相关知识，中位数与众数的定义，有样本估计总体，方差等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、两个年级被抽取参与测试的学生人数均为人，故选项A错误，不符合题意； B、八年级学生成绩满分的人所占比例为， 则若该校八年级有900名学生，成绩满分的人数约人，故选项B错误，不符合题意； C、八年级9分的学生所占比例最高，则众数为9，即， 50人中，第25与第26的学生分数为中位数，都为8分， 则，故选项C正确，符合题意； D、七年级测试成绩得8分的学生人数最多，七年级学生成绩方差小说明成绩较稳定，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，再合并，然后进行二次根式的乘除运算． 13. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据表格中四种车型的平均数和方差即可解答． 【详解】解：∵根据平均数可得四种车型中平均续航里程长的是A和B，根据方差可得四种车型中续航表现稳定的车型是A和C， ∴要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择A． 故答案为：A． 14. DeepSeek训练模型时，记录温度与运行时间（小时）的关系如图所示，当运行到第10小时，的温度是________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用．先利用待定系数法求得时函数的解析式，再求的函数值即可． 【详解】解：设函数的解析式为，由图象过点，， 则， 解得：， 所以函数的解析式为， 当时，，即此时的温度是． 故答案为：45． 15. 中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形屋脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑．若米，米，为的中点，于点，则的长度为______米． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示，连接， ∵米，为的中点，米， ∴，米； 在中，（米）； ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，共21分，其中16题6分，17题7分，18题8分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据二次根式的加减法可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值． 对于该题，小明是这样解答的： ， ， ， ， ． 请你根据小明的解题过程，解决以下问题： （1） ； ． （2）化简：． （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）12 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是要掌握二次根式的化简规则． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ． 18. 为提高学生的劳动技能，某学校开辟了一块空地并在空地上建有大棚．数学兴趣小组在空地上种下某速生植物的种子，种植后第5 天种子刚刚发芽(记长度为 0cm)，组员在每天同一时间对该植物的长度进行了测量并记录，第10 天该植物的长度为 20cm，经过研究发现该植物的长度 y(单位：cm)与种植时间x(单位：天)成一次函数关系． （1）请根据以上信息在所给的平面直角坐标系中画出函数图象． （2）求第20 天该植物的长度． 【答案】（1） 作图如下图所示： （2）第20天该植物的长度是60cm． 【解析】 【分析】采用描点法，将题干中数值在图上描出，在用平滑的直线连接即可． 先设出一次函数解析式，再将和代入求出即可． 【小问1详解】 列表如下∶ x ．．． 5 10 ．．． y ．．． 0 20 ．．． 作图如下图所示： 【小问2详解】 设，将和代入得 ， 解得： ， ∴． 当时，． 答：第20天该植物的长度是60cm． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法来求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察函数图像，准确代入信息是解题关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 植树造林是生态文明建设的重要一环，2025年4月3日，习近平总书记在参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 所抽取学生植树棵数条形统计图 所抽取学生植树棵数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是______________棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有500名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 5，5 （2）5.3 （3）2650棵 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，众数和加权平均数，用样本估计总体等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解题． （1）根据扇形图和条形图求出调查的总人数再计算植树7棵的人数即可补全条形统计图，根据中位数和众数的定义求解即可． （2）根据加权平均数公式计算即可． （3）用样本的平均数乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：植树5棵的有8人，占， 调查的总人数为：（人）， 植树7棵的人数为：（人）， 补全条形统计图如略 中位数是第10、11个的平均数，第10、11个数是5，中位数为，5出现的次数最多，众数是5， 故答案为：5，5； 【小问2详解】 解：所抽取的学生平均每人植树的棵数：（棵）， 答：所抽取的学生平均每人植树的棵数是5.3棵． 【小问3详解】 解：（棵）， 答：该校500名学生此次活动植树的总数是2650棵． 20. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 如图，直线l：y＝x+与两坐标轴分别交于A、B两点，点M为线段AB的中点， （1）求A、B、M的坐标； （2）直线l关于y轴对称的直线为l'，写出直线l'的解析式； （3）若直线l'交x轴于点C，直线MC与y轴的交点为N，连接OM，求． 【答案】（1）A，B， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点即可求得A、B的坐标，进而根据中点公式求得M点的坐标；（2）求得点B关于y轴的对称点，然后根据待定系数法即可求得；（3）过M作轴于D，通过勾股定理求得OM的长，再利用待定系数法求得MC的解析式，从而求得与y轴的交点N的坐标，即可得到的值． 【小问1详解】 在直线的解析式中， 令，得，令，得， 故点A、B的坐标分别为、； 点M为线段的中点，； 【小问2详解】 直线与l关于y轴对称，设直线交x轴于点C， 则点C与B关于y轴对称，即， 直线过点，可设直线的解析式为， 由直线过点，，， 即函数解析式为：； 【小问3详解】 如图，过M作轴于D，在中，由勾股定理有： ， 又设直线的解析式为， 则解方程组得， 直线的解析式为， 直线的与y轴的交点为， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，求得交点是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，共27分，其中22题13分．23题14分． 22. 综合与实践 【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业中的作用愈发关键．芒果作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与科学化管理，某农业科技研究小组针对2024年个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销售渠道拓展提供有力的数据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展． 【数据收集与整理】将收集的个芒果主产区的产量数据（产量：，单位：万吨）进行如下分组： 组别 /万吨 整理数据后得到部分信息如下： ①组的数据（单位：万吨）为51，56，56，54，55，58． ②2024年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示： 任务1：_____，_____． 【数据分析与运用】任务2：C组数据的众数是_____；收集的这个芒果主产区2024年芒果产量的中位数是_____． 任务3：2024年各组芒果的平均产量如下表： 组别 平均产量/万吨 35 43 55 68 74 求这个芒果主产区2024年芒果的平均产量． 任务4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）． ①如果收集的个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加0.5万吨； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组． 【答案】任务1：20，4；任务2：56万吨，56万吨；任务3：这20个芒果主产区2024年芒果的平均产量是56.4万吨；任务4：②③ 【解析】 【分析】任务1：根据的区域个数和所占的百分比，求出总个数n即可；用总个数减去其他各项的数据得出a的值即可； 任务2：根据众数和中位数定义进行求解即可； 任务3：根据平均数计算公式求出这个芒果主产区2024年芒果的平均产量即可； 任务4：根据统计数据逐项进行判断即可． 【详解】解：任务1：， ； 任务2：C组数据中56出现的次数最多，因此众数是56万吨； 将收集的这个芒果主产区2024年芒果产量从小到大进行排序，排在第10和第11的都是56，因此中位数是（万吨）． 任务3：这个芒果主产区2024年芒果的平均产量为： （万吨）； 任务4：①如果收集的个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨，故此说法错误； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加万吨，故此说法正确； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组，故此说法正确． 综上分析可知：正确的是②③． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，众数和平均数，根据统计信息回答问题，解题的关键是理解题意，熟练掌握统计图的特点． 23. 综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 【答案】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，． 理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示： ∴，分别是，的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②2 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得到，，进而由三角形中位线的判定与性质得到，，最后由平行四边形的判定即可得证； （2）过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示，由（1）的证明过程得到得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得到相关边与角度关系，再结合三角形全等的判定与性质得到，，再结合平行线性质，数形结合表示出角度关系得到得证； （3）延长到点，使得，连接，，，如图2所示，由①的证明过程得到，由全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质得到，，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②延长到点，使得，连接，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线性质、等腰直角三角形判定与性质等知识．熟练掌握相关几何性质、数形结合构造辅助线求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $