2.1 函数的概念与表示讲义-2026届高三数学一轮复习

2.1 函数的概念与表示 知识梳理 一．函数的有关概念 1．函数 函数 两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数记法 函数y＝f (x)，x∈A 2．函数的三要素 (1)定义域：自变量x的取值范围； (2)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 即y的取值范围. (3)对应关系f：A→B. 3．相等函数（同一函数） 构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．所以，当两个函数的定义域和对应关系均相同时，它们就是相等函数（同一函数）. 4．函数的表示法：解析式法、图象法和列表法． 解析式法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【考点一 函数的有关概念】典例剖析 【题型一 函数的判断】 1．（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 【变式】（25安徽铜陵高一上期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 【题型二 同一函数的判断】 【总结归纳】判断两个函数为同一个函数的方法 (1)根本：定义域、对应关系（解析式）相同 (2)在化简解析式时，必须是等价变形；确认定义域时，不需要化简； 【注意】用什么字母表示自变量、因变量没有限制． 2．（25贵州毕节高二下期末）下列四组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断两个函数的定义域以及对应关系是否相同逐一判断. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故错误； 对B，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故错误； 对C，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故错误； 对D，，的定义域相同均为，，解析式相同，故值域也相同，故正确. 故选：D 【练习】（25山东潍坊高一下开学）下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项的正误. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D 知识梳理 2． 函数的定义域 1. 定义：指使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域。 2. 表示：定义域必须用集合或区间表示。若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接． 3. 求函数定义域的原则： ①用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合； ②用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合； ③当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 典例剖析 【考点二 函数的定义域】 【题型一 求具体函数的定义域】——解析式已知 【归纳总结】求具体函数的定义域的原则 1.思路：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【注意】不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化 2.具体：——“有意义的条件” ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 3． （25天津高二下期末）求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 【答案】 【分析】计算即可. 【详解】由题可知：，且. 所以定义域为. 故答案为： （2） 【答案】 【分析】利用函数有意义列式求出定义域 【详解】函数有意义，则， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： （3） 【答案】 【分析】列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型二 求抽象函数的定义域】——解析式未知 【归纳总结】求抽象函数的定义域 根本原则——两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 4．（1）（25山西运城高二下期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. （2）（25江西萍乡高二下期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【来源】江西省萍乡市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 【变式】（25江西高一上期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 在中，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【题型三 根据函数的定义域求参数】 【总结归纳】根据函数的定义域的解题思路 1.已知函数的定义域，求参数范围问题，根本是转化为恒成立或有解问题来解决． 2.解题思路：①根据函数本身定义域D的求解，列出式子，得出其解集为D ②利用该式子恒成立或有解，从而求解参数 【注意】求解参数时，注意根据题目特征，判断是否需要进行参变分离 5．（25江西高二下月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式】（24浙江金华高一上月考）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的定义域为R时的范围，再根据充要条件的定义判断即可． 【详解】若函数的定义域为R， 则当，，符合要求； 当时，有，解得， 综上所述，， 故“”是“函数的定义域为R”的充要条件. 故选：C. 6．（24贵州毕节高一上期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 7．（24四川成都高一上期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式】（24广东惠州高三下月考）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 三．函数解析式知识梳理 1. 定义：把变量x，y之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 2. 求函数的解析式的常用方法 （1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） （2）配凑法：复合函数，构造整体 （3）换元法：复合函数，令t=g(x) （4）构造方程组法：出现与的关系式、与的关系或一个奇函数与一个偶函数的关系式 典例剖析 【考点三 求函数的解析式】 【方法一 待定系数法】 【归纳总结】待定系数法求解析式 1.适用情况：已知函数类型，如：一次、二次函数、反比例函数等 2.具体操作：已知的函数类型时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 8．求下列函数的解析式： （1）已知为二次函数，且，求． 【答案】． 【分析】（1）设，根据条件，建立方程，即可求解. 【详解】 （1）设， 则 ， 又因为， 所以，解得， 所以． （2）是一次函数，且满足，求的解析式； 【答案】（2）或 【分析】（2）可设，利用待定系数法可得答案. 【详解】（2）因为是一次函数，所以设， 所以 ， 又因为，所以， 故 解得或 所以或. 【方法二 配凑法、换元法】——用于的函数 【总结归纳】配凑法、换元法求解析式 (1)适用情况：已知复合函数的表达式，求的解析式 (2)关键：配凑法——把的表达式配成的运算形式时。 换元法——设，用t表示x，再把x代入的表达式，得到的表达式，再把t换为x，即为的表达式 【注意】不论是配凑法还是换元法，都要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 9．（24云南昭通高一上期中）求下列函数的解析式： （1）已知，求； 【答案】（1）；（2） （1）法一，令，得到，代入即可求解；法二，根据条件，通过配凑，即可求解； （1）法一，设，则，得到， 所以，故. 解法二：因为， 所以. （2）已知，求的解析式； （3）已知，求的解析式； 【答案】(2)， (3)， 【分析】（2）设，由换元法可得出答案. （3）由，由配凑法可得答案. 【详解】（2）设，， 则，， ，. 即，. （3）， ，. 【方法三 构造方程组法】 【归纳总结】构造方程组法求解析式 1.适用情况：出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式。如：①互为倒数：；②互为相反数：。 2.求解思路：根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过消元解方程组求出f(x)。 10．求下列函数的解析式： （1）已知满足，求的解析式． 【答案】（1）. 【分析】（1）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）（方程组法）因为，① 所以将用替换，得，② 由①②解得． （2）已知满足，求的函数解析式. 【答案】（2） 【分析】（2）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（2）将代入 ， 得， 因此 解得. 11．（25江西高二下期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，，求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 【方法四 利用函数的奇偶性求解析式】 【归纳总结】利用函数的奇偶性求解析式 一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x) 12．（25云南丽江高一下月考）已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 【答案】 【分析】首先设，再根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】设，， 因为函数是奇函数，. 故答案为： 【考点四 求函数值】 【总结归纳】求函数值——根本：代入计算 1、 具体函数：将自变量代入对应解析式中 2、抽象函数：赋值法，根据题目信息进行赋值，代入解析式进行计算　 （具体函数） 13．（山东菏泽高一上期末）函数，则 . 【答案】3 【分析】根据自变量的值确定代入哪一段函数解析式来计算内层函数值，再将内层函数值作为新的自变量，代入相应解析式计算外层函数值. 【详解】已知函数， 因为，所以将代入中， 可得. 因为，此时求即求. 又因为，所以将代入中，可得， 所以. 故答案为：3. 【变式】（24四川南充高一上期末）已知，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】结合分段函数解析式赋值即可. 【详解】由题意得， 所以， 故选：D. 14．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出的等价条件为或，从而可判断两条件之间的条件关系. 【详解】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. （抽象函数） 15．（25四川成都高一下期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】令，求出，然后直接代入函数解析式即可求出函数值. 【详解】令，则， 所以. 故选：D. 16．（25江西南昌高二下期末）已知函数的定义域为，，则 （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 【变式】已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 函数的概念与表示 知识梳理 一．函数的有关概念 1．函数 函数 两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数记法 函数y＝f (x)，x∈A 2．函数的三要素 (1)定义域：自变量x的取值范围； (2)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 即y的取值范围. (3)对应关系f：A→B. 3．相等函数（同一函数） 构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．所以，当两个函数的定义域和对应关系均相同时，它们就是相等函数（同一函数）. 4．函数的表示法：解析式法、图象法和列表法． 解析式法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【考点一 函数的有关概念】典例剖析 【题型一 函数的判断】 1．（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式】（25安徽铜陵高一上期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【题型二 同一函数的判断】 【总结归纳】判断两个函数为同一个函数的方法 (1)根本：定义域、对应关系（解析式）相同 (2)在化简解析式时，必须是等价变形；确认定义域时，不需要化简； 【注意】用什么字母表示自变量、因变量没有限制． 2．（25贵州毕节高二下期末）下列四组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【练习】（25山东潍坊高一下开学）下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识梳理 2． 函数的定义域 1. 定义：指使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域。 2. 表示：定义域必须用集合或区间表示。若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接． 3. 求函数定义域的原则： ①用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合； ②用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合； ③当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 典例剖析 【考点二 函数的定义域】 【题型一 求具体函数的定义域】——解析式已知 【归纳总结】求具体函数的定义域的原则 1.思路：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【注意】不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化 2.具体：——“有意义的条件” ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 3． （25天津高二下期末）求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 【题型二 求抽象函数的定义域】——解析式未知 【归纳总结】求抽象函数的定义域 根本原则——两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 4．（1）（25山西运城高二下期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . （2）（25江西萍乡高二下期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【变式】（25江西高一上期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【题型三 根据函数的定义域求参数】 【总结归纳】根据函数的定义域的解题思路 1.已知函数的定义域，求参数范围问题，根本是转化为恒成立或有解问题来解决． 2.解题思路：①根据函数本身定义域D的求解，列出式子，得出其解集为D ②利用该式子恒成立或有解，从而求解参数 【注意】求解参数时，注意根据题目特征，判断是否需要进行参变分离 5．（25江西高二下月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式】（24浙江金华高一上月考）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24贵州毕节高一上期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24四川成都高一上期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式】（24广东惠州高三下月考）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 三．函数解析式知识梳理 1. 定义：把变量x，y之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 2. 求函数的解析式的常用方法 （1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） （2）配凑法：复合函数，构造整体 （3）换元法：复合函数，令t=g(x) （4）构造方程组法：出现与的关系式、与的关系或一个奇函数与一个偶函数的关系式 典例剖析 【考点三 求函数的解析式】 【方法一 待定系数法】 【归纳总结】待定系数法求解析式 1.适用情况：已知函数类型，如：一次、二次函数、反比例函数等 2.具体操作：已知的函数类型时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 8．求下列函数的解析式： （1）已知为二次函数，且，求． （2）是一次函数，且满足，求的解析式； 【方法二 配凑法、换元法】——用于的函数 【总结归纳】配凑法、换元法求解析式 (1)适用情况：已知复合函数的表达式，求的解析式 (2)关键：配凑法——把的表达式配成的运算形式时。 换元法——设，用t表示x，再把x代入的表达式，得到的表达式，再把t换为x，即为的表达式 【注意】不论是配凑法还是换元法，都要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 9．（24云南昭通高一上期中）求下列函数的解析式： （1）已知，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知，求的解析式； 【方法三 构造方程组法】 【归纳总结】构造方程组法求解析式 1.适用情况：出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式。如：①互为倒数：；②互为相反数：。 2.求解思路：根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过消元解方程组求出f(x)。 10．（25江西高二下期末）求下列函数的解析式： （1）已知满足，求的解析式． （2）已知满足，求的函数解析式. 11．已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，，求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【方法四 利用函数的奇偶性求解析式】 【归纳总结】利用函数的奇偶性求解析式 一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x) 12．（25云南丽江高一下月考）已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 【考点四 求函数值】 【总结归纳】求函数值——根本：代入计算 1、 具体函数：将自变量代入对应解析式中 2、抽象函数：赋值法，根据题目信息进行赋值，代入解析式进行计算　 （具体函数） 13．（山东菏泽高一上期末）函数，则 . 【变式】（24四川南充高一上期末）已知，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 14．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （抽象函数） 15．（25四川成都高一下期末）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 16．（25江西南昌高二下期末）已知函数的定义域为，，则 （   ） A．1 B． C． D． 【变式】已知定义在上的函数满足，则 ， ． 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$