精品解析：广东省广州外国语学校2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（ 　） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 6. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 45°，∠C = 15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0° < α < 180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 8. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 12. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 14. 如图，正六边形螺帽的边长为，则这个螺帽的面积是___________． 15. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为_______． 16. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）在图中画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的； （2）在（1）所画的图中，计算线段在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留）． 19. 如图，在中，． （1）作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； （2）求它的外接圆直径． 20. 如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； 21. 在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球个，现从中任意摸出一个红球的概率为． （1）求袋中红球的个数为___________． （2）搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的球中任意摸出个球．请用树状图或表格求两次都摸到红球的概率． 22. 某商品现在的售价为每件50元，每周可卖出400件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该商品的进价为每件30元，设每件涨价x元． （1）为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，求x； （2）当售价定为多少元时，会获得每周销售最大利润？并求出每周最大销售利润． 23. 如图，是的直径，四边形内接于，D是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 正方形 和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转，连接，相交于点H． （1）如图1，在旋转过程中，线段和有何数量关系？请说明理由； （2）如图2，连接、，取线段中点为点M，线段中点为点N，连接交于P，交于点Q，证明：； （3）如图3，在正方形旋转的过程中，连接，若点I是的内心，求点I到的最大距离． 25. 抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， （1）若，当时，求抛物线解析式； （2）若是等边三角形，求的值； （3）若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，依次分析每个选项的图形绕某点旋转后是否与自身重合，进而确定答案． 【详解】解：A项：图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据判断开口，根据解析式得出顶点坐标，进而得出对称轴为直线，最小值为，根据开口方向和对称轴判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线 A. 其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意； B. 其图象的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意； C. 其最小值为，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 4. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（ 　） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A=115°，根据圆的内接四边四边形的性质求得∠BCD的度数，又由同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半继而求得∠BOD的度数． 【详解】解：∵ ∠A=115° ∴ ∠BCD=180°-∠A=65°， ∴∠BOD=2∠BCD=130°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 6. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=， ∴ba=（）2=． 故选A． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 45°，∠C = 15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0° < α < 180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（ ） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∠E=∠C，再由平行线的性质可得∠EAB=∠E，从而可得α=∠EAB+∠BAC，求得α的值． 【详解】由旋转的性质可得∠E=∠C=15°，∠EAC=α ∵DE∥AB ∴∠EAB=∠E=15° ∴α=∠EAB+∠BAC=15°+45°=60° 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是解题的关键． 8. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9. 如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时， 又 ∴ ∴，故③错误 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误， ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025 13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中白球的个数约为（个）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图，正六边形螺帽的边长为，则这个螺帽的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算问题，解直角三角形，根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，再由的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，设为正六边形的中心，于点， 此多边形为正六边形， ； ， 是等边三角形，， ， ， ， ． 故答案为． 15. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可． 【详解】解：设底面半径为，则， 解得：， 所以其高为：（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径． 16. 已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰，，． ∴， ∴，, ∴， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵等腰，，． ∴， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：，即 可得：或 解得：， 【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）在图中画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的； （2）在（1）所画的图中，计算线段在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了扇形的面积公式，勾股定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可． （2）由勾股定理求出的长度，然后利用扇形的面积公式，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得， ∴线段在旋转过程中扫过的图形面积为： ； 19. 如图，在中，． （1）作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； （2）求它的外接圆直径． 【答案】（1） ； （2）直径cm. 【解析】 【分析】（1）根据三角形外接圆的作法，作出任意两边垂直平分线，交点即为外接圆的圆心P，以为半径作圆即为所求. （2）由垂径定理求出是等边三角形，再由三角函数即可求出外接圆直径． 【详解】（1）分别作出的垂直平分线，根据垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等， 可得：， ∴交点即是圆心； （2）由题意得： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ． ∴外接圆直径是cm． 【点睛】此题主要考查了三角形外接圆的作法，以及等边三角形的判定方法，题目难度不大，比较典型． 20. 如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； 【答案】（1） ．;（2） （2，-）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标． 试题解析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点，得 ， 解得， 所以这个二次函数的解析式是:． （2）∵ = ∴抛物线的对称轴为x=2， 设直线BC的解析式为y=kx+m， ∴ 解得， ∴直线BC的解析式为y=， 当x=2时，y=-， ∴P点的坐标为（2，-）. 考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.轴对称-最短路线问题． 21. 在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球个，现从中任意摸出一个红球的概率为． （1）求袋中红球的个数为___________． （2）搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的球中任意摸出个球．请用树状图或表格求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设有个红球，根据摸出红球的概率列式计算即可； （2）运用树状图或表格法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法计算即可． 【小问1详解】 解：设有个红球， ∴，解得，， ∴袋中红球的个数为个， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图为（两个红球分别表示为红，红）： 共有种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为， ∴两次都摸到红球的概率为． 【点睛】本题主要考查概率的计算方法，运用树状图或表格法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键． 22. 某商品现在的售价为每件50元，每周可卖出400件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该商品的进价为每件30元，设每件涨价x元． （1）为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，求x； （2）当售价定为多少元时，会获得每周销售最大利润？并求出每周最大销售利润． 【答案】（1） （2）当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为9000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，列出一元二次方程和函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设该商品售价上涨元，根据题意列出方程，求解即可； （2）设该商品获得的利润为元，根据题意求出与的函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设该商品售价上涨x元，则可列方程：， 整理得：， 解得：，， ∵为尽可能让利于顾客并使每周利润为元， 【小问2详解】 解：设该商品获得的利润为元， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为9000元． 23. 如图，是的直径，四边形内接于，D是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明是的切线，所以连接，求出即可，根据已知，可得，所以只要证明即可解答； （2）由（1）可得，过点D作，垂足为F，进而证明，可得，易证，可得，然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作，垂足为F， 由（1）得：， 平分， ，， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线是解题的关键． 24. 正方形 和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转，连接，相交于点H． （1）如图1，在旋转过程中，线段和有何数量关系？请说明理由； （2）如图2，连接、，取线段中点为点M，线段中点为点N，连接交于P，交于点Q，证明：； （3）如图3，在正方形旋转的过程中，连接，若点I是的内心，求点I到的最大距离． 【答案】（1） ，理由如下： 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， ， ； （2） 证明：如图2所示，连接交于点O，连接，，设，交于点T， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； 四边形为正方形， 是的中点； 线段中点为点M，线段中点为点N，O是的中点， ，，，； ，， ，，，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，根据正方形的性质，证明，可得结论； （2）根据以及三角形内角和定理得出，根据中位线的性质得出，，进而证明是等腰直角三角形，即可得出是等腰直角三角形，即可得证； （3）根据得出H在以为直径的半圆上运动，根据内心的性质得出四边形是正方形，则，设，则，结合图形可得，即当取得最大值，当H，I，Z三点共线时取得等于号，取得最大值，此时，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点I分别作，，的垂线，垂足分别为X，Y，Z，连接， ，则， 在以为直径的半圆上运动， 是的内心， ， 又，，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 设，则， ，即，即当等于半径时，取得最大值，此时取得最大值， 当H，I，Z三点共线时取得等于号，取得最大值， 此时， ， 解得：， 点I到的最大距离为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质与判定，三角形内心的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 25. 抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， （1）若，当时，求抛物线解析式； （2）若是等边三角形，求的值； （3）若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的特征，和二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想解题． （1）把代入得，结合，则可求出、，从而得到抛物线解析式； （2）根据等边三角形的性质，可得，根据是方程的两根，进而求得的值 （3）设抛物线顶点P为,根据抛物线对称轴以及的中点坐标可得，设直线为：，根据P、D两点的坐标求出直线的解析式，从而得到点E的坐标，运用三角形面积公式代入数据结合二次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解方程组， 解得， ∵抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∵点是图象的顶点， ∴ ∵抛物线与x轴交于不重合的两点，， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ∴ 即 解得：（舍去）或 【小问3详解】 设抛物线顶点P为， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 且的中点坐标为， ∴， ∴， 设直线为：， 经过点P，点， ，解得：， ∴直线为：， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，最小值为：， 当时，最大，最大值为：5， ∴． ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $