精品解析：河南省信阳市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年下学期高一期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念即可求得答案. 【详解】由题意可得， 因为z与互为共轭复数， 所以，即z的虚部为1， 故选：A. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行 C. 若直线直线b，直线平面，则直线平面 D. 若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由线面位置关系的定义判断，对于B，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断 【详解】对于A，当直线a与平面相交于点P时，除了点P外，直线上的无数个点都不在平面内，所以A错误， 对于B，当直线平面时，直线a与平面内直线平行或异面，所以B错误， 对于C，当直线直线b，直线平面，则直线平面，或直线a在平面内，所以C错误， 对于D，当直线平面时，则直线a与平面无公共点，所以直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确， 故选：D 3. 设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合基底的定义列方程可求，再由数量积的坐标表示求. 【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以，又，， 所以，故，所以， 所以. 故选：B. 4. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 5. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断. 【详解】若，，则或，选项A错误； 若，，则与平行，相交或异面，选项B错误； 若，，则，或，或，选项C错误； 若，，，选项D正确．首先得，，由线面平行的性质定理知内有直线，而，所以，D正确. 故选:D． 6. 数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根据标准差与方差的关系求出新数据的标准差. 【详解】数据平均数为，方差 即， 则数据，，的平均数为 方差 标准差为． 故选B． 7. 将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得内切球半径即为圆锥轴截面内切圆半径，据此可得答案. 【详解】由题知所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 该圆锥内切球半径即为圆锥轴截面半径. 设圆锥内切球的半径为，则圆锥轴截面面积为，得． 所以，球的体积． 故选：A． 8. 已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若在复平面对应的点位于第二象限，则 B. 若为纯虚数，则 C. 的最小值为2 D. 存在，使与互为共轭复数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由复数几何意义可判断选项正误；对于B，由纯虚数概念可判断选项正误；对于C，由复数模计算公式可得答案；对于D，由共轭复数概念结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，若在复平面对应的点位于第二象限，则解得，选项A正确； 对于B，若为纯虚数，则解得，选项B错误； 对于C，，当时取等号，选项C正确； 对于D，若与互为共轭复数，则无解，选项D错误． 故选：AC． 10. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 点A到平面A1BC的距离为 B. 平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P C. 三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D. 二面角A1-BC-A的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，四边形是正方形，所以，所以， 但与不垂直，所以与平面不垂直，所以到平面的距离不是，A选项错误. B选项，根据三棱柱的性质可知，平面平面，所以平面， 设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知，B选项正确. C选项，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确. D选项，设是的中点，由于，所以，所以二面角的平面角为，由于，所以，D选项错误. 故选：BC 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围. 【详解】对于A：，且，即， 由正弦定理得：， 即， 或（舍去）， ，故A正确； 对于B：由正弦定理， 则， 为锐角三角形，则，即， ，所以，故B不正确； 对于C：且， ，所以， 由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确； 对于D： ，且， ，即； 要使得有最大值，即有最大值， 此时，当有最大值时，即时， 有最大值为，此时， ，又， ，， ∴的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位置． 12. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形，可得向量夹角及模长，计算即可得解. 【详解】如图： 根据正六边形的结构特征，可知， 而与的夹角为，， 则 故答案为： 13. 已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用对数型函数图象特征求出点坐标，进而求出的值. 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 由幂函数的图象过点，得. 故答案为：3 14. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】分别取，的中点，，连接，，，可证明平面，再由，从而得到平面，可得到，所以为二面角的平面角，即可求出，然后设球心为上的一点，列方程可以求出三棱锥的外接球半径，再由四点共圆，所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，从而得解. 【详解】分别取，的中点，，连接，，， ，，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 因为平面，．在中，，，， ，所以，，． 因为点，分别为，的中点，所以，． 平面，， 平面，又平面， ，所以为二面角的平面角， ，．因为为直角三角形的外接圆的圆心， 所以，三棱锥的外接球的球心在直线上， 由于，所以在线段的延长线上， 设外接球的半径为，则，． 所以三棱锥的外接球的表面积． 在四边形中，由于，四点共圆， 所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故四棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量共线的坐标表示求出的值，进而求出及的坐标，再根据向量模的坐标计算式计算即可； （2）先分析出若与的夹角是钝角，则，且与不共线，再列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 若，则有，解得或. ①当时，，， 所以； ②当时，，， 所以. 所以是1或； 【小问2详解】 若与的夹角是钝角，则，且与不共线， ，解得且， 即的取值范围为. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解； （2）首先求函数的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 由图象可知，，，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，； 【小问2详解】 ， 当时，， 则， 若不等方式对任意成立，则， 得. 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 【答案】（1） （2）中位数为80，第35百分位数为75 （3）平均数89，方差为36 【解析】 【分析】（1）由所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由（1）中结果可估计中位数与百分位数； （3）由题可得成绩在，内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法得答案. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 前三组频率之和为， 所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为 则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x， 则； 【小问3详解】 由题意，成绩在，内的人数分别为30，20． 设内数据的平均数为，方差为， 内数据的平均数为，方差为，总平均数为，方差为， 依题意，，，，则， . 所以，成绩在内的平均数为89，方差为36． 18. 在中，角，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）已知，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，，再由余弦定理求解即可； （2）由题意可得，平方得，再由基本不等式可得，最后由三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，， 所以． 【小问2详解】 解：由， 得， 所以， 由基本不等式，， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 由，， 所以， 所以． 故面积的最大值为． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，进而证明出线面平行； （2）①作出辅助线，为二面角的平面角，根据二面角的正切值求出，求出其他各边长，利用求出体积； ②作出辅助线，得到为与平面所成角，即，求出各边长，其中，由余弦定理得，由求出，，得到答案. 【小问1详解】 连接交于点，连接， ，，由相似三角形的性质，可得， 又，所以， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ①取的中点，取的中点，连接，，， 则，， ，， ∵是边长为6的等边三角形，则，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． 又，平面，平面， ∵平面，，所以为二面角的平面角． 在中，． 在中，， ， ． ②过作交于，连接，由于平面， 所以平面， 则为与平面所成角，即，． 点在棱上，且． 由，，， 由余弦定理得 ， ，，，， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期高一期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 若直线平面，则直线与平面内任意一条直线都平行 C. 若直线直线b，直线平面，则直线平面 D. 若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 3. 设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 4. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 6. 数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若在复平面对应的点位于第二象限，则 B. 若为纯虚数，则 C. 最小值为2 D. 存在，使与互为共轭复数 10. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 点A到平面A1BC的距离为 B. 平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P C. 三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D. 二面角A1-BC-A的大小为 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确有（ ） A B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位置． 12. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则__________. 13. 已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则______． 14. 在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 17. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 18. 在中，角，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）已知，，求面积的最大值． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$