专项突破02 利用空间向量解决动态问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

0),(0.3,10,所以BC=(225,0),c==2,2,0)a= 店2，万，-)ae1}之所以P到直线C的距离为 2 d=a-(a…c)=8 工做选A 4 2 4.(1)证明：在题图②中，AD⊥BD,AD⊥CD,则∠BDC为二面角B-AD- C的平面角.即∠BDC=60°，又CD∩BD=D.CD,BDC平面BCD.所以 AD⊥平面BCD.由BCC平面BCD,得AD⊥BC.题图①中D元=2Bi及 BC=3,所以BD=1,CD=2,在△BCD中，由余弦定理得BC= 1 √1+42x1x2x2=3.又BD2+BC=1+(5)2=4=CD2,所以 BC⊥BD.又AD∩BD=D,AD,BDC平面ABD,所以BC⊥平面ABD (2)解：以B为坐标原点，以BC,BD,B(B∥AD)所在的直线分别为 ,y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系 在Rt△4CD中，∠ACD=45°，所以AD=CD=2,所以B(0,0,0), c5,o0.01.0401.2.(停0）则d= -1,-2).令P(a,b,c),则A币=(a,b-1,c-2).由A=AA花→(a,b a=√3λ， 1,c-2)=(5A,-A,-2A),则b-1=-A,所以P(5A,1-A,2-2A)且 c-2=-2A. 0宁成-(2-2).威（停70）设平面a的 (n,B=5Ax+1-A)y+2(1-A)z=0, 一个法向量为n=(x,y,),则 22y=0 3-6A ,而成=(5 0,0),所以3至1n…庇 解得A= -或入= 13 3-6A /3+9+ 2-2A 名（合）故 1 4 专项突破02利用空间向量解决动态问题 1.D解析：由题意知，该儿何体为长方体，建立空间直角坐标系如图所 示，则A(2,0,0),A1(2,0,3),M(1,2,0),则A=(-1,2,0).设 N(0,2,)(0≤1≤3)，则M=(-1,0,). D 选择性必修第一册·RUA 设平面y的一个法向量为=，则：-2y0设 Im.MN=-x+=0. y=4,则x=24,=2,则n=(26,2).又=(0,0,3)，所以点A1到平 面AMN的距离为一 ：m。6又0≤t≤9,4≤5+4≤49，所 1n15+4 以当1=3时，点A到平面AMN的距离取得最小值为号故 选D. 2.D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(0,2, 0),41(2,0,2),M(1,0,1),D(0,0,2),C1(0,2,2),设C=aCD= A(0,-2,2)=(0,-2A,2A)(0≤A≤1)，则N(0,2-2,2A),则C乙= (0,-2,-2),M=(-1,2-2A,2A-1),则s<C1i,M>= C,⑦，M丞 -2 -1 ，设直 1C,d11M22x√+(2-2A)2+(2A-1)22√4a2-6A+3 线C,D与直线MN所成角为8，则oom日= 2√4A2-6A+3 1 2A3石，当且仅当A子时取等号则直 2 线GD与直线w所成角的余弦值的最大值为停放选D 0 (第2题) (第3题) 3.ACD解析：如图，以A为原点，以AB,4C,AM1所在直线分别为x,y, z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),G(0,1.0) A1(0,0,2),C(0,1,2),M(0,1,1),对于A,因为B=(-2,1,1), A,M=(0,1,-1),所以B.A立=-2×0+1×1+1×(-1)=0，则B1 A1M,即M⊥AM,故A正确；对于B,由A知，B=(-2,1,1), A1M=(0,1,-1),设A,不=AA1(0≤A≤1)，则A,=(0,A,-A), 即N(0,A,2-A),所以C,N=(0,A-1,-A)又CN⊥平面ABM,则 C:丽A-1A0,无解，所似不存在点N使得GN兼直于平 C,市.A=A-1+A=0, 面A1BM,故B辑误：对于C,由B知，设A,衣=AA1M(0≤A≤1)，可得 C=(0,A-1,-A).又B=(-2,1,1),A=(0,1,1),设平面ABM 的-个法向量为m=(,,则-名=0令 气m·Ai=y1=0, 为=1，得m=(0,1,-1).因为C,N∥平面ABM,所以C衣⊥m,则 G·m=1A=0,解得=宁此时4，N=,故C正确：对于D, 由B知，设A=AAM(0≤A≤1)，可得N(0,A,2-A),所以B成= (-√2，A,2-入)，易知平面ACC141的一个法向量为n=(1,0,0),设 直线BN与平面ACC,A1所成角为8，则血0=1cos(B成，m〉1= B·n= 2 2 ·m2+(2-2-) 三，所以当A=1时， 血0取得最大值号.即直线BN与平面4CGA,所良角的最大值为 ?,放D正瑰放选ACD 黑白题84 4.ABD解析：依题意可知AB,AD,AS两两相互垂直，以A为原点，建： 立如图所示空间直角坐标系， 设AB=AD=AS=2,则A(0,0,0),S(0,0,2),C(2,2,0),P(1,1,1), 0(1,1,0).设M(0,,2-t),则0=(-1，t-1,2-t),所以0.A= -1+H-1+2-t=0,所以OM⊥AP,A选项正确.点M到平面ABCD与平 面SAB的距离和为2-4+t=2为定值，D选项正确.B(2.0.0),SB=(2. 0,-2),B武=(0,2,0)，设平面SBC的一个法向量为n=(x,y,),则 (n…8=2x-2z=0, 故可设n=(1,0,1),要使OM∥平面SBC,因为 m,BC=2y=0, 0Md平面SBC,则0成.n=(-1,t-1,2-t)·(1,0,1)=-1+2-t=1-t= 0,解得t=1,所以存在点M,使OM∥平面SBC,B选项正确若直线OM 10成.点 与直线AB所成角为30°，又AB=(2,0,0).则630°= 0. (2分分-66乞，整理得3-9%+7=0， -2 13 △=81-4×3×7=-3<0，无解.所以C选项错误故选ABD. 5 解析：如图所示，以D1为坐标原点，分别以D1A1,D,C1,D1D所 在直线为x,y,:轴建立空间直角坐标系，易知D(0,0,0),B(2, 2,2),0(0,2,1),则D,d=(0,2,1),B或=(-2,0，-1)，设平面B001 的-个法向量为a=(,,可得-2=0 令=2，可得 (n·B0=-2x-z=0, x=-1,y=-1,即m=(-1,-1,2).可设P(m,n,0)(0≤m≤2,0≤ n≤2)，则D,产=(m,n,0),所以P到平面BQD,的距离为d= 2,,易知当mA=2时，臣离最大值为25又在 6 △BQD,中，易知BQ=D,Q=√2+下=5，BD1=√2+2+2= 23,所以BD,边上的高h=。 =2所以Sao0, 2x25x2=6,为定值，所以P到平面O0,的距离最大时， 锥D,-PBQ体积的最大值为} 33 案为 D 6.33解析：取点P关于平面AB,CD1的对称点为P1,设点P1到平 面ACD,的距离为d,则PM=PM,所以PM+MN=PM+MN≥d,以D, 为原点，以D1A1,D1C1,D,D所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空 间直角坐标系，如图，因为正方体的棱长为4，且成=3PB,所以 P1(4,4,-1),A(4,0,4).C(0,4.4).D1(0,0,0),D1P=(4,4,-1), D,=(4,0,4),D1元=(0,4,4)，设平而ACD1的一个法向量为m= 参考答案 DA·m=4x+4=0, (xy),则 取x=1,则y=12=-1,则m=(1, D1C·m=4y+4z=0 1,-1),所以点P,到平而ACD1的距离d= D·m1_4+4+L √1+1+I =3W5.即PM+hN的最小值为35.故答案为35。 B NP 7.子解桥：连接B,由题意，2A=B,AC=B职，正方形ACD中。 AD⊥AB,正方形ABEF中，AF⊥AB,AFC平而ABEF,ADC平面 ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴.∠DAF就是二面角D-AB-F 的平面角，则∠DAF=60°，.向量A币与向量AF的夹角为60°，且A石1 应市设=A花，威：2以威Ae,]则成 A)A花且由题意A市1=A1==1,.M=M店+=M心+C+ B=(1-A)A花+C+2A=(1-A)(A市+A)+C市+2A(B+B正)= (1-3M)A语-AAi+2AB成，六M亦■(1-3)2A+A2A市+ 42成-2A(1-3A)店.市+4A(1-3A)A店.B成-4A2市.B成= (1-3A)2+入2+4A2-4A2c0s60°m12A2-6A+1,令h(A)=12A2-6A+1. Ae[,]4(A)的图象开日向上，且对将销为直线A=当 11 A宁对，4(a)取得是本值为A(行）-行即空的最小值为 MW的最小值是子故答案为宁 1 8.解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立 如图所示的空间直角坐标系，当点E在棱AB的中点时，则D(0,0, 1),E(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),4(1,0,0),则ED=(-1,-1, 1),E=(-1,1,0),D=(1,0,0),设平面D,EC的一个法向量为m= ,(n·ED=-x-y+=0, （s,则n武0 令x=1,则y=1,=2,所以平面 D,EC的一个法向量为n=(1,1,2).又平面DCD1的一个法向量为 i10.o所以m@,:”怎所 平面BC与平面0，所成销夹角的余弦值为肾 (2)设AE=m,则D1(0,0,1).E(1.m,0).C(0,2,0),D(0,0,0). A1(1,0,1),则D=(-1,-m,1),元=(-1,2-m,0)(0≤m≤2)， DA=(L,0,1),设平面D,C的一个法向量为m=(x,,2),则 前网0，令y1,则x=2-m=2,所以平面DC n,E或=-x+(2-m)y=0, 的一个法向量为m=(2-m,1,2),设直线A1D与平面D,EC所成的角 为8，则n8= ln·Dgi 12-m+21 4-m 1n·1DM1√(2-m)2+1+4×√1+1√2(2-m)2+10 令4-m=te[2,4],则sin8= √2(-2)+10√2-81+18 1 三，当t=2时，i血0取得最小值， 818 黑白题85 即当AE=2时，直线A,D与平面D,EC所成角的正弦值最小，最小值： 为0 5 9.B解析：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,Y,z轴， 建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1) N(1,2,0).C(0,2.2),则NC=(-1,0,2).D元=(0,2.0)，D=(2. 0,1),放NC.Dt=(-1,0,2)·(0,2,0)=0,N·D=(-1, 0,2)·(2,0,1)=-2+2=0,所以NC1D元，NC⊥DM.又CDnDM= D,CD,DMC平面MDC,所以NC1⊥平面MDC,.放当点P在线段NC 上时，满足NP⊥平面MDC,点P的轨迹长度为NC,■√T2+22=√5. 故选B. 10.B解析：以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y, :轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D1(0,0,2).设点P(a,b,0),a, b∈[0,2]，则BE=(0,-2,1),EF=(-1,0,1),D1P=(a,b,-2).设平 m·B成=-2yrt=0, 面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),由 m·E=-x=0, 取x=2,可得m=(2,1,2),由题意可知，D1P∥平而B5F,则 D,币.m=2a+b-4=0,令b=0,可得a=2:令b=2,可得a=1所以点 P的轨迹交线段AD于点A(2,0,0),交线段BC于中点M(1,2,0), 所以点P的轨迹长度为AM=√(2-1)2+(0-2)下=√5.故选B. 11,ACD解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 4.对于A:因为M(40,3),Q(0,0,1),C(0.4.4),N(2,4,0),所以 M0=(-4,0.-2),CN=(2.0,-4).所以M0·CN=-8+0+8=0,所 以MQ⊥C1N,故A正确：对于B:因为B(4,4,0),B1(4,4,4), 0(2,2,2),所以P(4,4,2).0P=(2.2.0).所以0P·C,N=4+0+0= 40,所以0P⊥C,N不成立，放B错误；对于C:设P(x,y,),所以 0币=(x-2,y2-2).因为0币.C1=2(x-2)+0-4(x-2)=0,所以 x-2z+2=0,当=0时，=1，当x=4时，z=3,取E(0,4,1).F(4,4 3),且M(4,0,3),Q(0,0,1),所以M0=(-4,0,-2),F尼=(-4， 0,-2),所以d=克，所以四边形MFEQ为平行四边形又因为 M=(0,4,0),所以M戒.M亦=0+0+0=0，所以M1M,所以四边 形MFEQ为长方形.又因为M(4,0,3),E(0,4,1),所以ME的中点 为(2,2,2)，即为点0，所以0e平面MFEQ.又因为M·C,衣=0， M市.C,d=0,所以MQ⊥C,N,MF⊥C,N,且MFO MO=M,MF, MQC平面MFEQ,所以C,N⊥平面MFEQ,所以若OP⊥C,N,则有 P∈平面MFEQ,所以点P的轨迹是长方形MFEQ,故C正确：对于 D:因为EF,BCC平面BB,CC,且EF,BC不平行，所以EF,BC相交 选择性必修第一册·RUA 于一点.又因为EFC平面MFEQ,BCC平面ABCD,所以平面MFEQ 与平面ABCD相交，故D正确.故选ACD. 专项突破03利用空间向量解决探索性问题 1,解：(1)因为在直四棱柱ABCD-AB,C,D1中，底面ABCD是边长为2 的正方形，以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为￥，y,:轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,0,4), F(0,2,2),所以=(0,2,0)，B=(0,-2,4),E=(-2,2,-2).设平 面5F的法向量为m=(,,则·正-2+4=0， 气m·E=-2x+2y2x=0 令三 1,则m=(1,2,1),易知n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，所 以1ona品言管即平r与平国D夹 角的余弦值为肾 (2)由(1)可得0(1,1,6)，B(2,2,6),BB1=(0,0,6),假设存在满 足条件的点G,设G(2,2,)(0≤t≤6)，所以0t=(1,1,1-6).因为 0G∥平面BEF,所以m·O元=1+2+4-6=-3=0，解得1=3.故当 .oc/学面歌 2.(1)证明：取AC中点D,连接MD,PD,如图，因为M为AB的中点，所 以MD∥BC又AC⊥BC,故MD⊥AC.又△PAC为等腰直角三角形， PA⊥PC,所以PD⊥AC.又MDOPD=D,MD,PDC平面PMD,则AC⊥ 平面PMD,又PMC平面PMD.所以AC⊥PM (2)解：因为平面PAC⊥平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,由(1) 知PD⊥AC,又PDC平面PAC,所以PD⊥平面ABC,以D为原点，以 D,D,D的方向分别为x,y,:轴正方向建立如图所示的空间直角 坐标系，则A(1,0,0),B(-1,4,0),C(-1,0,0),P(0,0,1),M(0,2, 0),则C=(1,0,1),A币=(-1,0,1)，=(1，-4,1)，若m=(x,y,) d.n=-x+=0, 为平面PAB的一个法向量，则} 8,n=x-4y+z=0 令：=1，则x=1, y=之，故=(1，分1)汉成=(0,2.0)为平面c1的-个法向 k质1m成之宁所以平面C与 D·1ml2x2 平面PB所成角的余弦值为宁 (3)解：存在假设存在点N使得平面CMN1平面PHB,且路A,0≤ A≤1，由(2)知：N(-A,4h,1-A),M(0,2,0),则C=(1-A,4A,1- A),C=(1,2,0),若m=(a,b,e)是平面CMN的一个法向量，则 黑白题86心专项突破02 利用空间向量解法 题组一动点与最值问题 1.在如图所示的直四棱柱ABCD-A,B,C,D 中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA1=3,M 是BC的中点，点N是棱CC1上的一个动 点，则点A,到平面AMN的距离的最小值为 1 2 6 A.1 B. C. 2 3 D.1 D D D D (第1题) (第2题) 2.（2025·山东济南高二期中)如图，在棱长 为2的正方体ABCD-A,BC,D1中，M为线 段A,D的中点，N为线段CD,上的动点，则 直线C,D与直线MN所成角的余弦值的最 大值为 () B.V6 3 C.6 4 3.（多选)(2025·山东德州高二期中)在直三 棱柱ABC-A,B,C1中，AB⊥AC,AB= √2，AC=1,A41=2,点M为线段CC1的中 点，N为线段AM上的动点，则() A.BM⊥A,M B.存在点N使得C,N垂直于平面A,BM C.若C,N∥平面ABM,则A,N=NM D.直线BN与平面ACC,A,所成角的最大值 为程 02黑白题数学|选择性必修第一册·RJA 动态问题 4.(多选)(2025·浙江湖州高二月考)如图， 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方 形，SA⊥平面ABCD,SA=AB,O,P分别 是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则 下列选项正确的是 ( A.OM⊥PA B.存在点M,使OM∥平面SBC C.存在点M,使直线OM与AB所成的角 为30 D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和 为定值 5.(2025·福建泉州高二月考)如图，若正方 体的棱长为2，点P是正方体ABCD A,B,C,D1的底面A,BC,D1上的一个动点 (含边界)，Q是棱CC的中点，则三棱锥 D,-PBQ体积的最大值为 D 6.(2025·湖北孝感高二期中)棱长为4的正 方体ABCD-A,B,C,D1中，M,N分别是平面 AB,CD,和平面ACD,内的动点，BF= 3PB,则PM+MW的最小值为 7.(2025·广东广州高二期中)如图，正方 形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且 它们所在的平面所成的二面角D-AB-F的 大小是60°，M,N分别是AC,BF上的动点， 且BN=2AM,则MN的最小值是 8.(2025·江苏无锡高二月考)如图，在长方 体ABCD-AB1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2, 点E在棱AB上移动. (1)当点E在棱AB的中点时，求平面D,EC 与平面DCD,所成的夹角的余弦值； (2)当AE为何值时，直线A,D与平面D,EC 所成角的正弦值最小？并求出最小值 题组已轨迹问题 9.(2025·江西抚州高二月考)如图，已知正 方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，M,N分 别为线段AA,BC的中点，若点P为正方体 表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC,则 点P的轨迹长度为 () D A.22 B.√5 C.√2 D.2 10.(2025·山西太原高二月考)如图，已知正方 体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F分别是 棱AM1,AD的中点，点P为底面ABCD内 (包括边界)一动点，若直线D,P与平面BEF 无公共点，则点P的轨迹长度为 () A.√2+1 B.5 C.2+ D.6 2 B Di- P (第10题) (第11题) 11.（多选)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D1 中，N为BC的中点，O为BD1的中点，M 是棱A4A1上靠近点A,的四等分点，Q是棱 DD,上靠近点D的四等分点，点P在正方 体的表面上运动，且满足OP LC N,则下 列说法正确的是 A.MQ⊥CN B.点P可以是BB,的中点 C.点P的轨迹是长方形 D.点P的轨迹所在平面与平面ABCD 相交 进阶突破·专项练03