2.3.3 点到直线的距离公式&2.3.4 两条平行直线间的距离-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

线4C的斜率c-分，直线4AC的方程为y-2=-子(+10)，即 x+2y+6=0.又直线AH的斜率k=0,则直线BC与x轴垂直，直线 BC的方程为=6，由任=6， 得点C的坐标为(6，-6) (x+2y+6=0, 9.-5,3,±1（写出一个脚可）解析：当a=1时，(a2-1)x+(a-1)y=12 不成立，故方程组无解：当：≠1时，方程组可看作求两条直线一2 a+1(x≠1)与(a2-1)x+(a-1)y=12的交点，则方程组无解，即直线 无交点.若两条直线平行，则a+1=-(a+1),解得a=-1:若两条直线 不平行，则(a2-1)x+(a-1)y=12过点(1,2)，即a2+2a-15=0,解得 a=-5或a=3,此时a+1不过点(1,2》，方程组无都.综上，的 取值为-5.3，±1。 10.√5解析：如图，设点B关于直线1的对称点B的坐标为(a,b),连 接8，则·=-1，即-4×1=-1，所以a+6-4=0①.因为 BB'的中点 台受）在直线1上所似兰生10，即a6-6= 0②由①2得化i,所以点g的坐标为(5，-).又11A- |PBI1=IIPA1-1PBI1≤1AB1=√(4-5)2+(1+1)=5，当且仅 当P,B,A三点共线时，1IPA|-1PB1I取最大值5.故IIPA| 1PB11的最大值为5.故客案为5. y B x-y-1=0 ↑1 2.3.3点到直线的距离公式+ 2.3.4两条平行直线间的距离 白题 基础过关 1.C解析：设点P的坐标为(x,0),则3x-4x0+6 =6,解得x=8或 √3+(-4)7 x=-12.,点P的坐标为(8,0)或(-12.0)，故选C 2.A解析：由题意，1MP1的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的 距离，即10x2+2-山15 V2+5故选A 3B解析点(x,5)关于点(1，)的对称点为(-2,3)一{5-32， 解得任二4即点P的坐标为(4,1).“直线y=x+1的一般式方程为x y=1 +1=0,所求距离d14-1+11 ■25.故选B. 个+(-1) 4.D解析：因为A(4,0),B(2,a)两点到直线l:x+y-5=0的距离相等， 所以4+0-51.2+a-5 .所以1a-3引=1，所以a=2或a=4,故选D. √/+1下+1 号解折将直线子子1化为-式方程可得3-2=0，由 点到直线的距离公式可得坐标原点(0,0)到直线【的距离为d= 1-121一=。放答案为12 32+(-4)2 5 6.D解析：因为4/凸h,所以直线4与直线与间的距离为m-（-3 √+3 √10，解得m=7或m=-13.因为m>0,所以m=7.故选D. 7.A解析：因为直线3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0平行，所以 3n=(-4)×3.解得n=-4.又因为两条平行直线3x-4y+m=0(m<0) 1m-61 与3x-4y+6=0之间的距离是3，所以d= =3,解得 3+(-4 m=21(舍去)或m=-9,所以m+n=-13.故选A. 参考答案 四方法总结 L,求过两条直线交点的直线方程的方法：先求出两条直线的交点坐 标，再结合其他条件写出直线的方程 2.利用距离公式应注意：(1)点P(0)到直线x=a的距高d=l0- al,到直线y=b的距离d=ly%b1:(2)两条平行直线间的距离公式要 把两直线方程中x,y的系数化为相等 8.B解析：：3×8-4×6=0，∴.直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0平 行，1PQ的最小值，即为两平行直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0 的距离，化直线方程3x+4y-5=0为6x+8y-10=0,由平行线间的距 离公式可得d=-10-51.3 V6+82故远B 9.D解析：设所求直线的方程为3x-2y+c=0(c+-6且c≠8)，由题意可 知，所求直线到直线2的距离等于直线4,2间的距离， lc-81 1-6-81 ,解得c=22或e=-6(舍去).所求直 32+(-2)232+(-2)2 线的方程为3x-2y+22=0.故选D. 10.C解析：由题意得，直线马与直线2关于平行于y轴的直线x=2 3 对称，可得直线2的方程为y=-2x+3,直线2与直线3关于平行 于x轴的直线y=3对称，可得直线13的方程为y=2x+3.则直线41∥ 3,则直线上一点P到直线3的距商即为直线与直线3之间 的距离.由两平行线间的距离公式可得直线I1与直线之间的距 离d= =3-（-3)川65，即点P到直线马的距离为5枚选C. √(-1)2+225 11.22 解析：因为直线11：a+3y+1=0.2:x+(a-2)y-1=0.1∥2， 所以a(a-2)=3,解得a=-1或a=3.当a=-1时，直线L1:-x+3y+ 1=0,h2:*-3y1=0,两直线重合，不满足要求；当a=3时，直线41： y+了=0，上：-1=0，两直线平行，满足要求，所以当【1∥2形 1 +1 3 直线41与之间的距离为 2w2 +下3 做着案为好码 12.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0解析：设直线1的方程为3x-2y+e=0 (c≠-1且c≠-13)，由平行线间的距离公式可得21c+11=1c+ 13引，.c=11或c=-5,.直线1的方程为3x-2y+11=0或3x-2y 5=0.故答案为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0. 13.{k1-11≤k≤-1且k≠-6解析：y=-2x-k-2的一般式方程为 2x+y++2=0,则两条平行直线间的距离d= +2+4_h+61≤5， 22+1下5 即1k+61≤5，解得-11≤k≤-1.当k+2=-4,即k=-6时.两条直线 重合，…k的取值范围是{k1-11≤k≤-1且k-6.故答案为 {k1-11≤k≤-1且k≠-6引. 黑题 应用提优 1,A解析：由点到直线的距离公式可得点P到直线的距离d= 1a-3a-1l-l2a+1 ,再由题意可得2a+≤5，整理可得2+ √a2+(-3)√9+a √0+a2 4a-26≤0.解得-2-√30≤a≤-2+√/30.故选A 2.C解析：由题意可知a 3-1 ■-1.1AB1■(1-3)2+(3-1)2= 2W2,可知直线AB:y-3=-(x-1）,即x+y-4=0,可得点C(-1,-1)到 直线AB的距离d=-1-1-4 =32,所以△ABC的面积S△c= M81=宁3i25=6故选C 3.D解析：将直线【的方程变形为A(x-y+2)+2x+y+7=0,由 y+2=0,得-3，所以直线1过定点B(-3.-1),当1山AB时， 2x+y+7=0,ly=-1, 点A到1的距离最大，最大距离为（-3-1)2+(-1-2)2=5.故选D. 黑白题29 4.A解析：由题意知，点M在直线1与2之间且与两条直线距离相 等的直线上，设该直线的方程为xy+e=0,则c+7.lc+51,即c= -6,,点M在直线+y-6=0上，∴，点M到原点的距离的最小值就是 原点到直线x+y-6=0的距离，即-6=35.赦选A 2 5.C解析：根据题意，当点M到直线1的距离d≤2时，该直线1上存 在点P使IPM1=2,此时直线I为点M(3,4)的“2域直线”，点M(3 4)到直线4红-3y=0的距离4=3x4-43=0<2,该直线是点M(3, 16+9 4)的“2域直线”：点M(3,4)到直线y=2的距离d2=4-2=2,该直线 是点M(3,4)的“2域直线”：点M(3,4)到直线x-4y=0的距离d= +67>2,该直线不是点M(3,4)的2域直线”：点M(3, 13-16113w/17 4)到直线x=5的距离d,=5-3=2,该直线是点M(3,4)的“2城直 线"，故选C 6.AB解析：对于A,因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相 等，且菱形对边平行，直线x+y+2=0和x+y+4=0之间的距离为 12-412 个+2 =2,3x-4y+c1=0和3x-4y+6=0之间的距离为 1二、于是有反，解得1661=5厄，正 32+(-4)2 5 确：对于B,设与直线4,4距离相等的点为(a,b),则la6+2 √+12 1a+6+4所以a+b+2=-(a6+4),即ab+3=0,所以所求点的轨迹 12*下1 方程为x+y+3=0,正确：对于C,若该菱形有外接圆，则菱形两条对角 线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与圆的直径 重合，故两对角线长相等，对角线相等的菱形必然为正方形，则直线 山：面-子质以气鸡=子-1，矛盾，赦该菱形 设有外接圆，错误；对于D,直线：x+y+2=0经过点(0，-2)，即纵裁 距为-2，错误.故选AB 7.25解析：√m2+(n-1)下=√(m-0)2+(-1)2可看成点P(m,n) 与定点A(0,1)的距离.因为点P(m,n)为直线x-2y-8=0上的动点， 则点A(0,1)到直线x-2y-8=0的康离为d=一-2×1-8 -=25,所 √+(-2) 以√m2+(n-1)2的最小值为2w5.故答案为25， 8.x=2或3x-4y-10=0解析：①当1的斜率k不存在时显然成立，此 时1的方程为x=2②当1的斜率k存在时，设y+1=(x2),即红 一24-1=0，由点到直线的距离公式得，-2- 3 √1+ L=2,解得k=4, ∴.1：3x-4y-10=0.故所求1的方程为x=2或3x-4y-10=0.故答案为 x=2或3x-4y-10=0. 9.解：(1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(:,-),又因为A(2,1), 所以线段4C的中点坐标为(2,2 /+2-+1 】因为线段AC的中点在直 线E上，所以5X号210=0，意理得=-28，即1-4，所 以C(-4,4). (2)因为CD是△ABC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对 称点A'在直线BC上设A'(m,n),则 m-2*(-1)加-1， (n-1 解得 m+2.n+1 22=0, {m-,所以A(-1,-2所以kc=4-2,所以直线BC (n=-2, 方程为y-4=-2(x+4),整理得2x+y+4=0.联立直线BC与直线BE 的方程240解得{：02，即B(-2,0),所以1c1国 (5x-2y+10=0, 选择性必修第一册·RJA √-2+4+(0-4=25，点A到直线BC的距离d=4+1+4 √4+I 9 ,所以SA4Bc=2 xIBCIxd=1 1 2 25x9 =9 压轴挑战 17 解析：由题意得存在me[1,2],使得点(a,b)在直线m2x-y-m=0 上，故点(a,b)到原点的距离最小值为-m 1 √m+1 m2+ [1,2],当m=2时，取最小值。 4 ,此时a2+b2的最小值为 故容案 7 为 2.1-2.3 阶段综合 黑四 阶强化 1.B 解折：对于0，方程不过点(-1,2)，故与方程，一2= 1)不可表示同一条直线；对于②，直线1过点P(1,1),斜率不存 在，是垂直于x轴的直线x=1,结论是正确的：对于③，直线1过点 P(1y1),斜率为0，是垂直于y轴的直线y=1,结论是正确的：对于 ④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如斜率不存在的 直线就没有点斜式方程和斜裁式方程故①④不正确，②③正确故 选B. 2.D解析：设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b), b-1 则 解得=9·故反射光线过点(-9,8)与点 a-26+1 1b=8, 10=0, 22 8+3 B(-8,-3),则反射光线所在直线的斜率为+8-山，所以反射光 线所在直线的方程为y+3=-11×(x+8),即11x+y+91=0.故选D. 3.D解析：如图，要想使折叠后点0落在线段 BC上，可取BC上任意一点D,作线段OD的 垂直平分线1，以1为折痕可使0与D重合，因 为ko≥w子，所以k=2-2,且c0 当折叠后0与C重合时，k=0,所以-2≤k≤0， 所以k的取值范围是[-2,0].故选D. 4.D解析：联立230解得即1与1的交点为(-山，1). 《x-y+2=0, y=1, 因为点A(0,3)在直线11上，设A关于直线1的对称点为A(a,b),则 b-3 a-0-1, a+06+3+2=0 解得即A1（1,2),所以直线5，的斜率k= b=2, 22 2-11 1-一)2，从而直线4的方程为r2=之×(x-),即x2+3=0 故选D. 5.D解析：由题可知A(1,0),B(-1,2),两条平行直线11,2分别过 点A,B.因为12，所以1，山间的距离即点A到直线2的距离d如图， 由图可知，d≤|AB,当1，垂直于AB时，41,2间的距离取最大值， 即最大值为IAB由两点闻的距离公式可知，|AB|= √(1+1)2+(0-2)7=22.故选D. 黑白题302.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行直线间的距离 白题 很时：40min 题组1点到直线的距离及其应用 7.(2025·河南南阳高二月考)若两条平行直线 1.点P在x轴上，且到直线3x-4y+6=0的距离 3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0之间的距 为6，则点P的坐标为 离是3，则m+n= ( ) A.(8,0) A.-13 B.-9 C.17 D.21 B.(-12,0) 8.(2025·江苏徐州高二月考)已知P,Q分别是 C.(8,0)或(-12,0) 直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点， D.(-8,0)或(12,0) 则1PQ1的最小值为 ( 2.(2025·陕西安康高二月考)已知点M(0,2), 点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，则IMPI的最 A.3 B. C.3 D.3 小值是 ( ）9.两条直线1:3x-2y-6=0,2:3x-2y+8=0,则直 B.35 4W5 线11关于直线12对称的直线的方程为( C. D.5 5 A.3x-2y+24=0 3.已知点(x,5)关于点(1，y)的对称点为(-2， B.3x-2y-10=0 -3),则点P(x,y)到直线y=x+1的距离是 C.3x-2y-20=0 ( D.3x-2y+22=0 A.4 B.22 10.已知人射光线在直线11：2x-y=3上，经过 C.2 D.2 x轴反射到直线2上，再经过y轴反射到直 4.(2025·河北石家庄高二期中)已知A(4,0), 线13上若P是直线L上某一点，则点P到直 B(2,a)两点到直线l:x+y-5=0的距离相等， 线l,的距离为 则a= ( A.6 B.3 A.2 B.4 C.1或4D.2或4 5.(2025·湖北宜昌高二期中)已知直线1的方 C.66 05 10 程为年言=1，则坐标原点到直线1的距 11.(2025·重庆外国语学校高二期末)直线1： ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y-1=0,当l1∥l2 离为 时，直线l1与2之间的距离为 题组2两条平行直线间的距离及其应用 12.已知直线1：3x-2y-1=0和直线l2:3x-2y- 6.(2025·广东深圳高二期中)若直线1：x+ 13=0,直线1与l1,l2的距离分别为d,d2,若 3y+m=0(m>0)与直线l2:x+3y-3=0间的距 d1:d2=1:2,则直线l的方程为 离为10，则m= 13.若两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的 A.17 B. 17 2 C.14 D.7 距离不大于5，则k的取值范围是 第二章黑白题043 黑题 应用提优 限时：40min 1.若点P(1,a)到直线ax-3y-1=0的距离不大 C.该菱形一定有内切圆和外接圆 于5，则a的取值范围是 ( D.直线l1的纵截距为2 A.[-2-30,-2+√/30] 7.(2025·安徽阜阳高二月考)若点P(m,n)为 B.[-2,6] 直线x-2y-8=0上的动点，则√m2+(n-1)2的 C.[-6,6] 最小值为 D.[2-√6,2+√6] 8.(2025·黑龙江大庆高二期中)已知点P(2, 2.(2025·四川南充高二期中)△ABC中，A(1, -1),则过点P且与原点的距离为2的直线1 的方程为 3),B(3,1),C(-1,-1),则△ABC的面积是 9.(2025·福建厦门双十中学高二期中)已知 A.4 B.5 C.6 D.7 △ABC的一条内角平分线CD所在直线的方 3.(2025·山西太原高二期中)已知点A(1,2), 程为x+y=0,一个顶点为A(2,1),AC边上的 直线1：(A+2)x+(1-入)y+2入+7=0（入∈R), 中线BE所在直线的方程为5x-2y+10=0. 则A到（的距离的最大值为 (1)求顶点C的坐标； A.3 B.10C.32 D.5 (2)求△ABC的面积 4.(2025·福建福州高二月考)若动点A(x1, ),B(x2,2)分别在直线l1:x+y-7=0和 l2:x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点 距离的最小值为 ( A.32 B.2 C.2 D.4 5.已知平面内一点M(3,4),若直线1上存在点 P,使1PM1=2,则称该直线为点M(3,4)的“2 域直线”，下列直线中不是点M(3,4)的“2域 直线”的是 ( A.4x-3y=0 B.y=2 C.x-4y=0 D.x=5 6.(多选)在平面直角坐标系中，某菱形的一组 对边所在的直线方程为l1:x+y+2=0,l2:x+y+ 4=0,另一组对边所在的直线方程为43：3x- 压轴挑战 4y+c1=0,l4:3x-4y+c2=0.则下列选项正确的有 (2025·湖北武汉高二月考)若关于 ( x的方程ax2-x-b=0在[1,2]上有 A.1c1-c21=52 实数根，则a2+b2的最小值是 B.与直线1,2距离相等的点的轨迹方程为 x+y+3=0 进阶突破拔高练P07 选择性必修第一册·RJA黑白题044