2.2.3 直线的一般式方程-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

2.2.3直线的-般式方程 白题 基础过关 很时：30min 题组1直线的一般式方程及应用 7.(2025·湖南常德高二月考)已知直线11： 1.直线ax+by+c=0的图象如图所示，则( ax+2y+2=0与直线b2:x+(a+1)y+2a=0平 A.若c>0,则a>0,b>0 行，则a等于 () B.若c>0,则a<0,b>0 A.-2 C.1 D.-2或1 C.若c<0,则a>0,b<0 D.若c<0,则a>0,b>0 8.若直线L1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a 2.(多选)下列说法正确的是 1)y+4=0垂直，则直线1，在x轴上的截距是 A.平面上任何一条直线都可以用一个关于x, ( y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 A.-4 B.2 C.-2 D.4 时为0)表示 9.在顺次连接的平行四边形ABCD中，已知点 B.当C=0时，方程Ax+By+C=0(A,B不同时 A(-1,-1),B(2,0),D(0,1) 为0)表示的直线过原点 (1)求点C的坐标； C.当A=0,B≠0，C≠0时，方程Ax+By+C=0 (2)设线段BD的中点为E,直线I过点E且 表示的直线与x轴平行 垂直于CD,求直线l的一般式方程. D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四 种形式互化 3.若二元一次方程Ax+By+C=0表示一条直线 则IA1+IB 0(填“>”“<”“≥” 或“≤”) 4.已知直线1的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的 2,直线1在y轴上的截距是直线2x-3y+120 在y轴上的截距的2倍，则直线1的方程 为 题组2直线的位置关系 5.直线2x-y+k=0与直线4x-2y+1=0的位置关 重难聚焦 系是 ( 题组3直线中的定点问题 A.平行 B.不平行 10.若直线2mx+y-4m-1=0的斜率k<0,则该 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 直线不经过 6.(2025·山西太原高二期中)已知直线1经过 A.第一象限 B.第二象限 点(1,0)，且平行于直线y=-2x+1,则直线1 C.第三象限 D.第四象限 的方程为 ( 11.(2025·安徽合肥高二期中)已 A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0 知直线l:(n+2)x-（2n+1)y+n C.x+2y-1=0 D.x-2y-1=0 4=0,则直线1恒过定点 第二章黑白题037 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2025·江西宜春高二月考)下列命题正确的是 C.若l112,则a=0或2 ( D.当a<0时，直线l,始终不过第三象限 A.经过定点P(x,y%)的直线都可以用方程 5.(2025·重庆渝北区高二期中)已知直线1的 y-y0=k(x-x)表示 方向向量为(1,2)，且直线1经过点(2，-3)， B.直线l过点P(x,0),倾斜角为90°，则其 则直线（的方程为 方程为x=x0 6.(2025·四川眉山高二月考)已知直线1过 C.在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 点M(-3,4),且分别与x轴的负半轴、y轴 x+y=1来表示 的正半轴交于A,B两点，O为原点，则△AOB aa 面积最小值为 D.直线y=x+2在x轴上的截距为2 7.(2025·江苏常州高二期中)已知△ABC的顶 2.(2025·湖北十堰高二月考)如图所示，直线 点A(4,2),顶点C在x轴上，AB边上的高所 l1:y=-ax-b与l2:y=bx+a(ab≠0，a≠b)的图 在直线的方程为x+2y+m=0. 象可能是 ( (1)求直线AB的方程； (2)若AC边上的中线所在直线的方程为x y-4=0,求m的值 D 3.(2025·湖南邵阳高二期中)直线1：(m+3)x+ (m-2)y-m-2=0,点A(-2,-1),B(2,-2), 若直线1与线段AB相交，则m的取值范围为 ( A.(-∞，-4]U[4,+∞)B.(-2,2) c【8 D.(4,+0） 压轴挑战 4.(多选)(2025·重庆江北区高二期中)已知直 (2025·陕西安康高二期中)过点 线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1= (-1,-4)的直线1分别与x轴、y轴 0,下列说法正确的是 交于不同的A,B两点，O为坐标原 点，若存在4条直线1使得△AOB的面积均 A始终过定点？，） 为m,则m的取值范围是 B.若1∥儿2，则a=1或-3 进阶突破拔高练P0脑 选择性必修第一册·RJA黑白题0384.-5解析：由直线的截距式方程可得直线在x轴上的截距为-5.故答 案为-5. 5.y=2x或y=-2x+4解析：当直线过原点时，因为直线过原点(0,0) 和点P(1,2),则斜率k=2-0 1-0 2,直线方程为y=2x.当直线不过原点 时，设直线在x轴上的截臣为a,则在y轴上的截距为2a,直线的截 距式方程为+之=L因为直线过点P(1,2),将点P的坐标代人截 a 2a 距式方程得上子1，解得a=2所以直线方程为宁+子=1，化简 a'2a 为y=-2x+4故答案为y=2x或y=-2x+4, 3 6.y5或y=之解析：当直线过原点时，直线经过原点(0,0)， P(-2,-3),得直线方程为y=号：当直线不过原点时，设直线方得 为+’=1，把P(-2,-3)代入，解得a=-5,则直线方程为y=-x aa 5.故答案为y=-x-5或y=2 3 7户3该)=2解析：当直线过原点时，由于斜率为昌3，故直线 方程为y=3x当直线不过原点时，设方程为名+=1，把点(1,3)代 人可得a=-2,故直线的方程为y=x+2,故答案为y=3x或y=x+2 宁攻-解：设该直线的方程为+子1，由圈意有 [4,1 61, a (a=12, 2ab=9, 解得=6·或3故直线过点(6,0)，（0,3)或 (6=31 b=2 a>0.b>0 （12,0).(0,2）,则直线1的斜率为08- 3 为6-0“2或12-08故答 = 案为攻日 1 9.9解析：直线1与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0) 两点可设直线1的酸距式方程为。+子上：直线1过点 1,2 P(1,2)a+6=l,且>0，b>0,01+20B=a+2h=(a+ 2(日)-52≥5+2√公要=9，当且仅当 [262a b ,即a=b=3时，OA+20B取得最小值9.放答案为9. a>0,b>0, 10B解折：由点4(，2)与(-3，关于坐标原点对称，得号-0， 2少=0，则x=3,y=-2,所以xy=1.故选B 11.D解析：因为B(6,-7),C(4,-3),设BC边的中点为D,则 D(学子），即05，-5)义44.0，所以w-5,故 BC边上的中线所在直线的方程为y-0=-5(x-4),即y=-5x+20.故 选D. 12.C解析：由题意得，点P(1,2)关于点(0,1)对称的点必在11上，设 1=0 该点为(xy）, 2 解得任即（-1,0一定在直线1上 y=0, 2 故选G. 13.AC解析：由题意知AB的中点在直线x+y-4=0上，而AB的中点 参考答案 坐标为（空学）房以空=0得a2或m=3 22 故选AC 2.2.3直线的一般式方程 白题 基础过关 1.D屑折：由+价e=0,得斜率k一号，直线在x轴了轴上的裁距 -台，云南题图知，4<0，即-号<0b>0->0, 分别为- a 6>0ac<0,bc<0,若c<0,则a>0,b>0;若c>0,则a<0,b0.故 选D. 2.ABC解析：对于选项A,在平面直角坐标系中，每一条直线都有候 斜角a,当a≠90时，直线的斜率k存在，其方程可写成y=x+b,它 可变形为x-y+b=0,与Ax+By+C=0比较，可得A=k,B=-1,C=b,显 然A,B不同时为0：当a=90°时，直线的方程为-x1=0,与Ax+y+ C=0比较，可得A=1,B=0,C=-1,显然A,B不同时为0，所以此说 法是正确的.对于选项B,当C=0时，方程Ax+y+C=0(A,B不同时 为0)变为Ax+By=0,显然有A×0+Bx0=0,即直线过原点(0,0).故此 说法正确.对于选项C,当A=0,B≠0，C≠0时，方程Ax+By+C=0可 化为)=合它表示的直线与：轴平行，故此说法正晚对于选项D。 当B=0时，方程Ax+By+C=0不能化为斜截式，故此说法错误故 选ABC 3.>解析：因为二元一次方程++C=0表示一条直线，所以A,B 不同时为0，故1A|+BI>0.故答案为> 4-3+24=0解析：因为直线2x-3+12=0的斜率为子在轴上的 裁距为4，所以直线1的斜率为了，在了轴上的截距为8，所以直线1 1 的方程为y严3+8，即x3y+24=0 解桥：由方程组2二。得2k-1=0,当k=号时，方程组有 14x-2y+1=0, 无穷多个解，两条直线重合：当子宁时，方程组无解，两条直线平 行综上，两条直线平行或重合故选C 6.A解析：因为直线y=-2x+1,即2x+y-1=0,设与2x+y-1=0平行的 直线方程为2x+y+C=0(C≠-1)，将(1.0)代人可得2+C=0,解得 C=-2,所以直线方程为2x+y-2=0.故选A 1.A解析：由直线h:ax+2y+2=0与直线2：x+(a+1)y+2a=0平行， 则a(a+1)-2=0,解得a=-2或1.经检验，当a=1时，两直线重合， 舍去，所以a=-2.故选A 8.C解析：直线l1:(a+3)xy+4=0与直线2：x+(a-1)y+4=0垂 直，a+3+@-1=0,.a=-1,∴.直线1：2x+y+4=0,.直线l1在x轴 上的截距是-2.故选C. 9.解：(1)设点C的坐标为(x,y).在口ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,可 0-(-1).1-y 得k=kcb,kaAb=kc,即 -(-0解得=3故点C的坐标为 1-(-1)_0 y=2. 0-(-1)x-21 (3.2) (2:线段D的中点为E,E(1,2）由（1)知，k如0号3 1-21 ~直线1过点5且垂直于CD,=-3六直线1的方程为y -3(x-1),即6x+2y-7=0. 四易错提醒 1,求直线的方程时要注意判新直线的料率是否存在：每条直战都有 倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率 2.极据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的取值范围：二是要考虑正 切函数的单调性， 3.载距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是 解题时容易忽略的一点： 黑白题25 重难聚焦 10.C解析：直线2mx+y-4m-1=0可化为m(2x-4)+(y-1)=0,则直 线2mx+y4m-1=0过定点(2,1).又直线2mt+y-4m-1=0的斜 率k<0,故该直线不经过第三象限故选C 11.(3,2)解析：由直线1：(n+2)x-(2n+1)y+m-4=0可得n(x-2y+ )+2一4=0，故2210解得，枚定点为(3,2)，故答 (y=2, 案为(3,2) 黑题应用提优 1.B解析：对于A选项，当直线过点P(0,0)且与x轴垂直时，直线 方程不能用y-0=k(x-x和)表示，故A错误：对于B选项，直线过点 P(0%),便斜角为90°，此时斜率不存在，直线方程可表示为x=0, 故B正确：对于C选项，在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所 以不一定能用+】=1表示，放C错误：对于D选项，令y=x+2= a 0,解得x=-2,所以直线y=x+2在x轴上的截距为-2，故D错误故 选B. 2.C解析：对于A,由41：y=-aw-b的图象，可知-a>0,-b<0,即a<0, b>0,而由2：y=x+a的图象，可知b>0,a>0,产生矛盾，故A错误；对 于B,由l1y=-ax-b的图象，可知-a<0,-b>0,即a>0,b<0,而由2： y=bx+a的图象，可知b>0,a>0,产生矛盾，故B错误；对于C,由4： y=-ax-b的图象，可知-a>0.-b<0,即a<0,b>0,此时由2：y=br+a 的图象，可知b>0,a<0,两者一致，故C正确：对于D,由1y=--b 的图象，可知-a>0,-b>0,即a<0,b<0,而由2：y=x+a的图象，可知 b>0,a>0,产生矛盾，故D错误故选C 3.C解析：由题意得直线1：m(x+-1)+3红-2y-2=0,则)。 4 5 可得 所以直线过定点M(年，）则如子 1 5 3 个、一是，由图可知直线L的斜率杰的取值范围为k≤ 52 4 或号又筒2》.所以号该号号 6 减m-2产7 即2≤8或≤m<2又m=2时直线的方程为号，仍与线 段侣相交，所以a的取值范周为[，8]故选C 4.AC解析：对于A,直线5：a(x-2y)+3y-1=0,由任2=0：得x= 3y-1=0, 子宁直线马始终过定点（仔，号）4正确：对于B,当。=1 2 时，直线41x+y-1=0与直线2：x+y1=0重合，B错误；对于C,411 l2,则a-a(2a-3)=0,解得a=0或a=2,C正确：对于D,取a=-1,直 线l1:x-y+1=0过第三象限，D错误，故迹AC 5.2x-y-7=0解析：由直线1的方向向量为(1,2)可得直线的斜率 为2，又过点(2，-3)，则直线1的方程为y+3=2(x-2),即2x-y-7=0. 故答案为2x-y-7=0. 6.24解析：由题意可知，直线1的斜率存在且不为0，设直线1的斜率 为k,则直线！的方程为y-4=k(x+3),因为直线1分别与x轴的负半 轴、y轴的正半轴交于A,B两点，所以k>0,令x=0,则y=3张+4，即 80,34),令y=0,则-3÷，即A(3÷0）,所以5m 选择性必修第一册·RJA 204:0B=号(3+)3+4)=(9+24）其中+ k2.1 16 24,当且仅当9贴=，k30,即长手时，等号成 立，所以Sam≥之(24+24)=24，即△40B面积最小值为24.故答 案为24. 四重难点拔 解本题的关候在于以下两点： 1.将三角形的面积利用k加以表示： 2在求解最值时，可充分利用基本不等式、函数的单调性等知识来求解 7.解：(1)依题意，由AB边上的高所在直线的斜率为-之，得直线AB 的斜率为2.又A(4,2),所以直线AB的方程为y-2=2(x-4),即2x- y6=0. (2)点G在：轴上，设C,0),则线段4C的中点D(偿)，由点D 在直线丁4=0上，得学1-4=0，解得1=6，即C(6,0).又点C在 直线x+2y+m=0上，所以6+m=0,解得m=-6 四方法总结 在求直线的方程时，应先选择造当形式的直线方程，并注意各种形式 的适用条件，用料载式及点斜式时，直线的斜率必须存在：而两点式不 能表示与坐标轴垂直的直线：载距式不能表示与坐标轴垂直或经过 原点的直线故在解题时，若果用载距式，应注意分类讨论，判断载距 是否为零：若采用斜截式成点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 压轴挑战 (8,+©)解析：显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程 为)4=(+1)，令x=0得y=女-4，令y=0得x=冬-1则50 -41…-18-6由意类于长的方程 =m有四个不同的实数解，8-k 6=±2m,所以2+ (2m-8)k+16=0有两个不等实根且2-(2m+8)k+16=0有两个不等实 根，即4=(2m-8)2-640 解得m<-8或m>8.又m>0,所以m>8.故 (42=(2m+8)2-64>0, 答案为(8，+) 2.2 阶段综合 黑题 阶段强化 1.D 解析：设点A(1,2)关于直线y=x对称的点为M(oo）,则点M o-2 在直线BC上.由 1-1, 解得=2即M(2,1),由两点式可 o+1y0+2 y%=1, 2 2 得直线8C的方程为号器即g一3+1=Q故选D 2.A解析：设过点(5，b)且与两条直线平行的直线的方程为3x- 4y+e=0,把点(5，b)代入直线的方程，解得c=46-15,过点(5，b)且 与两条直线平行的直线的方程为3x-4y+46-15=0.由题意知，所求直 线在y轴上的裁距满足号<：5<？引<65又6是整数。 ,b=4故选A, 3.C解析：由直线2x-y=0和x+y=0垂直可得a=2,则P(0,5).设 44).(号)于是有 。与。解得名=4，于是 12 =-4, 黑白题26