1.4 空间向量的应用 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

1.4阶段综合 黑题阶段强视 很时：60min 1.(2025·湖北荆州高二月考)在直三棱柱 PD=AD,M,N分别是棱DC,PB的中点，则 ABC-A,B,C1中，∠BCA=90°，AC=BC= AA,=2,E为A1C1的中点，则BA1与AE所成 A.MN=√3 角的余弦值是 ( B.AB.B丽=-2 酒 B.5 C.平面PMN⊥平面PCD 15 10 2.(2025·河南平顶山高二月考)两平行平面α， D.直线PB与平面PAD所成角的正弦值为6 B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两 平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间 的距离是 ( A.3 C.3 D.32 3.(2025·重庆九龙坡区高二月考)在棱长为2 (第6题) (第8题) 的正方体ABCD-A,B,C,D中，点E,F分别为 7.(2025·湖南衡阳高二期末)已知正方体 棱BC,DD,的中点，则点F到直线AE的距 ABCD-AB1C1D1的棱长为2，BC棱上一点P 离为 ( 436 满足1P+P元1=2，则直线PA与平面AB,C所 C.5 D.V105 5 5 5 成角的正弦值为 4.(2025·陕西西安高二期中)如 8.(2025·山东聊城高二月考)如图，四棱锥 图，已知AB是圆锥的底面直 P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD,底 径，C是底面圆周上的一点， 面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边 --B 三角形，M,N分别为AB和PC的中点，则平 ∠BAC=30°，AB=23,PA=2, 则PA与平面PBC所成角的正弦值为( 面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的 最小值为 A号 c.2 3√13 D. 13 13 9.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖需是 5.(2025·广东佛山高二期中)已知菱形ABCD 指四个面都是直角三角形的四面体如图，在 中，∠ABC=60°，沿对角线AC折叠之后，使得 直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB= 平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的 √3，AC=√6，现将△ABD沿AD翻折到△AB'D 余弦值为 的位置，使得四面体AB'CD为鳘臑，则二面角 c B'-AC-D的余弦值为 A.2 B 6.(多选)(2025·河北石家庄高二月考)如图， 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,四边 形ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=120°， 第一章黑白题023 10.(2025·浙江杭州高二月考)如图，四边12.(2025·山西朔州高二月考)如图，三棱锥 形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平 P-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=PA,∠PAB= 面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E ∠PAC=60°，0为BC中点，点Q满足 为BC的中点 B成=AP (1)证明：MN∥平面ABCD. (1)证明：OP⊥平面ABC. (2)在线段AW上是否存在一点S,使得ES⊥ (2)求二面角A-BC-Q的大小 平面AMN?若存在，求出线段AS的长 (3)在线段BQ上是否存在一点M,使得直 度；若不存在，请说明理由。 线AM与平面BCQ所成角的正弦值为 牙？若存在，请求出侧的值：若不存在， BO 请说明理由， 11.(2025·江苏南通高二月考)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥ BC,AP=AB=AD=1,BC=2. 压轴挑战 (1)求二面角B-PD-C的正弦值； (2025·浙江绍兴高二月考)如图，已知在四棱 (2)在棱PC上确定一点E,使异面直线PD 锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形， 与BE所成角的大小为60°，并求此时点 △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥ E到平面PBD的距离. 平面PAD,点E是线段PD上的动点（不含端 点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得 异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长 度的取值范围是 ( ) A.( B.(o.) c经2 选择性必修第一册：RJA黑白题0241.4阶段综合 黑四阶段强化 1.B解析：以G1为原点，以CA,CB,C的方向分别为，y,z轴 的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=AC=A41=2,所 以A(2,0,2),E(1,0,0),B(0,2,2),A1(2,0,0),所以A2=(-1, 0,-2).m=(2,-2,-2),所以o(A正，A)= 店.A A应，B 石石晋做队与所瑰角的余弦值为否放选且 -2+4√/15 B 四方法总结 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标： 第二步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标： 第三步：计算向量的夹角（发函数值），并转化为所求角。 2.B解析：，两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1.1), O=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),“两平面间的 距离为n0.-2+0+_故选B 2 3.D解析：以D为原点.DA,DC,DD1分别为 ,,:轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,0,1),A应=A F (-1,2,0),则A正方向的单位向量a= 1 5 后0)市(-2.0.那 2 5 所以F到直线极的距离4：v-(√于 5 故选D. 4.D解析：依题意，圆锥的高P0=√22-(5)下= 1 1.以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，如 图所示则A(0,-5,0),B(0,5,0) c(}go小poo.i=0 1””5 威（层）成0 -》,设平面Pc的法向量为a=(,).则·成0， In.BC=0 3y-2=0, 3√3 取x=1,得n=(1,5,3).设P4与平面PBC所成角 2*2=0, 、为0，则血la2x元3S即M与平面Pc所 咸角的正孩值为沿放连D 5.D解析：因为平面BAC⊥平面DAC,设AC中点为O,BO⊥AC,则 BO⊥平面DAC,D0⊥AC,故以OC方向为x轴，OD方向为y轴，OB 方向为x轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则C(1,0,0), D(0,3.0).B(0,0.3).CD=(-1,5,0),CB=(-1.0,3),0B= (0,0,5),显然0=(0,0,5)是平面DAC的一个法向量，设平面 选择性必修第一册·RJA BCD的法向量为n=(x,y,),则满足 mc动=0即 +5y=0令x=万，可得y m.Ci=0,-x+5z=0, 1,故n=(5,1,1),则c(0i,n〉= 55 x55,即 二面角台-CD-4的余弦值为5故选D 6.BCD解析：由题意过点D作DE⊥AB于点E, 因为PD⊥平面ABCD,DE,DCC平面ABCD,所 以PD⊥DE,PD⊥DC.因为四边形ABCD是边长 为2的菱形，所以AB∥CD,所以DE⊥DC,所以 DE,DC,DP两两互相垂直，故以D为原点，DE, DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系.因为PD=AD=2, ∠ADC=120°，所以D(0.0,0),E(5,0.0),A(3,-1,0),B(5,1. 0,c02.0.P0.0,2.M01.0w(停71对于A (停子小，m1=反，故A错误对手B: (0,2,0),=(-3,-1,2),A.=-2,故B正确：对于C,连接 PM,显然平面PCD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PMN的一 个法向量为=（名a).而成：(0,1，-2.成-（停 PM·m2=y2-22=0, -1,从而 3,1 成m2+z90 令互=1，解得名=0,2=2， 所以n2=(0,2,1),所以n1·n2=0,故C正确：对于D,D=(3,-1, 0),D币=(0,0,2)，设平面PAD的一个法向量为n3=(y33),则 :m=3%=0令5=厅，解得为=3=0，所以平面D D币.m=23=0, 的一个法向量为m=(5,3,0),而币=(-3，-1,2)，从而1c0s(m, )= 6 25×2W -6,则直线PB与平面P4D所成角的正弦值为 4 怎，放D正瑰放法B0D 1 :解析：以D为原点，建立空间直角坐标 系如图所示，则D(0,0,0),A(2,0,0),A B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),得AB= (0,2,2),A元=(-2,2,0).设P(A,2,0),P D“ (2-A,-2,0),P元=(-A,0,0).则+P元= (2-2A,-2,0).因为1P+P℃1=2，所以 (2-2A)2+(-2)2=4,解得A=1,所以P=(1,-2,0).设平面AB1C的 n·B=2y+2z=0, 法向量为n=(x,y,),则} m.At=-2x+2y=0, x=1,得y=1,= -1,所以m=(1,山，-)，则1s(1=可_11-21.压 P1ml5x315 所以直线PA与平面AB,C所成角的正弦值为15放答案为5 ·解析：连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心，取BC 中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABCD,则 EP1平面ABCD,以点E为原点，分别以E式，E元，的方向为x,, 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长 为2的正方形，△PBC是等边三角形，所以D(2,1,0),M(1,-1,0), 黑白题16 co1.0.Po.0.w0.）o1 o0.所u-（1,号空）成-(2 号号），成-(1,10)设平省A的法向之 量为a=(xy),则 成月0 解得-2，取=7，则y=-月x=25,所以m=(25,-3,7), 3z=-7y, 且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O 到平围DMN的距离，则4.0币，m.-?赦答案为 Inl 6网8 8 :解析：在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB=3,AC= V6,则BC=3,D=2,BD=1,CD=2,即在四面体AB'CD中，AD= √2，BD=1.CD=2,AB=√3，AC=6,则BD<CD.要使四面体 ABCD为鳖摆，根据三角形中大边对大角，可知需要BC⊥平面 ADB,此时∠ADB,∠ADC,∠DBC,∠AB'C为直角，满足四而体 AB'CD为鳖需，则B'C=√CD-B'D=3.如图，在长、宽、高分别为 5,1,√2的长方体中作出四面体ABCD,以D为坐标原点建立空间 直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,2),C(1,3,0),B(1,0,0), B=(1,0,-2),CB=(0,-3,0),设m=(x,y,)为平面BC的 一个法胸量，则m·矿一=0令：=1，则x=,y=0,所 lm·C3=-3y=0, 以m=(2,0,1).Di=(0,.0,2),D=(1,5,0),设m=(a,b,c)为平 面4ACD的个法向量，期0可2c=0,令e=0.a=5,6=-, (n…Dt=a+3b=0, 烈=(10wa-说 ,所以二面 角B'-AC-D的余弦值为 放答案为 2 B (第9题) (第10题) 10.(1)证明：连接BD.因为MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,所以 MD∥NB.因为MD=NB,所以四边形MDBN为平行四边形，所以 MN∥DB.又BDC平面ABCD,MN女平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)解：由题意知，DM.DC,DA两两垂直以D为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x轴y轴、：轴，建立如图的空间直角坐标系，则 00,0.0).4(1,0.0,M00,DA1,1),(合1.0）假设在 线段AW上存在点S,使得ES⊥平面AMN,连接AE.易知A=(0,1, ).(-10,.-(分1,0小元=(0AaA.0≤ A≤1，则感：高+衣=（分A1A）由因1平面wN,得 话.=0，(A-1)+A=0, 子），所以1芯1=停放在线段N上存在点3使得四上平 参考答案昌 面，此时线段5份长度为号 11.解：(1)以店市，为单位正交基底，建 立空间直角坐标系如图所示.因为BC= 2,AP=AB=AD=1,所以B(1,0,0),P(0,0, 1),D(0,1,0),C(1,2,0),则P毫=(1,0，-1)， P币=(0,1，-1)，D元=(1,1,0).设平面PBD 的一个法向量为n1=(1,,),则 (1·P序=名11=0， 取x1=1,得n1=(1,1,1). (m1-币=11=0， 设平面PCD的一个法向量为n2=(,h,),则 西·=2=0取与=1，得=(1，-1，-1设二面角B-D-C m,.P==0, 的大小为，则1es1=1e@(n,1有，所以n9 1m29 (2)设P店=AP元=(A,2A,-A)(0<A≤1)，则成=P吨-P市=(A 1,2A,-A+1).因为异面直线PD与BE所成角的大小为60°，所 以c0s60°=1cs(P元，B成1=12A+(A-1)1 1 2×√2(A-1)2+4 二2，解得A= 号或A=0(会去，此时成：（仔子号）所以点E到平面 (24.2 4 P2.m1↓3_43 PD的距离dm,1万9 12.(1)证明：连接OA.AB=PA,∠PAB=60°，，△PAB是正三角形， PB=AB=PA,同理可得PC=AB,∴.PB=PC.,O是BC的中点， 0 PC.-AB=AC,0⊥BCrA裙1AC0A=0B=之C .OP LBC,..PB2=0P2+0B2.PA2=PB2=0P2+0B2=OP+0A2, .OP⊥OA,OAOBC=0,OA,BCC平面ABC,.OP⊥平面ABC. (2)解：由(1)得OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB,以0为原点，OA.OB OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， B 设AB=√2，则A(1.0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0,1) 成=市，Q(-1,1,1),显然0=(0,0,1)是平面ABC的一个法 向是，设(，X)是平面8C0的-个法向量，则m上武 m1BO, {x:取1则1=0.m=(1,0)s(m,耐 m0市万二由题可知二面角4Bc-Q为纯角，故二面角小 BC-Q的大小为135. (3)解：假设存在点M,设B=AB戒(0≤A≤1)，则B=AB戒=(-A, 0,A),A丽=A店+B=(-1-A,1,A).直线AM与平面BCQ所成 角的正弦值为， m1渡引 -1 2方A2或A=-2(合去)， BM 1 六02 白题17 压轴挑战 B解析：如图，取AD中点G,连接PG,因为AB⊥平面 PAD,ABC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD.因 为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以 PG⊥AD.又PGC平面PAD,且平面ABCD O平面 PAD=AD,所以PG⊥平面ABCD.分别以GM,GP和过 点G与AB平行的直线为x,:,y轴建立如图所示的空间直角坐标系.则 G(0.0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),设F(1,y 0),0<<2,设D呢=xD币=x(1,0,1)=(x,0,x),0<x<1,故E(x-1,0,x), 得E=(2-x,y,-x),P尼=(x-1,0,-1).又因为P=(10,-1),且异面 直线PA与EF成30的角，故1P·E=1P1·1E1c0s30°，即2= xV0可可×停即(-12=宁.因为0y2,所以 (-12e(o,写）则2=2-12e(0,号)故得e(0, )故选取 专题探究1空间向量的综合应用 黑题 专题强化 1.B解析：因为a∥b,则存在入∈R,使得b=Aa,即(x+1)m+8n+2p= x+1=3A. 3Am-2An-4p,则{8=-2A,解得x=-13,y=8,所以x+y=-5.故 2y=-4A, 选B. 2.C解析：由题设a+b=-c,则a2+2a·b+b2=c2,故5+2a·b=7,所 以m(a.b)=宁又a,b)e[0,180],所以(a6)=60故选C 3.C解析：如图，分别以店，市，网的方向为x轴y轴、：轴的正方向 建立空间直角坐标系，可得E23,3),F(4,,0,c(4,3 2）D(0,33).B(4.0,3),设Ma6,0),所以=（2，-2 -3）,元=(0，子)，o或：(a6-3,3)设平面c的法向量 3 m,E=0, 223a=0 为n=(x,y,),则 得 n.FC=0, 3.3 令x.3 ,则y 2*2=0, 1,-1,即a=（1,）由于直线D,与平面EG平行，则 a=0,得-子+b-3+3=0,即6=，丽=(4-a,-6,3) MD=(-a,3-b,3).所以MB·MD=(4-a)·(-a)+(-b)·(3-b)+ 94-9-r(广292- 4a+9 名(a-2)号，由于ae(0,赦当。=2时，丽，丽取得最小值. 最小值为片放选C 4 (第3题) (第4题) 4.[0,2]解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0),C(1,1,2).设P(m,n,0),0≤m≤1,0≤m≤1，则=(m, 选择性必修第一册·RUA m,0),AC=(1,1,2).故亦.AC=m+ne[0,2].故答案为[0,2]. 解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a· >0,(-2x(号)+3>0，解得号曲a/,得子= 13 21 3,故1≠3，故：的取值范围为 号3）u(3.+=).故答案为 (号u3 6.(-,-3)U(1,+)解析：因为a,b,c的模均为1，它们之间的夹 角均为60，所以c2=2=心=1，a·b=e:b=ac=子又 (ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2a·c+2e·b=2+2h+3>6,所 以2+2k-3>0曰(k+3)(k-1)>0曰k<-3或k>1.放答案为(-x, -3)U(1,+). 1.解：(2励=屁励}成=d成-号（e-b),故0励 成励=b+行(e-b):子+宁6yE为A0的中点故成： 1 9 (2)由题意得a·c=之a·b=3,c·b=3,花=0成-0耐=c-a,故 1 6e2 3a·c+ 1 1 19 1 3 ×3= 2 8.(1)解：因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2).因为币= 4162w6 V9*2+ 93 (2)证明：因为A(2,0,0),P0,0,2),故E(1,0,1),故D元=(1,0,1)， B=(-2,-2,2),所以D成.B=-2+2=0,所以D成1B (3)据(1)2)可得（号，子号），商c0,20),故元 24 （-2,2.0,故m(成.序.花了+30 EIA花 2 3*22 9.C解析：建立以D为坐标点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2,2,0),E(0,2,2), 0 A(2,0,22),C(0,2,0),A(2,0,0),可得 A 证=(-2,0,2)，41t=(-2,2,-22),易知 cos a=I cos(BE,ACI= 成.】 B·A 0,且0°≤a≤90°，所以&=90°，易得平而 BDD1B1的一个法向量为Ad=(-2,2,0),因此可得imB=1cs(A花， Ac)1= a花.Ad 8巨又0°≤B≤90，可得B= A花1·1A,ti22x42 45°，因此a+B=135°，故选C. 1O.BCD解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂 直，不妨以A为原点建立室间直角坐标系，如 图所示，可得B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1, 0,80.0,2),r,2号）则励=(-11， B 0),E武=(1,2，-2)，B=(-1,0,2),所以B励· 黑白题18