1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

第2课时用空间向量研究夹角 白题 基础过关 很时：60min 题组1异面直线所成的角 题组2直线与平面所成的角 1.(2025·陕西铜川高二月考)已知两条异面直4.已知空间向量A=(1,0,-1),平面α的一个 线的方向向量分别是u=(3,1,-2),y=（3,2, 法向量n=(0,1,1),则直线AB与平面a所成 1),则这两条异面直线所成的角0满足( 角为 () A.sin = 9 4 B.sin =1 A君 2π C. D. C.cos0=9 5.(2025·河南郑州高二月考)在正方体 4 D.cos 0= ABCD-A,B,C,D,中，直线A,B与平面BC,D, 2.(2025·福建厦门高二期中)如图，在直三棱 所成的角为 ( 柱ABC-A,B,C1中，△ABC为等腰直角三角 形，且AB=AC=AA,=1,则异面直线AB A号 C. 4 D 与A,C所成角的余弦值为 ( 6.设平面a的一个法向量为n=(a,0,1),直线l 5 的一个方向向量为d=(3,-4,0),若直线1与 2 B.2 C 2 3 D. 3 平面a所成的角为石，则正数a 7.(2025·河北邢台一中高二月考)如图，在侧 棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B,C,D1中， AD∥BC,AD⊥AB,AB=2,AD=2,BC= 4,AA1=2,点E是DD1的中点，点F是平面 (第2题) (第3题) B,C,E与直线AA1的交点 3.(2025·吉林长春高二月考)“曲池”是《九章 (1)证明：EF∥A,D1; (2)求直线BC,与平面B,C,EF所成的角的正 算术》中记载的一种几何体，该几何体是上、 弦值 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被 扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲 池，AA1⊥平面ABCD,A4,=4,底面扇环所对的 圆心角为2，AD的长度是BC长度的2倍，CD= 1,则异面直线A,D1与BC,所成角的余弦值为 ( B② 3 0② 第一章黑白题019 8.(2025·湖北宜昌高二期中)在菱形ABCD中，12.(2025·山东东营高二月考)如图，在四棱锥 ∠BAD=智，AB=2,将菱形ABCD沿着BD翻 P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD, ∠ADC=90°，且AD=CD=PD=2AB=2. 折，得到三棱锥A-BCD,如图所示，此时 (1)求证：AB⊥平面PAD; AC=√6. (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. (1)求证：平面ABD⊥平面BCD: (2)若E是CD的中点，求直线BE与平 面ABC所成角的正弦值. 题组3面面角与二面角 13.(2025·广东深圳高二期中)如图，在底面为 9.(2025·山东东营高二月考)已知平面a,B的 平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC, 法向量分别为n1=(2,1,-3),n2=(1,-3,2), PA⊥平面ABCD,且PA=AB=AC=1,点E是 则平面α，B的夹角的大小为 ( PD的中点 AB c号 n君 (1)求证：AC⊥PB; (2)求二面角E-AC-B的大小 10.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ACB= 90°，AC=AA,=2BC=2,D为AA,上一点.若二 面角B,-DC-C,的大小为30°，则AD的 长为 (第10题) (第11题) 11.(2025·河南洛阳高二月考)如图所示，在圆 锥S0中，AB是底面圆直径，且S0=AB= 4,AC=BC,则二面角A-SB-C的余弦值为 选择性必修第一册·RJA黑白题020 黑题 应用提优 很时：60min 1.(多选)已知cs(a,b)=-,则下列说法正确 的是 ( A.若a,b分别是直线L1,L2的方向向量，则直 线1，山所成角的余弦值是 (第3题) (第4题) B.若a,b分别是直线l的方向向量与平面a 4.(2025·陕西锅川高二期中)如图，在四棱 的法向量，则直线1与平面α所成角的余 台ABCD-A1B,C,D1中，AM1⊥平面ABCD,底 面ABCD为正方形，AB=2AM1=2A,B,=4,P为 弦值是号 线段C,D的中点，直线D,P与平面ABD1所 C.若a,b分别是平面a,B的法向量，则平面 成角的大小为 5.（2025·陕西西安高二期中)在正方体 a,B所成角的余弦值是号 ABCD-A,B,CD,中，动点M在线段A,C上， D.若a,b分别是直线I的方向向量与平面α E,F分别为D,D,AD的中点.若异面直线EF 的法向量，则直线1与平面α所成角的正 与BM所成角为0，则0的取值范围 为 弦值是} 6.(2025·重庆南岸区高二期中)在直三棱 2.(2025·山东济宁高二月考)在四棱锥P- 柱ABC-A,B,C,中，△ABC为等腰直角三角 ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面 形，AB⊥AC,AB=AC,AA1=2AB,点M在侧棱 ABCD,PA=BC,E,F分别为CD,PC的中点， cC,上，且满足C成=cC 则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为 (1)求证：BM⊥A,C; (2)求直线BA,与平面ABM所成的角的正 A号 &② 3 023 3 0② 6 弦值. 3.（多选)(2025·山东日照高二月考)如图，在 底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A,B,C 中，AC=2,BB,=√2，D,E分别为棱BC,BB1的 中点，则 A.A,B∥平面ADC B.AD⊥CD C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为 5 D.平面ADC,与平面ABC的夹角的正切值 为2 第一章黑白题021 7.(2025·四川南充高二月考)在三棱台9.(2025·安徽蚌埠高二月考)如图，四边形 ABC-A,B,C,中，若A,A⊥平面ABC,AB⊥ ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD, AC,AB=AC=AM1=2,AC1=1,M,N分别是 FB⊥平面ABCD,且ED=FB=1. BC,BA的中点 (1)求证：EC⊥平面ADF. (1)求证：B,B∥平面C,MA: (2)在线段EC上是否存在一点G(不含端 (2)求二面角A-C,M-V的正弦值 ,点)，使得平面GBD与平面ADF的夹角 为45？若存在，指出点G的位置；若不 存在，请说明理由. 8.(2025·广东广州高二月考)在四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧面 PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是 PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正 弦值为 压轴挑战 (1)求证：AM⊥平面PCD: (2025·四川成都外国语学校高二期中)如图， (2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值 四边形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=2√2， 现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的 大小在[后号]时，直线4B和cD所成角为a, 则cosa的最大值为 A. 22-√6 B.2 c.22+6 D.6 16 8 16 8 进阶突破拔离练P5 选择性必修第一册·RJA黑白题022面AB,E的距离即为点F到平面AB,E的距 D 离.又AB,=(0,3,3),设平面AB,E的法向量 m·A正=0， 为=(x,y,￥)，则 即 nAB=0. 3+2=0取=3，则=(2，-3,3).易得 (3y+3z=0 成(3,3，)，故点F到平面AB,E的距离4=h·。6 Inl 22 3y区故答案为3y区 11 11 6.(1)证明：如图，取A,B1的中点M,连接MQ,MP在△ABC 中，A1Q=QC,AM=MB1,.QM∥B,C:,在四边形MPBB1中，MB1= PB且MB1∥PB,.四边形MPBB,是平行四边形，MP∥BB,: BB,nB,C,=B1,BB1C平面BCCB,B1C,C平面BCC,B1, 又，MP∩MQ=M,MPC平面MQP,MQC平面MQP,,平面MQP∥ 平而BCCB1,又：PQC平面MQP,∴.PQ∥平而BCC1B1, (2)解：如图，取AC的中点0，连接A10,B0 △ABC为等边三角形，·B0⊥AC ,平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC,A1∩平 面ABC=AC,B0⊥平面ACC1A1,∴.B0⊥A10, 在△410A中，∠A140=60°，A14=2,0A=1,易 得AC1A10,以0为原点，0M,0B,0A1所在直 线分别为x,y,轴，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,5),A(1,0, o.805.0.6-100.p0）0-1od 丽-风(-1=(-l,00),市-（分 -万.A,B=(-1,万，0)，设平面A,PQ的法向量为a=(x,y,), ·Ad=-x=0, (a·4,产13 2+23=0, y=2,则n=(0,2,1),点B1到 平面4，P0的距离4=n·A252压 55 压轴挑战 厅解折：由题意，直线为-片号，经过点P1,42),且 (1,-1,2)为一个方向向量，所以市=(-3,1，-1)，故点4到直线1的距 离d√亦-（市下。 - =5故答案为5. 第2课时用空间向量研究夹角 白四 基础过关 1.C解析：因为两条异面直线的方向向量分别是=(3,1，-2)，= (3,2,1),所以“·￥=3×3+1×2+(-2)×1=9,141= √32+12+(-2)7=14,1=√3+22+1下=√/4因为两条异面直 线所成的角为0e0,受]所以cmg=s(a,)1-吕 lullyl14 所以m=匹故选C 14 2.B解析：由题意建立如图空间直角坐标系，可得 (0,0,0),B(1,0,1),4(0,0,1),C(0,1,0),则 A=(1,0,1),At=(0,1,-1),所以cs(AB B A衣==-因为两条异面直线所成角的 2x2 范圈为(0，] ,所以异面直线AB,与A,C所成有 选择性必修第一册·RUA 角的余弦值为了故选B 3.C解析：如图，设上底面圆心为01，下底面圆心 为0，连接00,0C,0B,0,C,0,B1,由底面扇 环所对的圆心角为Σ，⑦的长度是配长度的 2倍，CD=1,可知0C=1,以0为原点，分别以 0C,OB,O01所在直线为x轴、y轴、：轴建立空 间直角坐标系，则C1(1,0,4),A(0,2,0),B(0,1 0),D(2,0,4),A(0,2,4),则AD=(2,-2,0),BC=(1,-1,4),所 以cos(A1D,BC)= A,D·BC 2+2 1A,D1BC1V4+4×1+1+16 3又异面 直线所成角的范围为 0,受]，放异面直线40与C,所成角 4,A解析：设直线AB与平面a所成的角为9，则in9=1c%(店， n)1= A·n.1 IABI nIx2 分又因为9e[,]所以0=故 选A, 5.B解析：如图所示，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则41(1,0,1)，B(1,1,0), D1(0,0,1),C,(0,1,1),所以BM=(0-1, 1),BC=(-1,0,1),BD=(-1,-1,1).设平 面BC,D的一个法向量为n=(x,y,),直 线A1B与平面BC,D,所成的角为&a∈ 》收 ”令x=1,则y=0,:=1,即n a,01).所以血a=1m(n,丽1=a 1 m1,M/2xw22,所 以=π放选B 6 6.5m 11 解桥：依题意可得1一（a,1,=咖云，即 5/a2+1 13al1 GV方解得a巴政a3(合故咨案发四 11 7.(1)证明：由题意得CB,∥A1D1,CB1￠平面ADD,A1,A1D1C平 面ADD,A1,所以C,B1∥平面ADD,A,又因为C,B,C平面B,CEF, 平面B,C,EFn平面ADD,A,=EF,所以C,B,∥EF,所以EF∥A,D1- (2)解：因为BB1⊥平而AB,CD,A1B,⊥A1D1,A1D1∥CB1,可 得AB1⊥C1B1,故以点B,为坐标原点，分别以A1B1,CB1,BB,所 在直线为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B,(0,0,0), C(0,4,0),E(2,2,1),B(0,0,2),所以B1C=(0,4,0),B1E= (2,2,1),BC=(0,4,-2).设平面B1C,EF的法向量为n=(x B1C·n=4y=0, y,),则 B,i.n=2x+2y+=0, 故可收n=(L,0,-√反).设直线BC 与平面B1C,EF所成的角为日，则im=Ic(BC,n〉I= 1BC·n122-√30 iBC1·1ml25xw315 故直线BC,与平面B,C,EF所成的角 的正弦值为3知 15 黑白题12 8.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD 一号，所以△RAD与△BCD均为正三角形 如图，取BD的中点O,连接OA,OC,则 OA⊥BD,OC⊥BD.因为AB=2,所以OA= 0C=√3.因为0A2+0C2=6=AC2,所以0A⊥ OC.又BDnOC=O,BD,OCC平面BCD,所 以OA⊥平面BCD.因为OAC平面ABD,所 以平面ABD⊥平面BCD. (2)解：由(1)可知，0A,0B,0C两两垂直.以0为坐标原点，0B,0C. OA所在直线分别为x轴y轴：轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0, 万)，B(1,0,0),C(0,5,0),D(-1,0,0).因为E是CD的中点，所以 (号号0小所以威=(-10同.成=-15,0.成 (三受0）设a=()为平面C的达向量，则 m·=+5=0令y=1,得5=1，所以m=(5,1,).设 m·B成=-x+3y=0, 直线BE与平而ABC所成角为0，则sin8▣Icos(B成，m》1= 353 成，m 22w5 1BE1·1m1 3×5 =了，所以直线BE与平面ABC所成角 的正弦值为？ 9.C解析：由向量m1=(2,1,-3)与m1=(1,-3,2),得c0s(m1,2》= n1·2 2x1+1×(-3)+(-3)×2 1 1m11m2√22+12+(-37×√T+(-3)2+22 ,又0≤(m, ,≤，则(a）行所以平面aB的光角的大小为号放选C 10.33 解析：如图，以C为坐标原点，CA,CB 3 CC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空 间直角坐标系，则C(0,0,0),B(0,1,2), B(0,1,0).CB=(0,1,2),Ci=(0,1,0).D 设AD=a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2,0， A a),Ci=(2,0,a).设平面B1CD的法向量 m·CB=0, 为m=(x,y,),则 y+2=0, m.CD=0 →{2x+m=0, 令x=-1,得m= ?,2,-1人又平面CDc的-个法向量为0=(0,10)，记为， 则由cs30°=1m·则 2 Imlinl 1a2 号解得25( √4+4+1 )做029做答案 3 四易错提醒 利用向量法求二面角大小的注意点： (1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先始出证明： (2)对于某些平面的法向量，要结合魔目条件和图形多观察，判断该 法向量是否已经隐含着，不用再求： (3)注意判新二面角的平面角是锐角还是纯角，可结合图形，以防结 论失误 1.号 解析：以0为坐标原点，以OC,OA,OS所在的直线分别为*， y,轴，建立空间直角坐标系。 oa2ago 参考答案 为m=,,则：文20令2，可7-2，所 \m.Bt=2x+2y=0, 以m=(2,-2,1),平面S4B的一个法向量为0武=(2,0,0)，设二面 角4-S8-C的大小为，由图可得0<0<受，则m0=1m(a, 0吨1=n·0成。2 子，所以二图角小-朗-C的余孩值为子故答案 2 I2.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB.又 因为AB∥CD,∠ADC=90°，所以AD⊥AB,而AD∩PD=D,且AD, PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. (2)解：因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD PD1AD.而CD⊥AD,所以建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0.0),P(0.0,2).A(2,0.0),B(2,1.0),C(0,2,0).由(1)可 知AB⊥平面PAD,所以平面PAD的法向量为A=(0,1,0),设平面 PBC的法向量为n=(x,y,),P=(2,1,-2),P元=(0,2，-2)，则有 P哺=0,2xy2=0,令x=1,可得y=2,=2,所以m {m.p元=0{2-2=0， (1,2,2).设平面PAD与平面PBC夹角为0，cs0= 店·nL= 1ABIxInl 收子质以平眉PD与平面微光角的余滋位为子 2 B 13.(1)证明：由题意可知AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点。 以AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直 角坐标系.因为PA=AB=AC=1,所以A(0,0,0),B(0,1,0), C(1.0,0),P(0,0,1),所以AC=(1,0,0).P3=(0,1,-1),即Ad. P克=1×0+0x1+0x(-1)=0,所以花⊥P克，即AC⊥PB. (2)解：因为底面ABCD为平行四边形，所 以AB=CD,AC⊥CD,故D(1.-1,0),因为 点E是m的中点微E(合宁号） 所以A= (÷）设平面48c的产 (A·n=0, 1 法向量为n=(x,y,2),所以 所以 a花·n=0, 222=0, x=0. (x=0, 取z=1.可得{y=1.所以平面AEC的一个法向量为n=(0,1,1).由 z=1, 题意可知，平面ABC的一个法向量为A币=(0,0,1)，因此c0(币， 0”万子，故两法向量的夹角为经观察，三 n〉= 面角为能角，所以二面角8-4C-B的大小为积 白题13 四方法总结 合理建立空问直角坐标系： (1)使用空闸向量解块立体几何问题的关健环节之一就是建立空问 直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的筒繁程度不同， (2)一板来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的 三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空问直角坐标系：如果不 存在这样的三条直线，那么应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为 两寒坐标轴建文空饲直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相 交直线为基本出发点 (3)建系的基本思想是寻我其中的线线垂直关系，在没有现咸的垂直 关系时要通过其他已如条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合 理的位置建立空问直角坐标系， 黑题 应用提优 1.ACD解析：因为a,b分别是直线1,2的方向向量，且cos(a,b》= -子，记直线h,h所成的角为0，则cos0=1cos(a,b)1=子，故A正 确：因为a,b分别是直线1的方向向量与平面x的法向量，且cos(a, 。)=-,设直线1与平面a所成的角为p,则有血p=1m(a, 1=4,放B错误，D正确：因为a,b分别是平面a,B的法向量， 1 且o(a,b)=-年，设平面，B所成的角为(，则8不大于 90,m=lm(a,61=,故C正确放选ACD 2.C解析：建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2,则A(0,0,0), P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),B(2,0,0).因为F,E分别为PC CD的中点，所以F(1,1,1),E(1,2,0),所以B=(-1,1,1),P克= (1,2,-2),A市=(2,0,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,),则 (n·A=2左=0. a,B=-x+y+=0, 设y=1,则=-1，x=0,所以平而ABF的法向量 为=(0，L,-1).设直线PE与平面ABF所成角为0，im0=1co(P吃 Pi·l 10+2+21 n)1= 425故选C Pi11m+4+4.√0+1+3w3 四方法总结 (1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①通过直线的方向 向量来求，即分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量，转 化为求两个方向向量的夹角（成其补角）：②通过平圈的法向量来求。 即求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是 直线和平面所成的角： (2)若直线1与平面α的夹角为0，直线1的方向向量1与平面《的法 肉量n的夫角为B,尉0=号-B成0=B-受，故有m0=1cmsB1= 1l·n 1I1a1 3.ABD解析：选项A:连接AC交AC,于F,连 接DF,由题意可知F为AC的中点，又D为 BC的中点，故A,B∥DF又A,Bt平面ADC:: DFC平面ADC1,故AB∥平面ADC,,故A正 确：选项B:由题意△ABC为等边三角形，D为 BC的中点，故AD⊥BC又棱柱ABC-A,B,C,为 直三棱柱，所以AD⊥BB1,又BC∩BB1=B, 选择性必修第一册·RJA BCC平而BCC,B,BB1C平面BCC,B1,故AD⊥平面BCC,B1.又 C,DC平面BCC,B1,故AD⊥C,D,故B正确：选项C:如图建立空间 直角室标系，D0.00叭，c0-10.E(01,号）因为0=2x 5,所以4a0所d-(-1o.成-(o1受）月 设异面直线AC与DE所成角为a,则cmsa=1cs(A花，Di)I三 1-11 ,故C错误：选项D:由题意 6 易得平面ABC的一个法向量为=(0,0,1)，C(0,-1,2),D= (5,0,0),DC=(0,-1,2),设平面ADC,的法向量为j=(x,,), 则形成0， n3x=0, U·DC=0,-1×y+2=0, 设y=√2，则*=0，=1，故j=(0, 2,1).设平面ADC,与平面ABC的夹角为B,则ceB=1c0s(J》1= 1 1×√(2)+12 mB=血A反，放D正确，故选ABD. cos B 解析：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0, 4.2 0),B1(2,0,2),D1(0,2,2).C(2,2,2),D(0,4,0),P(1,3,1),所以 D1产=(1,1，-1)，4B=(2,0,2),AD=(0,2,2).设平面AB1D1的法 向量为a=(,,则·=2+2=0， 则平面AB,D1的一个法 (n·AD=2y+2z=0, 向量n=(1,1,-1),所以D,市∥m,即直线D,P1平面AB1D,所以直 线DP与平面仙，D所成角的大小为受故答案为子 四方法总结 (1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个单平面所在 平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. (2)利用向量法求二面角的大小的关篾是确定平面的法向量，求法向 量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与 平面内两个不共线向量的戴量积为零，列方程组求解。 5.[名号]解折：如图，以D为坐标原点。 建立空间直角坐标系，设DM=2,则B(2,2, 0).C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,0),A1(2 0,2).设C=tCM=(2,-2,2)(0≤t≤1)， D.. 则B=Bt+Ci=(2-2,-24,2),则c0s8= lcos(BM,EF)1= 2 2×V(24-2)+8 (0≤1≤1.当：=时，m0取到最大值 此时0=石当=1时，m0取到最小值子，此时0=号所以0的取 值范围为[石？]故答案为[？，号]】 黑白题14 四方法总结 (1)求异面直线所成角的思路： ①选好基底或建立空问直角坐标系： ②求出两直线的方向向量1,2： 11·2 ③入公式1》1-，来标 (2)两异面直线所成角的关注点： 两异面直线所成角的范国是（小，受]，丙肉量的夹角的范国是[0。 π]，当异面直线的方南向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直损 的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直 线的夹角。 6.(1)证明：由题意得，以A为坐标原点，以A方，A花，A4的方向分别为x, y,:轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设AB=2,则B(2,0, 0),M(0,2,1),A1(0,0,4),C(0,2,0),所以BM=(-2,2,1),At= (0,2,-4),所以BM·A1=2×2-4=0,所以BM1A1C (2)解：由(1)得A=(2,0,0),Ai=(0,2,1),BA=(-2,0,4).设平 n·AB=0, 面ABM的一个法向量为n=(x,少，)，则 即2=0，取 m·i=0.l2yz=0, n=(0,1,-2),设直线BM,与平面ABM所成的角为9，则in9= Icos(BA)1= In·BMi 8 4 1al·1BA15·20 5,所以直线A,与平 面创所成角的正孩值为号 7.(1)证明：在三棱台ABC-ABC1中，A1A⊥平 面ABC,AB⊥AC,显然直线AB,AC,AA1两两垂 直，以点A为原点，直线AB,AC,AM1分别为x, y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系.由 AB=AC=41=2,A,C1=1,得A(0,0,0),B(2,0, 0),C(0,2,0),B1(1,0,2),C1(0,1,2),由M,N 分别是BC,BA的中点，得M(1,1,0),N(1,0, 0).则B,店=(1.0，-2).CM=(1,0,-2),所以81店∥C立因为点 C直线BB,所以BB∥C,M.又BBd平面CMA,CMC平面 C,MA,所以B,B∥平面C,MA (2)解：由(1)知，A=(1,1,0),CM=(1,0,-2),Ni=(0,1,0),设 平面G,的法向量m=(e6,e,则m·矿a6=0, 气m.C=a-2c=0, e=l, 得m=(2,-2,1).设平面C,MN的法向量n=(x,y,x),则 m·N=y=0, 令z=1,得n=(2,0,1).设二面角A-C,M-N的 m·C,M=x-2-=0. 大小为0，则1os01=1es(m,n1=m:-5=5 1m1a3xw5子，所以二面 角ACM-N的正弦值m0=V-cs0= 3 8.(1)证明：因为底面ABCD为矩形.所以CD⊥AD,又因为侧面PAD⊥ 底面ABCD,侧面PADn底面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥ 平面PAD,面AMC平面PAD,所以CD⊥AM.又侧面PAD为正三角 形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.又PD∩CD=D,PD,CDC平面 PCD,所以AM⊥平面PCD (2)解：取AD中点O,连接PO,则PO⊥AD,又因为侧面PAD⊥底 而ABCD,侧而PAD∩底面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平 参考答案 面ABCD,以O为原点，过0平行于AB的直线为x轴，OD,OP所在直 线分别为y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,AD=2. 0.则8a-1.0),P0,040-1.0),D01.0.07 会)，所以产：(，1)，平面ABCD的-个法向量是=(0.0， ).因为PB与平面A8CD所成角的正弦值为.所以1cm(励，1： B酥. 3 市云号=4，解得a=2(负值已会去)，所以成=(-2， 1,5).又因为i=（0, 33 2·2 ,所以cs(成，动= .亦 IAMIIBPI 3.3 0+ 226 3x/8 4 所以直线仙与直线PB所成角的余弦值为 9.(1)证明：以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),E(0,0,1),F1,1,1),t=(0,1,-1),D=(1,0,0). D亦=(1,1,1)，则 E武.Di=0, .EC⊥DF,EC⊥DA..DAO E元.Df-1-1=0, DF=D,DA,DFC平面ADF,.EC⊥平面ADF (2)解：存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点.理由如下：设 E=AEt(0<A<1),则点G的坐标为(0，A,1-A),Dd=(0,A,1-A). 设平面GD的法向量为=(m,A,则：·正11-A)=0,今 n.DB=m+n=0, n=1-A,则m=A-1,=-A,则n=(A-1,1-A,-A)平面GBD与平 面ADF的夹角为45，且平面ADF的法向量为E元=(0,1，-1)， 4cos450=ln·Ei 1 m1E戒迈.√+2(1-厅=20<A<,A= 1 一G为线段EC上靠近点E的三等分点 压轴挑战 B解析：如图，取BD中点O,连接AO,CO,则CO⊥BD,AO⊥BD,AB= BD=DA=4,BC=CD=22,则C0=2,A0=23,于是∠AOC是二面角A- BD-C的平面角，显然BD1平面AOC,在平面A0C内过点0作O:⊥ OC,则BD⊥Oz,直线OC,OD,Oz两两垂直，以0为原点，直线OC,OD, 0:分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，则B(0,-2,0),C(2,0,0), D0,2.0).设=面角A-D-C的大小为8,9后[后，号]，因此 A(23cos0,0,25im0),B=(23cs0,2,25sim8),Ci=(-2,2,0). 于是csa=1es(威，动1=回.c动_4-45oms01,1-5cos0l 1B1Ci14×22 22 显然c0s0e 「131 ,则当cos0=时，(ea)a=。,所以csa 2 的最大值为二故选R 黑白题15