1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空问向量研究距离 白题 基础过关 很时：40min 题组1点到直线的距离 (1)证明：直线EF∥平面ABP; 1.(2025·湖北黄冈高二月考)已知点A(1,0, (2)求点P到平面ADF的距离， 0),B(1,0,2),C(1,1,1),则点A到直线BC 的距离是 ( A.1 B.√2 C.22 D.4 2.(2025·四川宜宾高二月考)如图，在棱长为2 的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M为棱CC, 的中点，则点B到直线AM的距离为() A.√2 B.√5 C.2 D.5 题组3直线到平面与平面到平面的距离 6.(2025·山东济宁高二期中)在棱长为1的正 方体ABCD-A1B,C1D1中，E,F分别是BC,CD 的中点，则直线BD到平面EFD,B,的距离为 ( ) (第2题) (第3题) A.3 6 c D 题组2点到平面的距离 7.（2025·浙江杭州高二月考)正方体 3.(2025·河北承德高二期中)如图，在长方 ABCD-A,B,C,D1的棱长为1，则平面AB,D 体ABCD-AB,CD1中，AD=AA1=1,AB=2,点 与平面BDC,的距离为 ) E是棱AB的中点，则点E到平面ACD,的距 A.2 B.3 离为 ( 3 c D.I 8.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边 6 长为2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA= 4.在四棱锥S-ABCD中，AB=(-2,2,0),AD= 2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点，求直 (-2,-4,2),AS=(1,1,0),则该四棱锥的高为 线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面 ( OCD的距离. B.2页 11 D.2 5.(2025·吉林省实验中学高二月考)如图所 示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形， PB⊥底面ABCD,AB=BC=3,BP=3,CF= p.0s=时t 第一章黑白题017 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·四川成都高二月考)在长方体5.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E ABCD-A,B,C,D1中，AA1=2AB=2AD=4,E 为线段DD,上靠近点D的三等分点，F为线 为AB的中点，P为D,E的中点，则点P到直 段BB,上靠近点B的三等分点，则直线FC 线CC,的距离为 ( 到平面AB,E的距离为 号 6.（2025·广东深圳高二月考)已知三棱柱 C.5 D.3 2 ABC-AB,C1的所有棱长都为2，∠AAC 2.（2025·河北唐山高二期中)已知四棱锥 60°，且平面A,ACC1⊥平面ABC,点P,Q分别 P-ABCD,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为 是AB,A1C1的中点 矩形，PA=AB=4,AD=2,E,F,G分别为棱 (1)求证：PQ∥平面BCC,B1; PA,AB,PD的中点，则点G到平面CEF的距 (2)求点B,到平面A,PQ的距离， 离为 号 C.3 9 D. 3 3.(2025·辽宁沈阳高二月考)如图， 在正四棱柱ABCD-AB,C,D,中 AA,=2AB=2,点E,F分别是线 段AC,和BD上的动点，则点E,F 间的最小距离为 ( B.1 c D.6 6 4.(多选)(2025·广东广州高二月考)已 知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为1，E, 0分别是A,B1,A,C,的中点，点P在正方体 内部且满足正=硒+D+子，则下列 压轴挑战 4 说法正确的是 (2025·浙江温州高二期中)在空间 直角坐标系0x中，经过点P(, A点A到直线E的距离是 yo,0)且方向向量为n=(X,Y,Z)(XY2≠0)的 B.点0到平面ABC,D,的距离为 直线方程为XY =0=0,已知空间中一条 C.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为 直线1的方程为-1=4-y=则点44,3， 3 3)到直线1的距离为 5 D.点P到直线AB的距离为 6 进阶突城拔高练P0网 选择性必修第一册·RJA黑白题018坐标系知图②.因为C4=CB=M=1.所以B(01.0),0(0.0, 1),A(1.0.2),A(1.0.0).则BM=(1.-1.2).A0=(-1.0.-1) 店=(-1,1.0)，又B=AB(0≤A≤1)则币=(A,-A.2A).所以 .=0. A=+B=(A-1.1-A,2A).又AP⊥平面A,B0,则 币.Ad-0. 则时2以0特得A号 压轴桃战 3205 解析：如图，以DA,DC,DD所在直线 41 为xy,:轴建立空间直角坐标系.则A(2,0 0).B(2,1.0).C(0,1.0).D(0.0,0),A(2.0. 3),B1(2.1.3).G1(0.1.3),D(0.0.3).可得 d=(-2,1,0),=(0,0,3),AB=(0,L, -3).B,C=(-20.-3).A1B=(0.1.0).设平 面A,4CC,的一个法向量为n=(x,,),则 …4花=-2+y=0取=1，则y=2=0.即 (n·A41=3:=0, n=(1.2.0).设47=Ai=(0,A,-3).B=4B,=(-24,0,-3). 则M=+A,B+B,=(-24,1-A,3A-3),因为直线MN∥平 面A1ACC1,则上m,可得示·=-24+2-2A=0,解得红=1-A,则 M=(2A-2,1-A,6M-3),可得1M2=(2A-2)2+(1-A)2+(6M-3)2= 4-4a14(-）厂行≥行当且仅当A .23 18 4=4时 取得最小锁”即W的长度的最小值为放答类 41 为325 41 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基础过关 1.B解桥：由题意，成-=0元-0成=(1,1,1)-(1,0,2)=(0,1，-1)，所以与成 问方向的单位向量e=(0,2,2 22 又=(0.0.-2).所以点A到直 线c的距离4=V-dF=√+[-2x()门 √2故选B 2.C解析：以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,,:轴，建立 如图所示的空间直角坐标系.则B(2.2,0),A(2.0.2),M(0.2,1), A,=(-2.2,-1).所以与A,同方向的单位向量u= ( ,所以点B到直线A,M的距离为√，B-(A,B·)2= 04+o2.-2(号)订-(÷号) 2.故选C (第2题) (第3题) 3.C解析：如图，以D为坐标原点，以Di.D元DD的方向分别为x轴 选择性必修第一册·RJA y轴：轴正方向建立空间直角坐标系，则D,(0,0,1),E(1,1,0), A1.0,0).C(0,2.0).从而D12=(1,1,-1),A元=(-1,2,0)，AD= (-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a.b.e),则 ·花=0.即 m.AD=0. 厂+2动=0得0=2功令a=2,则m=(2,1,2),所以点E到平 -ate=0, (a=e, l2412子散选C 面ACD的距离为nl 3 4.B 解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,:),则 仁会2聚1看=.因酸 (n.Ai=0. S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为 I 2故选B 11 5.(1)证明：由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所 示空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(3,0,0).C(0,3,0),D(3,3,0), P0.0,3)面CP=号CP,得=号本F02.).同理B3.2 0),…E京=(-3,0,1)，显然平面AB即的一个法向量为n=(0,1.0), 显然E,n=0且EF文平面ABP,故EF∥平面ABP (2)解：设平面4DF的一个法向量为n,=(xy,),且币=(0,3,0)， D亦=(-3，-1,1)，由 1n,3=0. D亦⊥m, 取x=1,则y=02= -3x-y+:=0. 3m,=(1.0.3)为平面ADF的一个法向量.又币=(-3.0,3)点 P到平面ADF的距离d= 币，m,13而 5 (第5题) (第6题) 6.D解析：如图.建立室间直角坐标系，则D(0.0.0),B(1.1.0).C(0 1.0,s(分1.0F(00a(11.n(0.0).所以 成=（分00）a0=(-1-10).瓜=（号0，-小设平面 n·B,D=-x-y=0. EFDB,的法向量为n=(x,y,),则 :02.g 令=1， 则n=(-2.2,1).因为BD∥B1D1,BD￠平面EFD1B1,BD,C平面 EFD,B1,所以BD∥平面EFD,B1.所以直线BD到平面EFD,B,的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线BD到平面EFD,B,的 2·n -×(-2) 2 距离d= 1=-2)2+2+1 7,D解析：由正方体的性质可得AB,∥ DC1,D1B1∥IDB,AB∩DB=B1,DC1∩ DB=D,且AB,C平面AB,D,D,B,C平 面AB,D1,DC,C平面DC1,DBC平面 BDC,所以平面AB,D,∥平面BDC,则 两平面创的距离可转化为点B到平 面ABD1的距离.以D为坐标原点.DA. 黑白题10 DC,DD,所在的直线分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，如图所 示.因为正方体的棱长为1.所以A(1,0,0).B(1,1,0),A,(1,0.1), C(0.1.0),B(1.1,1).D1(0,0,1).所以C=(1,-1,1).=(0 -1.0),AB=(0,1,1),B,D=(-1,-1,0).连接A1C.由C4·AB= (1.-1,1)·(0,1,1)=1x0+(-1)×1+1×1=0,C,·B,D=(1,-1. 1)·(-L,-1.0)=1x(-1)+(-1)×(-1)+1×0=0,所以C1AB- CA,⊥AB,CA⊥B,D→CA1⊥B,D1,且AB,nB,D1=B,.AB1, B,D,C平面AB,D1,所以CA1⊥平面AB,D,得平面AB,D,的一个法 向量为可==(1，~1,1)，则两平面间的距离4=·n。 Inl 0×1+(-1)×(-1)+0x11√3 √+(-1)41产 “子故选D 四方法总结 本题主要考查了空同向量在求解距离中的应用，利用空间向量求解 点到平面的距离的步骤调常为：①求平面的法向量：②求斜线段对应 的向登在法向量上的授影的绝对值，即为点到平面的距离，空何中其 他距离问题一般花可转化为点到平面的距离求解 8.解：因为M.R分别为AO.AD的中点，所 以R∥OD.因为在正方形ABCD中，N,R 分别为BC,AD的中点，所以NR∥CD 又MRO NR=R.ODnCD=D.所以平面 MNR∥平面OCD.因为NC平面MNR 所以MN∥平面OCD,所以直线MN与平 面OCD的距离、平面NR与平面OCD B 的距离都等于点N到平面OCD的距离 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则0(0,0,2)， C(22.0),D(0.2.0),N(2.1.0).所以d=(0.1.0),07=(0,2.-2). C=(-2,0.0).设平面0CD.的法向量为n=(x,y,z）,则 n·0i=2y-2=0 令z=1,得n=(0.1,1)为平面0CD的一个法向 (n,Ci=-2x=0. 量，所以点N到平面OCm的距离-.m,2所以直线MN与平 n 2 面00D的距离，平面MNR与平面0CD的距离都等于号 黑题 应用提优 1.D解析：如图.建立空间直角坐标系，则P1, B 2）.G0.2d.602.0.所以-(1. 2）G-(0.0,-4.设点P到直线cG的 距离为h,则h=1PC√1-eos2(PG.C,C)= G证四年放选n 2.B解析：依题意，如图建立空间直角坐标 系，则E(0,0,2).F(0.2.0).C(2,4.0) G(1.0.2),所以E7=(0.2,-2).E=(1.0 0),F元=(2,2,0).设平面CEF的法向量为 n=(,,),所以 n·E㎡a2y-2k=0. 取n= n…F元=2x+2y=0, 《4,1,),所以点G到平面CBF的距离：”-放 选B. 参考答案 3.C解析：因为点E,F分别是线段AC,和BD 上的动点，所以E,F间最小距离即为异面直 线AC,与D间的距离.建立室间直角坐标系 如图所示.则D(0.0.0),B(1.1,0).A(1,0, 0),G(0,1,2).则i=(1,1,0),AC=(-1, 1.2),A=(0,1.0).设与异面直线C,BD都 垂直的向量为n=(x,上：)，则 n·Di=x+y=0. 。解得取x=1, (n·AC=-x++2z=0. (x=-y, 则y=-1=1,所以n=(1,-1,1),则异面直线AC,与BD间的距离 为”方停脚收公F用粉量不距离为号益C 4.BC解析：如图，建立空间直角坐标系，连接BE,AB,BP,BD,CD,, B,G,则A(0,0.0),B(1,0.0),D(0,1,0),A(0.0,1).C(1,1,1) n(0.1.(分0.1)o(分1）所以武=(-1,0.0. 成-（子0,1）设乙E=,附m0=厨行 i1证5m0= 个m025枚点A到直线E的距离山=血=1×2 5 25放A错误G不-（片0小平面c。,的 个法向量D=(0.-1,1),则点0到平面ABC,D1的距离4= 1 m·G_乏_5放B正确4i=(1,0,-d市=(0,1.- IDA 4 AD=(01,0).设平面A4BD的法向量为n=(,y,:),则 店0，即8令1得11，所以n=11.).所 以点D,到平面ABD的距离山n一“万3D元(1. 0,-1)=A,B,所以D,C∥AB,连接AD,B,D,又因为D,C4平 面A,BD,ABC平面A,BD,所以D,C∥平面A,BD,同理B,C∥平 面A,BD,所以平面A,BD∥平面B,CD,,所以平面A,BD与平面 B,CD,间的距离等于点D,到平面A,BD的距离，所以平面A,BD与 平面房GC山间的距离为停故C正确因为正：访：号市 子所忧 312 423 又应=(1,0,0).则 亦.市3 所以点P到直线AB的距离d= 81g.5,故D错误，故选BC V144166 5.32 解析：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接 11 EF.则A(3,0.0),E(0,0,2).F(3,3,1,C(0,3,3).B,(3.3,3),所 以4正=(-3,0,2).FC=(-3.0,2).所以A2=FC,而A5C平面 AB,E,FC,平面AB,E,故FC,∥平面AB,E,所以直线FC,到平 黑白题11 面AB,E的距离即为点F到平面AB,E的距 离.又AB=(0,3,3),设平面AB,E的法向量 为n三(x,y,:),则 (m·正=0. 即 n·B=0, 3+2=0取：=3，则n=(2.-3,3).易得 (3y+3:=0 序(33，-)，放点F到平面B,B的距离4n·。6 22 3俨做答案为 6.(1)证明：如图，取A,B,的中点M,连接MQ,MP在△A,B,C 中，A,Q=QC1,A,M=MB,QM∥B,G,在四边形MPBB,中，MB,= PB且B,∥PB,四边形PBB,是平行四边形，MP∥BB BB,nB,C,=B,BB,C平面BCC,B,B,CC平面BCC,B 又.MPnQ=M,MPC平而MQP,MQC平面MQP,平面QP∥ 平面BCC1B1.又，PQC平面MQP,∴.PQ平面BCCB, (2)解：如图，取AC的中点0，连接A,0.B0, △ABC为等边三角形，，BO上AC 平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC,A1∩平 面ABC=AC,B0⊥平面ACC,A1,B0⊥A,0, 在△A,0A中，∠AA0=60.A1A=20A=1.易 得AC⊥A0,以0为原点.OA.OB.OA所在直 线分别为x,y,轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,5),A(1,0. o.80.0.《-1o.or合2oo-1a 丽=风B(-155…-(-10.o.(分 -34B=(-1,3,0),设平面A,PQ的法向量为n=(x,,), n·40=-=0. 取y=2.则n=(0.2,1),点B1到 平面A0的距离n·4回.2525 55 压轴桃战 后解折：由题意，直线1为只号，经过点P1,42),且a (1,-1,2)为一个方向向量，所以4币=(-3,1，-1)，故点A到直线1的距 离d- (A正·n下 -(e =√5.故答案为5. 第2课时用空间向量研究夹角 白题 基础过关 1.C解析：因为两条异面直线的方向向量分别是“=(3，【，-2)，= (3,2,1),所以u·甲=3×3+1×2+(-2)×1=9,141= /3+1+(-2)2=√14,1川=√/32+2+1=14.因为两条异面直 线所度的角为0e(0.]所以om0ma1-沿号 Iullvl 14 所以sin0= 5故选C. 14 2,B解析：由题意建立如图空间直角坐标系，可得 A(0.0.0),B(1,0,1).A(0,0,1),C(0,1,0),则 AB=(1,0,1),A1C=(0,1,-1),所以m(AB,B A心=1-因为两条异面直线所成角的 2x22 范围为(0，受】 ,所以异面直线AB,与A,C所成 选择性必修第一册·RJA 角的余弦值为了放迹B 3.C解析：如图，设上底面圆心为01，下底面圆心 为0，连接00,0C,0B,0C,0B:,由底面扇 环所对的圆心角为Σ，而的长度是屁长度的 2倍.CD=1,可知0C=1.以0为原点.分别以 OC.0B,001所在直线为x轴，y轴、：轴建立室 间直角坐标系，则C(1,0,4),A(0,2,0).B(0.1 0).D,(2,0,4).A(0,2,4),则AD=(2,-2,0).BC=(1,-1,4),所 以cos(A,D.BC)= A,D·BG 2+2 AD1G√4+4×T+1+16 3又异而 直线所政角的范图为(0，号]，放异面直线4山，与肥，所成角 4.A解析：设直线AB与平面a所成的角为a,则in8=1c%(, n)1= A店·。1 a2方2又因为e1 [0号]所以0=故 选A 5.B解析：如图所示，建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1，则A,(1.0,1).B(1.10). D(0,0,1),C(0,1.1),所以B,=(0,-1.A 1).BC=(-1.0,1),BD=(-1,-1.1).设平 面BC,D,的一个法向量为n=(x,y,),直 线A,B与平面BC,D,所成的角为：a∈ '令x=1,则y=0,a=1,即n= n·网1 (1.0,1),所以ina=1eow(n,BA)1= 1·m2x22所 以a=可故选B 6 65m 11 解析：依题意可得|s(程，d)【= 13al 50+1 1301 6解科a支a(会*)故答案为 7.(1)证明：由题意得C,B,∥A,D1,C,B,文平面ADD,A,A,D,C平 而ADDA1,所以C,B1∥平面ADD,A+又因为G,B,C平面B,CEF, 平面B,C,EFn平面AD,A:=EF,所以C,B,∥EF,所以EF∥A,D, (2)解：因为BB1⊥平面A,B,C,D1,AB,⊥A,D1,AD,∥C,B1,可 得AB,⊥CB1,故以点B,为坐标原点，分别以A1B,C,B,BB:所 在直线为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B,(0,0,0), C(0,4,0),E(2,2,1),B(0,0,2),所以B,C=(0,4,0),B1E= (2,2,1).BC▣(0.4.-2).设平面B,C,EF的法向量为m=(x B,C·n=4y=0. y,,则 故可取n=(1,0,-√2).设直线C, B,E,n=2x+2y+:=0, 与平面B,C,EF所成的角为0，则sin0=1cs(BC,n〉1= G·m25x万6，故直线C,与平商B,GF所成的角 1C,·n22.30 的正孩值为 黑白题12