1.1.2 空间向量的数量积运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

正文参考答案 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 通过平移从而共面，故错误；对C:若A,B,C,D四点不共面，则A店， 1.1.1空间向量及其线性运算 C可以进过平移从面共面，故错误：对D:若A,B,C,D四点不共面， 则市，花，市可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确故 白题 基础过关 选D. 1.A解析：选项A:因为空间向量店与互为相反向量，所以空间向 11.C解析：对于A,由于O=O-Oi-0心不满足右边式子的系数和为 量与的长度相等，所以A正确：选项B:将空间中所有的单位向 量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B带误； 1,所以四点不一定共面，故A错误：对于B,由于成=成： 选项C:空间非零向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间非 零向量不是有向线段，所以C错误；选项D:两个空间向量不相等，它 号成+成，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共 们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB与B的模相等，所以D错 面，故B错误：对于C,由+M+M心=0可得=-M-M心，根据 误故选A 向量共面定理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正 2.BD解析：对于A:零向量的方向是任意的，A错误：对于B:空间向 确：对于D,由O成+0+成+0t=0可得0成=-O-0-0成，不满足 量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确：对于C,D:模 右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故D错误故选C 相等且方向相同的两个向量为相等向量（即同一向量），所以C中向 12.B解析：由ai=2xi+3yCi+4zDd,得Oi=-2x0i-3y0t 量的长度可以相等，只要方向不同即为不同向量，C错误；D符合定 4:Oi,而0是空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共 义，正确.故选BD. 线，但四点共面，因此-2x+(-3y)+(-4:)=1,即2x+3y+4g=-1,所 3.B解析：在四棱柱ABCD-AB1C,D,中，BD=+BC+成，=-+ 以4x+6y+8x=-2.放选B. 市+风=-a+b+c,故选B. 132 解析：A店=2e1-e2,B成=3e,+3e2,Ci=e,+ke2,A花=A+ 4.C解析：在空间四边形ABCD中，对于A,A花+C=币≠A店，A错误： 对于B,A花+BC≠A成，B错误：对于C,D元+C成-Di=D市-D=A,C正 B戒=5e1+2e2又A,C,D三点共线，花∥C成.：e1,e2不共线， 确：对于D,A花+d-B成=A花+C=Ai≠店，D错误故选C 花=5成2-5=0=子放答案为号 5.解：(1)，F-EB+F+市+F,=市+克+（店+B)+(市+ 14.证明：连接AM并延长，交BC于点H.:M是△ABC的重心，I为 D=A正+AB+0=A正+ED=AD,AD在图中表示略. BG的中点六动子(+衣)矿子子（店+） (2)DE+EF+FD+BBA E-DE4ER4FD4(BB+BD)DF+FD+ BD=0+BD=D或成+E,F+i+那+1E=D成++Fi+(A+ }(成-成+（成-a1=号i*号成-号d成.成 A1E)=0+AE=AEBD或AE在图中表示略. =}(o+i+0d.又：0成=0成++证=0i+0i+0成0m 8.C解折：M,G分别是BC,CD的中点号成=成，励 O成点M在直线0E上 3 成+成+动=威成-成成-花故选c 1.1.2空间向量的数量积运算 2 7.D解析：点M,N分别为线段AB,OC的中点，则=M+Ad+O成= 白题 基础过关 成-成+成(d--成号成-耐号成 1,D解析：根据空间向量数量积的运算律可知a·b=b·a,(a+ 2 b)·c=a·c+b·c,(Aa)·b=A(a·b)均成立，即A,B,C正确： 成子eb),放选D (a·b)e为与c共线的向量，a(b·c为与a共线的向量，所以(a: b)c与a(b·c)不一定相等，故D错误故选D. 8.A解析：因为在平行六面体ABCD-A1B,CD1中，M为AC和BD的2.AC解析：由题意易知在空间四边形ABCD中，A应，C夹角为60°，所 交点，又=a,市=b,不=c,所以丽=+丽=2+不- 以2A店.A花=2×1A1×A花1cos60°=a2,故A正确：Ai,Di夹角为 120°，所以2Ai.D成=2×1Ai1×1D1c0s120°=-a2,故B错误；因为 子(-动+网号市号网宁e放选入 点P,G分别是A0,Dc的中点，所以PG∥AC且=之d1,所 四方法总结 A花，Fi夹角为0°，所以2F戒.A花=2x1F戒1×1A花1cos0°=a2,故C正 用已知向量表示指定向量的方法： 确：因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD且1E亦1= (1)结合已知向量和所求向量观察图形。 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 号励1，所以武，成夹角为120，所以2市.成2×11× (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示 出来 0cm120:放D结误放选AC 9.ABC解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误：B在 空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误：C.在平面内 3. 1 特桥ab:宁故一a治日做答案为分 共线的向量在空间一定共线，故错误：D.在空间共线的向量，平移到 解析：由于PA⊥底面ABCD,AD,ABC平面ABCD,所以 同平面内一定共线，故正确.故选ABC. 10.D解析：对A:若非零向量4，b平行，则a,b所在直线可能平行，也 PA⊥AB,PA⊥AD,而底面ABCD是矩形，所以AB⊥D,P元=A市-A市 可能重合，若其中一个向量为零向量，则a,b所在直线位置关系不 确定，故错误：对B:若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b可以 成=√而=v16*4=25,成（成+成）=（市 参考答案黑白题01 动，所以成=子-=子4+4+6=6，市. P武.花-P元.B配=(-P元)·B武+P元.花=C.武+P戒.t 花，C成+P元，花=花.(C凉+P心=A花.市=0，故C正确：对于D: 成：子（市-动·（心-动=子×(16-4）=6所以市与破的 成-m之(i戒成之（+成-m 光余温值6后原散著案 10 之成成-， 5.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= 又Pi+P戒-p刘 aila.lb1ea1-amab=0房议ma-受又 =√+PB2+P元-2P.Pi-2P.P元+2P市.P元 0°≤(a,b)≤180°，所以(a,b〉=45.放选D. 6.A解：由题意可知C=0市-O元，而CB⊥0A,故C市1O,C. -V0d24a2-2a…ax2aax22a…axia, 0i=0,即(0i-0t).0=0,所以0i.0i-0t.0=0,则1×2× 六1-受，放D错误故选C m号-2101·m号=0，解得0=1，即0C=1,放选 5.BC解析：由于单位向量P,P,P元两两夹角均为60°，所以可， 1.(a)解动r亦亦，成=配+C动= 成成.元-元，市1x1Ko60=子假设P,AB,G四点可以 破：店市=0，.0，动=0在亦（国 共面，则p,P,P式共面，所以存在x,y使得P=xP+yP元，分别用 }）·()=d-md号 22 1 (2)证明：丽-励丽=办-本+公，成：丽0：(+ 可，成，元与可序y成点桑则行宁，由于该方程组无 11 d),BD·E成=0，.D⊥E成 22y 8.D解析：因为A花，=+武+CC=店+市+，所以AC2= 解，所以不存在x,y,使得P,P市，P元共面，故P,A,B,C四点不共面， (a++2=A+市++2A店.市+2A店.A+2A市. 做A错误：对于B,P,(B武+A花)=P成·(P元-P+P元-P)=P, ,=11+942x0+2x1x3x+2x1×3x=17.即1aC=vT,故 （2心-成-=1子1子放B正确：对于C,由成-2成 选D. 9.5解析：la+b-2c1=√(a+b-2c)= 成成.由威武：2成得元-市2序-2成市.心： 2,所以 √a2+b2+4c2+2a·b-4a·e-4b·c= 床亦成.成可则1.成.√成 √1a2+b+41c+2lal·tb1ems60-4al·leloo60°-41b1·lccs60 2 2 =√+14+2x1x1x4x1x1x4x1x1x=区.故答案为. }尿4脉42武成-2元-2。 10反解桥：成.武+：成(4)-耐+宁（成 小可：经，放c正确：对于D,正=市-成。 成+（成-1=-d成+i+成=a+ 成市.市.成市2成花1“号 2 2 }心+2x()）×成.*2x(）x耐 2 号放=矿.耐)<0，故D错误故选C 成2x宁兮耐：成-2成5.博F间的距嘴为 6.（-1-5,-1+万)解析：由题意知a+Ab):(Aa-2)<0, 黑题 应用提优 lcos(a+Ab,Aa-2b)≠-1， 1.D解析：由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2P+4P 0:沙0iwu-215ac1w5 mP元，则-2+4+(-m)=1,所以实数m的值为1.故选D 7武解折：PA1平面A8CPA1BC武.成=（减+ 2C解析：因为M为C的中点，所以=(+衣)，可得： 成)·配=成.配.成成成=06x6x6=4向量 市=子（衣·市=破.动+花.动=0，所以1动。 即AM LAD,.可得△AMD是直角三角形.故选C 是受文过等为 3.B解桥：成=之（瓜+成）成.市=威.动+成 成 市-0宁×44as子=4故选B 8.90°解析：在长方体ABCD-A1B1C,D1中，P为C,D1的中点，M为 4C解桥：对于A动：号花号应3市-花2应2市 BC的中点，且AB⊥AD,AB上M1,AD⊥AM1,则=A店+B=A+ 2存=A花-市，2励=D成.3励=励+D成，即B戒=3励，故A错 }动，成亦+号办-（网=+号市-（风 误；对于B:若Q为△ABC的重心，则Oi++0心=0,3=3P币+ 4可+0=应+市-（国+市+2应）店2市-瓜， O+0+0心=P+P克+P元，故B正确：对于C:P可，武=0，P元， A=0.P.C+P元，A=P.BC+P元，(At-B)=P.Bt+ 所以丽.成：（脑+市）·（合破-动-不）丽 选择性必修第一册·RUA黑白题02 店，市-市，不市.店市-市.瓜女×4-压轴桃战 1,B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 ×8=0,即1成，则AW与PW所成的角为90.故答案为90 对角线，其长度为√8+8+82=85.设EF中点为 9.2解折：成=0-0成=(O成+0心)-0成2=(o成+ 0,则0市=-0成，且10正1=101=45，则M正。 M亦=(Md+o)·(Mi+O=(Md+oi)·(M市 0成-02=(0+0心+0+20成.0成-20成.0i-20成.0 0=M币12-10i12=1Md12-(43)2=10M12 又由已知得101=101=101=2,010成.0i10成.0成.0元=2× 48.由于点M在正方体表面上运动，故102的最 小值为0点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的 2x2…都=(444+4)=41=2，即BP=2故答 半，为；=4，所以证.的最小值为4华-48=-32赦选B 案为2 2 10.2√3解析：因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 2解桥：设10=成1=10成1=1，则0.0成=成.d 53 内，且都垂直于AB,又二面角a--B的大小为60°，所以(C,= 180-60°=120.因为Ci-=C+A+Bi,所以C市=C+A在+B市+ 0,0成-子，由成=成-成=u(-成，可得成=μ0成+(1 2Cd.A+2Bd.C+2A店.B励=62+42+62+2×0+2×6×6× )成，0亦.P=0亦.(0成-0=币.0成-0=A(0+0, (号）+20=52，所以1动i=2厅，所以cD的长度为2v店.故 成(1到0-（试动-0，化简得号-子-1=00 答案为23. 成.P=B或，(0戒-0亦=u(O成-0)，【μ0成+(1-4)0成- 11,解：(1)设店=a,A=b,A=c,则1al=lc1=2,1b1=4,a·b= be=ta=0,武=(c-a),成.丽-成.（团+i可）=b A:01-0,化商可得-子号 A地=0②，联立①②得 [31 22-3=0， 5 A11 3 解得 故答案为A■ 3 At4=0, (2)脉.瓜=（丽+内·(+）=（c-a+之b)(a 22 c）=c2-a2=22-22=0. 1.2 空间向量基本定理 (3)成.元=（武+）·（元+0G)=[}(不-）+ 白题 基础过关 ](市应)=[e-+](* 1.C解桥：对于A,因为B,D∥励，所以A店，A市，B,D1中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误：对于B,因为在四棱台中， A店∥C,D,所以A店，，C可中三个向量共面，不能作为空间向 2 量的基底，B辑误：对于C,A可∥市，且店，A,A市不共面，所以 }4=2 A,AA,A,D1中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确：对于 12.解：(1)=市=1，d1=4,且店.Ai=0,店.A国=市 D,因为，花.CC三个向量均在平面ACCA1内，所以，A花 d=1×4×cos60°=2.因为AC=店+A市+d,所以AC2= CC不能作为空间向量的基底，D错误故选C (+市+M)2=12+市12+国2+2（店.市+店·+ 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 A币.M)=1+1+16+2×(0+2+2)=26所以AC,=√26. 垂直的一组向量.故选C 3.0解析：{e1,c2,心是空间的一个基底，e1,2,0,为不共面的向 (2)因为亦成-成：(++市）（市++之店） 量.又Ae1tHe2e3=0,A=4=0=0.A2+u2+p2=0. 子-动，成，G子（店-动）·（店+市+瓜） 4.D解析：由E,G分别是CD,BE的中点，则成=成，C成=市， 之(+，市+店.不-店，市--市.) 花-+成+成硒+（成+=+（花-+ Z1+0+2-0-1-2)=0,所以M1C故G与不的夹角余弦值 动)花}-戒动4花故 2 为0. 选D. 13.证明：PA⊥PC,PB⊥PC,PA⊥PB, 5.0解析：在四棱柱ABCD-AB,C,D中，底面ABCD是平行四边形， .Pi.P武=0，.P元=0，P.P市=0，PA1平而PBC :P,武=0.由题意可知，PH⊥平而ABC, 点E为D的中点，所以A店=++成=++励=+ Pi,武=0，Pi,A=0,Pi.花=0. 应2（威动可市，：办，所 丽，成=(Pi-P).成=Pi.戒-P.B成=0 Ai1B就AH1⊥BC 以=-1产子=号，即=0故答案为0 同理可证BH⊥AC,CH⊥AB.H是△ABC的垂心 四方法总结 6.A解析：因为C成=C+正，所以.C应=·(C+)=B耐.d (1)利用向量的数量积可证明线段的垂克关系，也可以通过向量共线 威·应，又威=d1,应=7，（威，》=牙，（威，》= 确定点在线段上的位置， (2)利用夹角公式，可以求异面直钱所成的角，也可以求二面角。 子所威：店-1a子1x宁号子散选人 3 (3)可以通过Ia1=√a,将向量的长度问题转化为向量数量积的何 题求解 7.D解析：如图，以店花，市1为基底，则1应1=A花1=1=6， ∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，所以A店.A花=A店.A市=A元.Ai=6× 参考答案黑白题031.12空间向量的数量积运算 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量数量积的概念及运算 7.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别 1.(2025·河北唐山高二期中)关于空间向量a, 是CD1,DD的中点，正方体的棱长为1. b,c,下列运算错误的是 ( (1)求<C正，A)的余弦值； A.a·b=b·a (2)求证：BD⊥E尿 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.(Aa)·b=A(a·b) D.(a·b)c=a(b·c) 2.(多选)(2025·陕西西安高二月考)已知空间 四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E, F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量 的数量积等于a2的是 A.2AB.AC B.2AD.DB C.2F元.AC D.2 EF CB 题组2空间向量的夹角 3.(2025·山西大同高二期中)已知a,b是空间 两个向量，若1a1=2,1b1=2,a·b=),则 cos(a,b〉= 题组4空间向量的模 4.(2025·广东深圳高二月考)在四棱锥 8.(2025·广东湛江高二期中)如图，在平行六 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底 面体ABCD-A,B,C,D1中，底面是边长为1 面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点， 的正方形，若∠AAB=∠AAD=60°，且AA1= 3,则AC,的长为 () 则PD与BE的夹角余弦值为 题组3空间向量垂直的应用 5.(2025·山东临沂高二期中)已知空间向量a, b,lal=1,lb1=√2，且a-b与a垂直，则a与 b的夹角为 ( A.60 B.30° C.135° D.45° A.3 B.13C.4 D./17 6.如图，三棱锥0-ABC中， 9.(2025·安徽蚌埠高二月考)已知空间向量a, ∠A0B=LB0C=∠AOC= b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则1a+ 30 b-2cl= 0A=20B=2,若CB⊥OA,则 10.在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成 0C= () 60°角，且OA=OB=OC=2,E为OA的中点，F A.1 B.2 C.2 D.3 为BC的中点，则E,F间的距离为 第一章黑白题003 黑题 应用提优 限时：50min 1.(2025·浙江绍兴高二期中)已知动点Q在 2P元，B心=2B示，下列说法中正确的是( △ABC所在平面内运动，若对于空间中任意 A.P,A,B,C四点可以共面 一点P,都有P=-2Pi+4P店+mC,则实数m 的值为 B.Pi.( A.2 B.0 C.-1 D.1 2.(2025·山东潍坊高二期中)A,B,C,D是空间 c-受 不共面的四点，且满足AB·A元=0，A元·AD= 0,AB·AD=0,M为BC的中点，则△AMD是 D.cos(A,c币= 6 ( 6.已知空间向量a,b,1a=2,1b1=1,(a,b〉= A.钝角三角形 B.锐角三角形 60°，则使向量a+入b与入a-2b的夹角为钝角 C.直角三角形 D.不确定 的实数入的取值范围是 3.(2025·江西赣州高二期中)如图，在三棱 7.(2025·河北秦皇岛高二期中)如图，已知PA⊥ 锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则 ∠BCD-点E为4C的中点，则配.而 向量P心在BC上的投影向量等于 (第7题) (第10题) A.8 B.4 C.-8 D.-4 8.(2025·河南洛阳高二月考)在长方体 4.(多选)(2025·山东枣庄高二月考)在四面体 ABCD-A1BCD1中，AB=2,AA1=√3，AD=22, P-ABC中，下列说法正确的是 ( P为C,D,的中点，M为BC的中点，则AM与 A.若而=AC+2花，则BC=2B丽 PM所成的角为 9.在三棱锥0-ABC中，OA⊥OB,OA⊥OC, B.若Q为△ABC的重心，则3P可=PA+ ∠B0C=60°，OA=OB=0C=2,若E为OA的 PB+P元 中点，F为BC的中点，则EF= C.若P.B元=0，P元.AB=0,则A元.PB=0 10.(2025·四川成都高二期中)如图，已知二面 D.若四面体P-ABC的棱长都为a,点M,N分 角a-l-B的大小为60°，A,B两点在棱1上， 别为PA,BC的中点，则1M=分 线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平 5.(多选)(2025·江苏无锡高二月考)已知空间 面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=BD= 单位向量P,P店，P元两两夹角均为60°，PA= 6,则CD的长度为 选择性必修第一册·RJA黑白题004 11.(2025·山东泰安高二月考)如图，在长方13.如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥ 体ABCD-A,B1C,D1中，AB=AA1=2,AD=4, PC,PB⊥PC,PA⊥PB,求证：P在平面ABC E,F分别为AB1,A,D,的中点计算： 上的射影H是△ABC的垂心 (1)B元.ED: (2)B㎡.AB: (3)EF FCT. 12.人教A版教材变式(2025·广东深圳高二期 中)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ∠BM,=∠DM,=,M,=4 (1)求AC1的长； 压轴挑战 (2)若M,N分别为DC1,C,B,的中点，求 AC与M的夹角余弦值. 1.(2025·四川南充高二月考)已知 EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，点M在正方体表面上运动，则ME· MF的最小值为 ( A.-48B.-32 C.-16 D.0 2.已知空间向量0,0成，0元两两夹 角均为，且10i1=10i=10C1 若存在非零实数入，4，使得0示=入(0i+0B), Bd=u(0元-0)，且0币.P=B成·P=0, 则入= μ= 进阶突破拔高练P0 第一章黑白题005