第02讲 对数与对数函数（15大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

第02讲 对数与对数函数 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）……………………………1 02 题型突围 精准提分………………………………………………………………………2 一、对数 题型1 对数式与指数式的互化…………………………………………………………………2 题型2 对数式的运算……………………………………………………………………………4 2、 对数函数的概念 题型3 对数函数的判定与求值…………………………………………………………………7 题型4 与对数函数有关的定义域………………………………………………………………7 二、对数函数的图象 题型5 对数型函数图像过定点…………………………………………………………………9 题型6 判断对数型函数的图象形状 …………………………………………………………10 题型7 对数型函数图像的应用 ………………………………………………………………14 三、对数函数的性质 题型8 对数函数单调性的应用 ………………………………………………………………16 命题点1 比较大小 ……………………………………………………………………………16 命题点2 解简单对数不等式 …………………………………………………………………19 题型9 对数型复合函数的单调性 ……………………………………………………………21 命题点1 求对数型复合函数的单调区间 ……………………………………………………21 命题点2 根据单调性求参数的范围 …………………………………………………………23 题型20 对数型复合函数的最值（值域）……………………………………………………26 命题点1 求对数型复合函数的最值（值域）…………………………………………………26 命题点2 根据最值（值域）求参数的范围 …………………………………………………29 题型11 对数型函数的单调性和值域…………………………………………………………32 题型12 对数型函数的奇偶性…………………………………………………………………35 题型13 对数型函数的奇偶性和单调性的应用………………………………………………38 题型14 对数型函数的对称性…………………………………………………………………42 题型15 含对数函数的分段函数的性质………………………………………………………45 03 限时作业 查漏补缺 ……………………………………………………………………52 04 真题呈现 掌握考情 ……………………………………………………………………57 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 从近几年的高考可以看出，主要以看出对数的运算、对数函数的性质为主，体现在以下方面： 1. 对数式与指数式的互化； 2. 对数函数的单调性； 3. 对数型复合函数的单调性； 4. 对数型函数的奇偶性. 2025年北京卷 对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 2024年全国Ⅰ卷 指数函数、对数函数的单调性 2024年全国甲卷（理） 对数运算性质、换底公式的应用 2024年北京卷 指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小 2024年北京卷 指数式与对数式的互化、比较对数式的大小 2024年全国Ⅱ卷 由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立 2023年全国Ⅰ卷 对数函数模型的应用 2023年全国Ⅱ卷 对数型函数的奇偶性 2023年北京卷 对数型函数的、指数型函数的单调性 2023年北京卷 对数的运算、指数幂的运算 2022年全国Ⅰ卷 比较对数式的大小、比较指数幂的大小 2022年北京卷 对数的运算、根据折线统计图解决实际问题 2021年全国Ⅱ卷 比较对数式的大小 2021年全国甲卷（理） 指数式与对数式的互化 2021年全国乙卷（理） 比较对数式的大小、利用导数证明不等式 题型突围 题型1 对数式与指数式的互化 指点迷津 指数式与对数式的互化的思路 （其中且，） ⑴指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. ⑵对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 例1．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，，，且，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【详解】，故可得，又，则. 故选：D. 例2．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 【相似题1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 【相似题2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 【相似题3】（多选）（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD 【相似题4】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 题型2 对数式的运算 指点迷津 ⑴对数的性质 当，且时：①零和负数没有对数； ②0；③ 1；④；⑤. ⑵ 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1）；（2）； （3）． ⑶ 换底公式 （1）对数的换底公式:且且. （2）换底公式的三个常用推论 ① .②. ③:. 例1．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】原式． 例2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 故选：D. 【相似题1】（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 【相似题2】（2025·安徽·三模）已知，则 . 【答案】 【详解】由题意得，，故. 故答案为: . 【相似题3】（2025高一上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】11 【详解】原式． 【相似题4】（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ． 【答案】2 【详解】设，则，因为，所以. 由或（舍去）. 所以. 故答案为：2 【相似题5】（2025高三·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】 . 【相似题6】（2025高三·全国·专题练习）计算：. 【答案】 【详解】. 题型3 对数函数的判定与求值 指点迷津 判断一个函数是否为对数函数的方法 ⑴系数为；⑵底数为大于且不等于的常数；⑶对数的真数仅有自变量. 例1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】只有与符合对数函数的定义． 例2．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 题型4 与对数函数有关的定义域 指点迷津 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义等价于， 由 ① 得，或；由 ② 得， 故的定义域是． 故答案为：. 例2．（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，符合题意； 由，得， 综上：实数的取值范围是， 故选：B 【相似题1】（24-25高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【相似题2】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为. 故选：B. 【相似题3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立；当时，，解得； 故的取值范围为. 故答案为： 题型5 对数型函数图像过定点 指点迷津 此类题目主要应用. 例1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 【相似题1】（24-25高三上·河南许昌·期中）函数（且）的图像恒过定点 ． 【答案】 【详解】因为函数（且）， 令，此时，则， 所以函数图像恒过定点， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三下·海南·阶段练习）已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 由幂函数的图象过点，得. 故答案为：3 题型6 判断对数型函数的图象形状 指点迷津 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到. 特别地，当底数与的大小关系不确定时应注意分类讨论. 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 例2．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则在上是增函数，在上是减函数； 若，则在上是减函数，在上是增函数， 综上，这两个函数中，一个是增函数，另一个是减函数，故排除A，C，D． 又由于的定义域为，其图象只能在y轴左侧，B正确． 故选：B. 【相似题1】（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 【相似题2】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图象就是的图象在轴上方部分不变， 将轴下方的图象对称的翻折到轴上方，则D选项正确． 故选：D． 【相似题3】（多选）（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确. 故选：AD. 【相似题4】（多选）（24-25高一上·四川达州·期末）函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意，函数的定义域为. ①当时，函数单调递增，且， 又，故A可以，B不可以； ②当时，函数单调递减，且， 又， 当时，，则C可以； 当时，，则D可以. 故选：ACD. 题型7 对数型函数图像的应用 指点迷津 解决指数型函数图像的应用问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】解法1  当时，显然满足题意，故D可能成立；当且时，由得，所以，因为，所以或，则或，故B，C可能成立． 解法2  在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图所示： 由图可得①当时，可能成立，故B正确；②当时，可能成立，故C正确；③当时，显然成立，故D正确． 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在在上的图象的下方即可，所以．当时，如图所示，要使在区间上，的图象在的图象下方，只需，即，即，解得． 【相似题1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知，又，可知， 所以，即，∴， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 故选： 【相似题2】（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为： 题型8 对数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 指点迷津 ⑴的符号：当或时，； 当或时，； ⑵如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则．    ⑶指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ②底数不同，真数相同，如和利用性质⑵比较大小； ③底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． ④利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． 例1．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 例2．（2025·江西赣州·三模）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 则由对勾函数单调性，在上递减，上递增，， 且，， 因为，所以，即． 故选：． 【相似题1】（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 【相似题2】（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 又函数在上单调递增，而3.4，即， 又在上单调递增，所以，即. 故选:D. 【相似题3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 故选：A 【相似题4】（2025·浙江金华·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 【法二】，，而，因为，所以，所以，所以. 故选：D. 命题点2 解简单对数不等式 指点迷津 对数不等式的解法 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用换元法（令），先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 例1.（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，解得. 故选：D. 例2．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，则，可得，即， 当，则，可得，即， 综上，. 故选：C 【相似题1】（2025·湖北荆州·模拟预测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于集合，， 所以，所以. 对于集合，， 则，所以. 所以. 故选：B. 【相似题2】（24-25高一上·湖南湘西·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得. 故选：C 【相似题3】（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 题型9 对数型复合函数的单调性 命题点1 求对数型复合函数的单调区间 指点迷津 与对数有关的复合函数单调性 ⑴首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间. ⑵若已知函数在某区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围. 例1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得或， 所以函数的定义域是， 因为当时，单调递增， 而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是. 故选：D 例2．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 【相似题1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·上海金山·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】令且，解得，可知函数的定义域为， 因为，且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性知，函数在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【相似题3】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 命题点2 根据单调性求参数的范围 例1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 例2．（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 【相似题1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 【相似题2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减，可得： , 又对于恒成立，所以，解得：， 综上所述：. 故选：A 【相似题3】（2025·江苏南通·二模）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】令，函数在上单调递增， 由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，且当时，， 因此，解得， 所以“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件. 故选：C 题型10 对数型复合函数的最值（值域） 命题点1 求对数型复合函数的最值（值域） 指点迷津 对数型复合函数的值域的求解步骤： ⑴分解函数结构：将复合函数拆分为外层函数（对数函数或二次函数）和内层函数（一次、二次函数或对数函数）. ⑵确定内层函数值域：先求内层函数的值域. ⑶结合外层函数特性求最终值域：根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 例1．（23-24高一·上海·假期作业）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由，解得，所以的定义域是， 二次函数的开口向下，对称轴为， 所以， 又函数在上单调递增， 所以的值域是. 故答案为： 例2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最大值、最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，故． 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 因为，所以，故， 所以， 故选：A 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】． 【详解】设，当时取等号. ∵，∴． 又∵在上为减函数，， ∴的最小值为． 故答案为：. 【相似题3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 【相似题4】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【相似题5】（多选）（22-23高二下·重庆江北·期中）已知函数，则下列选项错误的有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】ABC 【详解】，由得， 故函数的定义域为； 令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在上单调递增； 由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减；故A、B错误； 因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值； 故C错误，D正确. 故选：ABC. 命题点2 根据最值（值域）求参数的范围 指点迷津 型函数值域为的问题，转化为取遍一切的正实数问题进行求解． 例1．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 例2．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在单调递减，时，， 即， 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【相似题1】（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 【答案】 【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意； 若，则的定义域为， 且由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，不符合题意； 若，则的定义域为， 由题意可得，则， 此时由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，符合题意； 综上， . 故答案为： 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【答案】2 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 故答案为：2 【相似题3】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 【答案】或 【详解】令，因为，所以， 则可化为， 函数的图象开口向下，对称轴为， ①当，即时，在区间上单调递减， 则时，函数有最大值为，解得， ②当时，即时，则时，函数有最大值为， 解得， ③当，即时，在区间上单调递增， 则时，函数有最大值为，解得或， 又，此时无解， 综上所述：或. 【相似题4】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 题型11 对数型函数的单调性和值域 指点迷津 ⑴形如（其中且，为常数）的单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. ⑵形如（其中且）的单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 例1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 例2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由指数和对数的运算性质可得 令， 则在上单调递增， 因为， 所以， 所以， 即，所以. 故选：BC. 【相似题1】（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性知，若函数在区间上单调递减， 则，解得. 故选：C. 题型12 对数型函数的奇偶性 指点迷津 奇函数：，（且，为常数） 偶函数：（且，），若为偶函数，则为偶函数. 例1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数（为常数），则（   ） A．，为偶函数 B．，为奇函数 C．，为既奇又偶函数 D．，为非奇非偶函数 【答案】B 【详解】根据题意，，有，即，若存在奇偶性， 则定义域对称，必然有，即， 此时，则，则为奇函数. 故选：B． 例2．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 【相似题1】（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 【相似题2】（2023·江苏镇江·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】， 令， 所以的定义域是， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以CD选项错误. ，所以A选项错误，所以B选项正确. 故选：B 【相似题3】（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数是偶函数.则的值（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以； 易知； 即可得，因此， 即. 故选：B 【相似题4】（2025·湖北黄冈·三模）已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】4 【详解】因为函数是奇函数， ， 即恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 整理得恒成立， ，解得或， 当时，函数定义域为，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数， 当时，， 由，可得或， ，满足是奇函数， 所以； 故答案为：4. 题型13 对数型函数的奇偶性和单调性的应用 例1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，又因为定义域为关于原点对称， 所以是奇函数， 由于， 可知函数在定义域上单调递减， 所以 即，即， 则，该不等式组无解，所以解集为. 故选：D. 例2．（2025·辽宁·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 【相似题1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 【相似题2】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 【相似题3】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，分解因式可得， 解得. 故选：A 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得． 故选：D． 题型14 对数型函数的对称性 指点迷津 若函数满足（为常数），则的图象关于点成轴对称图形. 形如（且，为常数，且）的函数图象则关于成轴对称. 例1．（多选）（2023高三上·全国·专题练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．在区间上为增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【详解】函数 当时，取到最大值4， 故此时取到最大值 ，A错误； 可以看作是由函数复合而成， 而是定义域上的增函数，在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上为增函数，在上为减函数，故B正确； 因为函数，故的图象关于直线对称，C正确； 因为不恒成立,故的图象不关于点对称，D错误. 故选：BC. 例2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，函数是偶函数，其图象关于直线对称， 函数的图象可视为函数的图象向左（）或向右（）平移个单位而得， 因此函数的图象对称轴为，所以，即. 故选：D. 【相似题1】（24-25高三下·天津南开·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增，且曲线存在对称轴 B．在上单调递增，且曲线存在对称中心 C．在上单调递减，且曲线存在对称轴 D．在上单调递减，且曲线存在对称中心 【答案】B 【详解】令，得，解得，可知的定义域是， 因为， 且在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数， 又因为，即， 所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确. 故选：B. 【相似题2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 【相似题3】（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 【答案】ACD 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 题型15 含对数函数的分段函数的性质 例1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数则 . 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 例2．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，解得， 所以在上的解集为； 当时，由，解得， 所以在上的解集为， 综上，满足的的取值范围是， 故选：A. 例3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 例4．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为， 即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 例5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 例6．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D 【相似题1】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④ 同时满足，由②可得；由③ 可得；由④ 可得. 综上可得：实数a的取值范围为. 故选：C. 【相似题2】（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 【相似题3】（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 【相似题4】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 【相似题5】（2025·青海海南·一模）已知定义在上的偶函数满足，则 . 【答案】 【详解】∵函数为偶函数，∴. ∵时，， ∴当时，，， ∴当时，，， ∵对数函数在上为增函数， ∴，即， ∴. 故答案为：. 【相似题6】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 限时作业 （建议用时45分钟） 一、单选题 1．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列与函数定义域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为的定义域为，A错误； 的定义域为，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，D错误． 故选：B. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4．（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 5．（24-25高一下·福建·期中）已知函数（且），且（其中，，），则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【详解】函数，由，且，得， 则，即，所以. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由函数的图象知该函数为减函数，∴． 图象通过第一、二、四象限且图象与轴的交点横坐标在区间内， ∴，解得． 故选:D． 7．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，， 因为， 所以，则. 故选：A. 8．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令函数， 因为都是增函数，所以是增函数， 所以， 对于AB，，故A错误，B正确； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以， 所以，A，B均正确. ， 因为，所以，C正确，D错误. 故选：ABC 10．（2025·河北保定·二模）若函数，则（      ） A．为减函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BC 【详解】因为，， 所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确； ，故选项正确； ，故选项错误. 故选：BC. 11．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【详解】选项A；令，解得或，所以函数的定义域为，故A错误； 选项B：由定义域可知，所以函数的值域是，故B正确； 选项C：由（1）可知，函数在上为增函数， 在上为减函数，在定义域内为增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故C正确； 选项D：由，且在定义域内为增函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集是，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习） ． 【答案】1 【详解】 ． 故答案为：1. 13．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】时，，设，则， ， ∴时， 所以， 故答案为：． 15．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 ； 2 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2025年北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（   ） A．2 B．4 C．20 D．40 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 4．（2024年北京高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 5．（2024年北京高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 6．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7．（2024年全国甲卷高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 8．（多选）（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 9．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 10．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 11.（2023年北京高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 13．（2022年北京高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 14．（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即. 故选：C. 15．（2021年全国甲卷（理）高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 16．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $$第02讲 对数与对数函数 目录: 01考情分析(五年真题(2025年-2021年)考点分布)……………………………1 02 题型突围 精准提分………………………………………………………………………2 一、对数 题型1 对数式与指数式的互化…………………………………………………………………2 题型2 对数式的运算……………………………………………………………………………3 2、 对数函数的概念 题型3 对数函数的判定与求值…………………………………………………………………4 题型4 与对数函数有关的定义域………………………………………………………………4 二、对数函数的图象 题型5 对数型函数图像过定点…………………………………………………………………5 题型6 判断对数型函数的图象形状 …………………………………………………………6 题型7 对数型函数图像的应用 ………………………………………………………………8 三、对数函数的性质 题型8 对数函数单调性的应用 ………………………………………………………………8 命题点1 比较大小 ……………………………………………………………………………8 命题点2 解简单对数不等式 …………………………………………………………………10 题型9 对数型复合函数的单调性 ……………………………………………………………11 命题点1 求对数型复合函数的单调区间 ……………………………………………………11 命题点2 根据单调性求参数的范围 …………………………………………………………11 题型20 对数型复合函数的最值(值域)……………………………………………………12 命题点1 求对数型复合函数的最值(值域)…………………………………………………12 命题点2 根据最值(值域)求参数的范围 …………………………………………………13 题型11 对数型函数的单调性和值域…………………………………………………………14 题型12 对数型函数的奇偶性…………………………………………………………………15 题型13 对数型函数的奇偶性和单调性的应用………………………………………………16 题型14 对数型函数的对称性…………………………………………………………………17 题型15 含对数函数的分段函数的性质………………………………………………………18 03 限时作业 查漏补缺 ……………………………………………………………………20 04 真题呈现 掌握考情 ……………………………………………………………………22 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国 卷 对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 从近几年的高考可以看出,主要以看出对数的运算、对数函数的性质为主,体现在以下方面: 1. 对数式与指数式的互化; 2. 对数函数的单调性; 3. 对数型复合函数的单调性; 4. 对数型函数的奇偶性. 2025年北京卷 对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 2024年全国 卷 指数函数、对数函数的单调性 2024年全国甲卷(理) 对数运算性质、换底公式的应用 2024年北京卷 指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小 2024年北京卷 指数式与对数式的互化、比较对数式的大小 2024年全国 卷 由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立 2023年全国 卷 对数函数模型的应用 2023年全国 卷 对数型函数的奇偶性 2023年北京卷 对数型函数的、指数型函数的单调性 2023年北京卷 对数的运算、指数幂的运算 2022年全国 卷 比较对数式的大小、比较指数幂的大小 2022年北京卷 对数的运算、根据折线统计图解决实际问题 2021年全国 卷 比较对数式的大小 2021年全国甲卷(理) 指数式与对数式的互化 2021年全国乙卷(理) 比较对数式的大小、利用导数证明不等式 题型突围 题型1 对数式与指数式的互化 指点迷津 指数式与对数式的互化的思路 (其中且,) ⑴指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. ⑵对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 例1.(24-25高三上 山东泰安 期中)已知,,,且,则( ) A.5 B.6 C.7 D.12 例2.(2025 山东临沂 二模)已知实数满足,则( ) A.11 B.12 C.16 D.17 【相似题1】(24-25高三上 江苏常州 期中)已知a,,则“”是“”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【相似题2】(24-25高三上 江苏南通 阶段练习)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【相似题3】(多选)(24-25高一上 四川南充 阶段练习)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【相似题4】(24-25高一上 吉林长春 期末)已知且,若,则 . 题型2 对数式的运算 指点迷津 ⑴对数的性质 当,且时:①零和负数没有对数; ②0;③ 1;④;⑤. ⑵ 对数的运算性质 如果且,,,那么: (1);(2); (3). ⑶ 换底公式 (1)对数的换底公式:且且. (2)换底公式的三个常用推论 ① .②. ③:. 例1.(25-26高一上 全国 课后作业)计算的值为( ) A. B.4 C. D. 例2.(24-25高三下 重庆 阶段练习)已知 ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025 江西 模拟预测)若,则( ) A. B.1 C.2 D.4 【相似题2】(2025 安徽 三模)已知,则 . 【相似题3】(2025高一上 全国 专题练习)计算: . 【相似题4】(2025 广东深圳 三模)已知实数,且满足,则 . 【相似题5】(2025高三 全国 专题练习)计算:. 【相似题6】(2025高三 全国 专题练习)计算:. 题型3 对数函数的判定与求值 指点迷津 判断一个函数是否为对数函数的方法 ⑴系数为;⑵底数为大于且不等于的常数;⑶对数的真数仅有自变量. 例1.(多选)(25-26高一上 全国 课后作业)下列函数是对数函数的有( ) A. B. C. D. 例2.(24-25高一上 全国 课前预习)若某对数函数的图象过点,则该对数函数的解析式为 . 题型4 与对数函数有关的定义域 指点迷津 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1. 例1.(24-25高一上 全国 课后作业)函数的定义域是 . 例2.(24-25高一下 浙江衢州 期中)已知函数的定义域为,则实数的取值范围( ) A.或 B. C. D. 【相似题1】(24-25高三下 上海 阶段练习)函数的定义域为 . 【相似题2】(24-25高一上 河北衡水 阶段练习)函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【相似题3】(2025 湖北恩施 模拟预测)若函数定义域为,则a的取值范围是 . 题型5 对数型函数图像过定点 指点迷津 此类题目主要应用. 例1.(2025 安徽滁州 一模)已知函数恒过定点,则 . 【相似题1】(24-25高三上 河南许昌 期中)函数(且)的图像恒过定点 . 【相似题2】(24-25高三下 海南 阶段练习)已知函数的图象经过定点,且幂函数的图象过点,则 . 题型6 判断对数型函数的图象形状 指点迷津 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到. 特别地,当底数与的大小关系不确定时应注意分类讨论. 例1.(24-25高一上 全国 课后作业)已知实数且,函数的大致图象如下,则,的取值范围可能为( ) A. B. C. D. 例2.(2025高三 全国 专题练习)已知,函数与的图象可能是( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2023高三上 全国 专题练习)已知函数为常数,其中的图象如图,则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一上 广西河池 阶段练习)函数的图象是( ) A. B. C. D. 【相似题3】(多选)(23-24高一下 湖南衡阳 阶段练习)如图为函数的图象,其中m,n为常数,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【相似题4】(多选)(24-25高一上 四川达州 期末)函数的图象可以为( ) A. B. C. D. 题型7 对数型函数图像的应用 指点迷津 解决指数型函数图像的应用问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响. 例1.(多选)(25-26高一上 全国 课后作业)已知实数a,b满足,则下列关系式可能成立的是( ) A. B. C. D. 例2.(25-26高一上 全国 课后作业)当时,不等式恒成立,则a的取值范围是 . 【相似题1】(24-25高三上 河南 阶段练习)已知函数,若,且a,b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标,则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【相似题2】(2025 河南 三模)已知函数,若存在实数b,使函数恰有三个零点,则a的取值范围为 . 题型8 对数函数单调性的应用 命题点1 比较大小 指点迷津 ⑴的符号:当或时,; 当或时,; ⑵如图所示的曲线分别是对数函数,,,的图象,则. ⑶指、对、幂大小比较的常用方法: ①底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小; ②底数不同,真数相同,如和利用性质⑵比较大小; ③底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定. ④利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小. 例1.(2025 天津 一模)已知,则( ) A. B. C. D. 例2.(2025 江西赣州 三模)已知,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025 天津 二模)设,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025 河南许昌 模拟预测)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【相似题3】(2025 海南省直辖县级单位 模拟预测)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【相似题4】(2025 浙江金华 二模)已知,,,则( ) A. B. C. D. 命题点2 解简单对数不等式 指点迷津 对数不等式的解法 (1)形如的不等式,借助函数的单调性求解,如果的取值不确定,需分与两种情况讨论. (2)形如的不等式,应将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数的单调性求解. (3)形如的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值 ,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集. (4)形如的不等式,可用换元法(令),先解,得到的取值范围.然后再解的范围. 例1.(24-25高一上 全国 课前预习)不等式的解集为( ) A. B. C. D. 例2.(24-25高一上 河南郑州 期末)已知,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025 湖北荆州 模拟预测)已知全集,,,则( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一上 湖南湘西 期末)函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【相似题3】(24-25高三下 贵州贵阳 阶段练习)不等式的解集为 . 题型9 对数型复合函数的单调性 命题点1 求对数型复合函数的单调区间 指点迷津 与对数有关的复合函数单调性 ⑴首先求出函数的定义域,再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间. ⑵若已知函数在某区间上的单调性,则该区间为函数相应单调区间的子区间,从而求参数的范围. 例1.(2025高三 全国 专题练习)函数的单调增区间是( ) A. B. C. D. 例2.(24-25高三下 四川雅安 开学考试)函数的单调递增区间是 . 【相似题1】(24-25高一上 广东揭阳 期末)函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一下 上海金山 阶段练习)函数的单调增区间为 . 【相似题3】(24-25高一下 辽宁葫芦岛 阶段练习)函数的单调递减区间是 . 命题点2 根据单调性求参数的范围 例1.(2025 山东泰安 模拟预测)已知函数在上单调递增,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 例2.(多选)(2025 湖北孝感 三模)已知函数在区间上单调递增,则( ) A. B. C. D. 【相似题1】(24-25高三下 江苏南通 阶段练习)已知函数在内单调递增,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025 吉林 三模)若函数(且)在区间上单调递减,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【相似题3】(2025 江苏南通 二模)已知函数,则“”是“函数在上单调递减”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题型10 对数型复合函数的最值(值域) 命题点1 求对数型复合函数的最值(值域) 指点迷津 对数型复合函数的值域的求解步骤: ⑴分解函数结构:将复合函数拆分为外层函数(对数函数或二次函数)和内层函数(一次、二次函数或对数函数). ⑵确定内层函数值域:先求内层函数的值域. ⑶结合外层函数特性求最终值域:根据外层函数的单调性和内层值域推导最终结果. 例1.(23-24高一 上海 假期作业)函数的值域为 . 例2.(25-26高一上 全国 课后作业)函数的最大值、最小值分别是( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025高三 全国 专题练习)已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025高三 全国 专题练习)函数的最小值为 . 【相似题3】(2024 甘肃庆阳 一模)函数的值域为( ) A. B. C. D. 【相似题4】(24-25高一上 广东广州 阶段练习)函数,的值域为( ) A. B. C. D. 【相似题5】(多选)(22-23高二下 重庆江北 期中)已知函数,则下列选项错误的有( ) A.在上单调递增 B.在上单调递减 C.存在最小值 D.存在最大值 命题点2 根据最值(值域)求参数的范围 指点迷津 型函数值域为的问题,转化为取遍一切的正实数问题进行求解. 例1.(2025 江苏泰州 二模)已知函数的值域为R,则实数a的取值范围为 . 例2.(24-25高三上 江苏常州 期中)已知函数(,且),,使得成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025 江西宜春 一模)已知函数在上的最小值是1,则 . 【相似题2】(2025高三 全国 专题练习)若函数在上的最大值为2,则实数 . 【相似题3】(24-25高一上 河北沧州 阶段练习)已知函数在区间上的最大值为3,求实数的值. 【相似题4】(24-25高一下 安徽马鞍山 开学考试)已知函数, (1)当时,求函数的值域; (2)若函数的最小值为,求实数a的值. 题型11 对数型函数的单调性和值域 指点迷津 ⑴形如(其中且,为常数)的单调性:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减. ⑵形如(其中且)的单调性:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减. 例1.(24-25高一下 上海 阶段练习)已知常数且,若函数的定义域和值域都是,则 . 例2.(多选)(2025高三 全国 专题练习)(多选)若,则( ) A. B. C. D. 【相似题1】(2025 上海 模拟预测),则 的解集为 . 【相似题2】(25-26高一上 全国 课后作业)已知函数且在上的最大值与最小值之和为,则a的值为( ) A.4 B. C.3 D. 【相似题3】(2025高三 全国 专题练习)已知函数,,若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型12 对数型函数的奇偶性 指点迷津 奇函数:,(且,为常数) 偶函数:(且,),若为偶函数,则为偶函数. 例1.(24-25高三下 重庆 阶段练习)已知函数(为常数),则( ) A.,为偶函数 B.,为奇函数 C.,为既奇又偶函数 D.,为非奇非偶函数 例2.(2025 河北 模拟预测)若(其中)是偶函数,则( ) A.2 B.1 C. D. 【相似题1】(2025 北京海淀 三模)已知,,则“”是“是奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【相似题2】(2023 江苏镇江 模拟预测)函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【相似题3】(24-25高一下 江西抚州 期中)已知函数是偶函数.则的值( ) A. B. C. D.1 【相似题4】(2025 湖北黄冈 三模)已知为奇函数,则实数的值是 . 题型13 对数型函数的奇偶性和单调性的应用 例1.(24-25高三下 甘肃白银 阶段练习)若函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 例2.(2025 辽宁 二模)已知函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【相似题1】(24-25高一上 江苏苏州 期末)已知函数,且,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025 河北石家庄 一模)已知函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【相似题3】(2025 山西临汾 三模)已知,则满足的实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似题4】(2025高三 全国 专题练习)已知函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 题型14 对数型函数的对称性 指点迷津 若函数满足(为常数),则的图象关于点成轴对称图形. 形如(且,为常数,且)的函数图象则关于成轴对称. 例1.(多选)(2023高三上 全国 专题练习)关于函数,下列说法正确的是( ) A.的最大值为1 B.在区间上为增函数 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 例2.(24-25高三上 重庆 阶段练习)已知函数的图象关于直线对称,则( ) A.2 B.1 C. D. 【相似题1】(24-25高三下 天津南开 阶段练习)关于函数,下列说法正确的是( ) A.在上单调递增,且曲线存在对称轴 B.在上单调递增,且曲线存在对称中心 C.在上单调递减,且曲线存在对称轴 D.在上单调递减,且曲线存在对称中心 【相似题2】(2025 安徽马鞍山 模拟预测)若函数的图象关于对称,且,则实数( ) A. B. C. D. 【相似题3】(多选)(2025 湖北武汉 三模)已知函数,则( ) A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称 C.在单调递增 D.函数有两个零点 题型15 含对数函数的分段函数的性质 例1.(2025 广东惠州 模拟预测)已知函数则 . 例2.(24-25高三上 北京朝阳 阶段练习)设函数,则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 例3.(24-25高一下 湖北 阶段练习)已知函数的值域为,其中且,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 例4.(2025高三下 全国 专题练习)已知函数则不等式的解集是 . 例5.(2025 甘肃白银 二模)已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 . 例6.(2025 湖南 二模)若函数与直线恰有三个交点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【相似题1】(24-25高一上 湖南岳阳 期末)已知是R上的减函数,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025 广东茂名 二模)已知函数,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【相似题3】(2025 海南 模拟预测)若函数的值域为,则实数的取值范围是( ) A. B. C.(0,1) D. 【相似题4】(2025 广西柳州 模拟预测)已知函数,若方程的实数解恰有两个,则实数的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 【相似题5】(2025 青海海南 一模)已知定义在上的偶函数满足,则 . 【相似题6】(2025 江苏苏州 模拟预测)已知函数则不等式的解集为 . 限时作业 (建议用时45分钟) 一、单选题 1.(2025 山西临汾 三模)已知,,则( ) A.3 B.1 C. D. 2.(24-25高一上 全国 课后作业)下列与函数定义域相同的函数是( ) A. B. C. D. 3.(2025 黑龙江哈尔滨 二模)函数的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 4.(24-25高一下 广西 期中)已知函数在上单调递减,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.(24-25高一下 福建 期中)已知函数(且),且(其中,,),则的值为( ) A.2 B. C. D.1 6.(2025高三 全国 专题练习)已知函数(为常数,其中,)的图象如图所示,则下列结论中成立的是( ) A., B., C., D., 7.(2025 辽宁辽阳 一模)若,,,则( ) A. B. C. D. 8.(2025 宁夏中卫 二模)若,则( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.(24-25高三上 黑龙江伊春 开学考试)若,则( ) A. B. C. D. 10.(2025 河北保定 二模)若函数,则( ) A.为减函数 B. C.的值域为 D. 11.(23-24高一上 重庆 期末)已知函数,则下列结论正确的是( ) A.函数的定义域是 B.函数的值域是 C.函数的单调递增区间是 D.不等式的解集是 三、填空题 12.(2025高三 全国 专题练习) . 13.(2025 上海 模拟预测),则 的解集为 . 4.(24-25高一上 四川绵阳 阶段练习)若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为 . 15.(24-25高三上 北京 开学考试)已知函数,则的定义域是 ;的最小值是 . 真题呈现 1.(2025年全国 卷)若实数x,y,z满足,则x,y,z的大小关系不可能是( ) A. B. C. D. 2.(2025年北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加(单位:小时)( ) A.2 B.4 C.20 D.40 3.(2024年新课标全国 卷高考真题)已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.(2024年北京高考真题)生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由提高到,则( ) A. B. C. D. 5.(2024年北京高考真题)已知,是函数的图象上两个不同的点,则( ) A. B. C. D. 6.(2024年新课标 卷高考真题)设函数,若,则的最小值为( ) A. B. C. D.1 7.(2024年全国甲卷高考真题)已知且,则 . 8.(多选)(2023年新课标 卷高考真题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( ). A. B. C. D. 9.(2023年新课标全国 卷高考真题)若为偶函数,则( ). A. B.0 C. D.1 10.(2023年北京高考真题)下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 11.(2023年北京高考真题)已知函数,则 . 12.(2022 新高考全国 卷 高考真题)设,则( ) A. B. C. D. 13.(2022年北京高考真题)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是.下列结论中正确的是( ) A.当,时,二氧化碳处于液态 B.当,时,二氧化碳处于气态 C.当,时,二氧化碳处于超临界状态 D.当,时,二氧化碳处于超临界状态 14.(2021年全国新高考 卷高考真题)已知,,,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 15.(2021年全国甲卷(理)高考真题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )() A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 16.(2021 全国乙卷 高考真题)设,,.则( ) A. B. C. D. 学科网(北京)股份有限公司 $$